Constante diélectrique et mouvement brownien dans le cas quantique

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Constante diélectrique et mouvement brownien dans le cas quantique

Y. Soulet

To cite this version:

Y. Soulet. Constante diélectrique et mouvement brownien dans le cas quantique. Journal de Physique,

1970, 31 (2-3), pp.195-205. �10.1051/jphys:01970003102-3019500�. �jpa-00206892�

CONSTANTE DIÉLECTRIQUE ^{ET MOUVEMENT BROWNIEN}

DANS LE CAS QUANTIQUE

Y. SOULET

(1) (Reçu

^{le 25}

juin 1969)

Résumé. ²⁰¹⁴ Le rôle

important

joué par la constante

diélectrique

^et la corrélation spatio-tempo- relle de champ local dans la théorie du mouvement brownien a été examiné dans deux précédentes

publications

[I, II]. ^{La même} étude est ici étendue au cas

quantique

^et les conditions nécessaires pour

qu’il

^{y ait mouvement brownien sont discutés}

qu’il

y ait ou non faible couplage ^{entre les} par- ticules incidentes et les

particules

^{du milieu.}

Abstract. ²⁰¹⁴ In two earlier _papers [I, II], ^the

important

roles of the dielectric constant and the spatio-temporal correltaion of local fied in the brownian motion theory ^{has been} examined. The

same

investigation

^{is here}

performed

^{in the} quantum ^case and conditions for brownian motion

are discussed in the weak

coupling approximation

beetwen incident

particles

^{and medium and in}

the

general

^case.

PHYSIQUE 31, 1970,

1. Introduction. ^- Les

principaux

résultats de l’ex- tension du formalisme du

problème

^{à N} corps quan-

tique,

^{basé sur} la fonction de

Wigner

^et

développé

par ^R. Balescu

[1],

^{au cas où le}

système

^est

composé

de

particules

discernables et de

particules

^indiscer-

nables sont donnés dans le

paragraphe

^{2. Ils sont}

nécessaires _pour étendre au cas

quantique

la défini- tion de la constante

diélectrique

^à

partir

^{de la}

réponse

à l’introduction de

particules-test,

^le calcul de la corrélation

spatio-temporelle

^{de deux}

grandeurs

^et

l’étude du rôle

joué

par ^ces

quantités,

^dont

l’expres-

sion est donnée au

paragraphe 3,

dans la théorie du mouvement brownien

quantique.

L’équation cinétique

décrivant l’évolution de la fonction de distribution de

particules

incidentes dans

un milieu

auquel

^{elles sont} faiblement

couplées

^est

une

équation

^aux différences

finies ;

^au

paragraphe

⁴

on étudie dans

quelles

conditions cette

équation

peut

se réduire à une

équation

différentielle d’ordre

fini,

en

particulier

^{à une}

équation

^du type de Fokker- Planck.

L’expression

des coefficients de ces

équations

est donnée et l’on constate

qu’ils s’expriment,

^comme

dans le cas

classique [I, II] (2),

^{avec la constante dié-}

lectrique

^{et la} corrélation

spatio-temporelle

^{de den-}

sité

(ou

^de

champ local).

^{On est amené à constater}

d’une part que

l’équation

de Fokker-Planck

classique

et

l’équation

^{des anneaux}

classique

^{ont un sens}

phy- sique

bien que ^{contenant une}

divergence,

^d’autre part

qu’un

^{milieu de}

particules

^avec

statistique

^{ne se com-} porte ^{pas à} très basse

température

^{comme un milieu}

continu,

^{même à}

l’approximation

^la

plus

^basse.

(1) Physique Quantique, Faculté des Sciences de Toulouse, 118, ^{route de} Narbonne, 31, Toulouse, ^France.

(2) Les numéros des formules de ces publications auxquelles

il sera fait référence seront précédées ^{de 1 ou II.}

Au

paragraphe ^5,

^on

précise

les conditions dans

lesquelles l’équation cinétique générale

^décrivant

l’évolution de la fonction de distribution des vitesses de

particules

incidentes dans un milieu

auquel

^elles

sont fortement

couplées peut

se ramener à une

équa-

tion du type ^de

Fokker-Planck ;

^{on trouve}

ainsi,

dans le cas où la

température

^des

particules

^incidentes

est du même ordre de

grandeur

que la

température

^du

milieu,

que le vrai

paramètre

^de

développement

^n’est

pas la racine carrée du

rapport

^{de la masse des}

parti-

cules du milieu à la ^masse des

particules

^incidentes

mais ce

rapport multiplié

par la racine carrée du _rap-

port

^{de la «}

température

de localisation » à la

tempé-

rature du milieu.

2. Interaction de

particules

discernables avec un

milieu de

particules

indiscernables. ^- Dans la réfé-

rence

[1] ]

le formalisme

quantique

^du

problème

^{à N}

corps ^a été

développé grâce

^{à la fonction de}

Wigner

ce

qui

^a pour avantage ^de

pouvoir toujours

^conserver

une intéressante similitude formelle entre les

problèmes quantiques

^{et les}

problèmes correspondants classiques.

Cette fonction de

Wigner

^{a été}

développée

^{en série de}

Fourier comme la fonction de distribution

classique,

mais il a été montré que ^ses

composantes

^{de Fourier}

t) présentent

^des

singularités

^{dues à la statis-}

tique.

^{Il a été} nécessaire de définir de nouvelles _quan- tités

pks(ps, ^t)

^sans

singularité

^{et à}

partir desquelles

^on

peut

former directement les

composantes

de Fourier

Pks(PS, ^t).

^Le formalisme

classique

s’étend alors sans

difficulté au cas

quantique,

^les

quantités Pk,(PI, ^t)

^rem-

plaçant

^les coefficients de Fourier

classiques

^corres-

pondants

^{dans les}

équations

^des différents

problèmes (équations cinétiques, etc...).

Pour la définition et le calcul de la constante dié-

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01970003102-3019500

lectrique

^à

partir

^{de la}

réponse

d’un milieu à l’intro- duction de

charges extérieures,

^ainsi que pour l’étude de l’évolution de

particules

incidentes dans ^un

milieu,

il est clair _que l’on a besoin d’un formalisme tenant

compte de l’interaction d’une

particule

discernable

avec un milieu de

particules

indiscernables. Un calcul

fastidieux, calqué

^{sur ceux}

qui

^ont été nécessaires _pour l’établissement des

diagrammes quantiques

^{et de leur}

contribution dans le cas d’un milieu de

particules indiscernables,

^{conduit aux}

diagrammes

^de

la figure

^1.

Fis. 1.

Dans

l’expression

des contributions de ces

diagrammes

on retrouve les notations et conventions de la réfé-

rence

[1] :

Diagramme CD

et

Diagramme DD

Diagramme FD

Diagramme HD

Diagramme AA

Diagramme BA

Diagramme KA

Diagramme F.

Diagramme Bp

Diagramme Dp

Diagramme Ep

Diagramme Jp

3. Constante

diélectrique

^et corrélation

spatio-tem- porelle

^{de densité}

quantiques.

^{- En ce}

qui

^concerne

la constante

diélectrique quantique

il n’est pas utile de détailler les calculs

qui

^sont

rigoureusement paral-

lèles aux calculs de la référence

[I] ;

seuls les résultats

plus compliqués exigent

l’introduction de notations

plus complexes ;

^en effet les

diagrammes

^avec

dispa-

rition d’une

particule

discernable sont au nombre de

quatre

^{au lieu de trois et le nouveau d’entre eux fait} intervenir deux

particules

du milieu. Nous allons ^nous borner dans la suite des calculs à

l’approximation

^des

temps longs

^{définie en} détail dans la référence

[I].

Posons

où

sont les contributions des

diagrammes modifiés,

^défi-

nis dans la référence

[II],

^et

représentés

par la

figure

^2.

FIG. 2.

Avec ces notations la constante

diélectrique quantique

s’écrit :

Quant

à la corrélation

spatio-temporelle

^{de deux}

grandeurs

^nous l’obtiendrons

toujours

^à

partir

^de

(II.2.1)

^en

remplaçant

la fonction de distribution

classique

par la fonction de

Wigner ;

^{toutefois il est}

clair _que la

grandeur produit

^{de deux}

grandeurs

^ne

sera pas le

produit

^{des deux}

grandeurs,

^{s’il en} était ainsi l’ordre des deux

grandeurs

^serait

toujours

^sans

impor-

tance alors _que les

opérateurs quantiques

^{ne commu-}

tent

toujours

pas. On est

obligé

de chercher d’abord

l’expression

^{de la}

grandeur produit

^{de deux}

grandeurs.

On

part

^de

l’expression

^de

l’opérateur A(xs, -

^ils

t) correspondant

^{à une}

grandeur physique

^donnée par la

règle

^de

Weyl :

où

Il est alors aisé de mettre le

produit

^ordonné

sous une forme semblable à

(3 . 3) ;

^on obtiendra alors la

grandeur correspondant

^au

produit

^{des deux} gran- deurs

A(xs,

ps,

t)

^et

B(xs,

ps,

t)

^en

appliquant

^la

règle

de transformation inverse

[2] :

Ainsi,

^en

posant :

il vient :

qui

^{se réduit à la}

simple

convolution à la limite clas-

sique h -

^{0. Un} calcul semblable ^au calcul de la référence

[II]

^et

exposé

^{en détail dans} la référence

[T]

conduit à :

qui

^{se réduit bien à}

(II . 2 . 6)

^{à la limite}

classique h -

^0.

Cette

expression

^{doit être modifiée} pour ^ne faire intervenir _que les

quantités pls(ps, ^t)

^{à la}

place

^des

coefficients de Fourier pls

(ps, t) présentant

^{des sin-}

gularités.

^Cette modification ^sera immédiate si on

écrit

(3. 6)

^{sous la forme :}

et si on constate la ressemblance entre d’une part

et d’autre

part l’expression

figurant

^dans

l’équation

d’évolution des coefficients de Fourier et

correspondant

^{à la}

disparition (de

^droite

à

gauche)

^d’une

particule

discernable des

particules

du milieu. Il suffit alors de faire les mêmes contrac- tions et

(3.7)

^sera

remplacé

par la contribution des sommets

CD, DD, FD

^et

HD

^{au facteur}

près, agissant

^sur

t).

Comme dans la réfé-

rence

[II]

^on pourra transformer

l’expression

^de

pour obtenir

parallèlement

^à

(II.2.8) :

La corrélation

spatio-temporelle t)

^{des deux}

grandeurs prises

^{dans l’ordre inverse se calcule}

comme

C(5 aPk( W, ^t)

^{et son}

expression

^est formellement

semblable à

l’expression (3.8)

^avec

+ ~ ^Ij)

changé

^{en et les} contributions des sommets modifiés

X)~

^et

respective-

ment

changées

^en

X;j

^{et Il est}

généra-

lement admis

[3, 4]

que la corrélation

spatio-tempo-

relle mesurable est en fait :

La corrélation

spatio-temporelle

^de

champ

^{local se}

calcule avec

elle s’écrit :

quant

à la corrélation

spatio-temporelle

^{de densité}

calculée avec

elle s’écrit :

Il en résulte la relation :

déjà

^connue pour ^un milieu à

l’équilibre [4, 5, 6].

^Il

faut ici noter que si

t) désigne

la conductivité définie pvec le

champ

^extérieur

(c’est-à-dire

^{avec le}

champ

^créé par les

particules-test)

^{on obtient}

[T] :

qui généralise

^la formule donnée _{par Kubo}

[7]

^{et où}

est la corrélation

spatio-temporelle

^{calculée avec la}

grandeur

vitesse locale et la

grandeur

densité locale.

Il est bien connu que pour ^un milieu à

l’équilibre [7]

il y ^{a une} relation entre la corrélation

spatio-tempo-

relle de deux

grandeurs prises

^{dans un} ordre donné et la corrélation

spatio-temporelle

^{des deux mêmes}

grandeurs prises

dans l’ordre inverse. Pour la corré- lation

spatio-temporelle

^{de densité cette}

formule, qui

permet

^{d’arriver au théorème de} fluctuation-dissi-

pation,

^{est :}

Elle

peut

^{être étendue au cas} d’un milieu décrit à

l’ap- proximation

^{des anneaux les}

plus divergents

^définie

dans la référence

[1].

^{Il suffit} pour cela des montrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence

[T]

que :

puis

d’établir la relation

[T] :

avec :

Ces deux dernières relations conduisent alors à :

où le facteur de

proportionnalité

^se réduit bien à si le milieu est à

l’équilibre.

4. Mouvement brownien

quantique

^{en faible cou-}

plage.

^- Considérons

l’équation cinétique

^décrivant

l’évolution de la fonction de distribution des vitesses de

particules

incidentes dans un milieu

auquel

^elles

sont faiblement

couplées.

^{Si cette} condition de faible

couplage impliquait

^{dans le cas}

classique

que ^cette

équation cinétique

^{était une}

équation

^du

type

^Fokker Planck

[I, II]

^{il n’en est} rien dans le cas

quantique

^où

cette

équation

^{est une}

équation

^aux différences finies.

Un ^examen des

diagrammes

contribuant à cette

équa-

tion nous

permet

^de

l’écrire,

^à

l’approximation

^des

temps longs

décrite dans la référence

[1] :

où

Il y ^a toutefois une

propriété

commune avec le cas

classique :

l’évolution de la fonction de distribution des vitesses des

particules

incidentes est entièrement déterminée _{par la} ^constante

diélectrique

^{et la corréla-}

tion

spatio-temporelle

de densité

puisque t)

^et

t)

^se déduisent de ces

grandeurs

^{à l’aide des} relations

(3.9)

^et

(3.12) ;

si le milieu est à

l’équilibre

ou s’il est décrit à

l’approximation

^{des anneaux les}

plus divergents

^{cette évolution est} alors entièrement déterminée _par la constante

diélectrique grâce

^à

(3.12)

d’une

part

^et

(3.14)

^ou

(3.15)

^d’autre part. ^Cherchons

sous

quelles

conditions

l’équation

^aux différences finies

(4.1)

peut ^être

approchée

par ^une

équation

différentielle du deuxième ordre ou éventuellement d’un ordre fini

supérieur

^à

deux ;

pour cela écrivons- là :

Nous constatons sur cette forme _que cette

approxima-

tion sera

possible

^{si on}

peut développer

^soit

soit

Le

développement

^{de ±}

hk/m,, t) implique

^les

hypothèses

et

le

développement

^{de l}

implique l’hypothèse (4.3)

^et

l’hypothèse :

a)

^Les

hypothèses (4.3), (4.4)

^et

(4.5)

^{sont réali-}

sées. Il est alors

possible

^{de mettre}

l’équation

^ciné-

(3) ^{Dans cette} condition il est clair que ^ce désigne ^{l’ordre de} grandeur maximum de où _vu désigne la valeur moyenne de vu obtenue avec t). ^Cette convention continuera à être utilisée par la suite mais vu et v désigneront des valeurs moyennes pouvant résulter de l’agitation thermique ^{et des effets de loca-} lisation.

tique (4.1), après

avoir effectué le

développement

^{en ~c}

jusqu’à

^{l’ordre n, sous} la forme : *.

qui généralise

^{la forme}

(I . 4. 2).

^Les coefficients de cette

équation

^{sont alors}

[T] :

où la

quantité

^entre crochets doit être

développée

^à

l’ordre

approprié.

^Le coefficient d’ordre n s’obtient

en

développant

^{à l’ordre zéro :}

Le coefficient d’ordre rc - 1 s’obtient en

développant

au

premier

^{ordre :}

Le coefficient d’ordre n - 2 s’écrit :

et ainsi de

suite,

les formules

(4.9)

^et

(4 .10)

^{et les sui-}

vantes étant la

généralisation

de la formule

(I.4.11).

Dans toutes ces formules la

quantité

^{entre crochets}

s’exprime,

suivant la

parité

^de

l’exposant

^de

(- 1)

soit avec la constante

diélectrique,

^{soit avec la corré-}

lation

spatio-temporelle

de densité.

On remarque que pour n ^{= 2 on retrouve} les expres- sions

(1.4. il)

^et

(II.3.4)

des coefficients de friction et de diffusion avec la constante

diélectrique

^{et la corré-}

lation

spatio-temporelle

de densité

classiques

^rem-

placées

par les

grandeurs correspondantes quantiques ;

les effets

quantiques

n’interviennent donc

qu’impli-

citement contrairement à ce

qui

^{se passe pour n} > 2.

b)

^Les

hypothèses (4.3) (4.4)

^sont seules réalisées.

Il est clair _que la forme

(4.6)

^ne convient pas ^et

qu’il

faut la

remplacer

par :

Le moment d’ordre n est

toujours

^donné par

(4.7).

Dans le cas n ⁼ 2 on a un coefficient de diffusion

qui s’exprime

^{avec la} corrélation

spatio-temporelle

^de

densité et avec la constante

diélectrique

^{et un coeffi-}

cient de friction où on ne

peut

pas

séparer

^{les effets}

collectifs des effets individuels.

c)

^Seule la condition

(4. 3)

^est réalisée. Il n’est donc pas

question

de rechercher une

équation

différentielle décrivant l’évolution de la fonction de distribution des vitesses des

particules

incidentes mais la considé- ration de ce cas va nous

permettre

d’étudier la

perte d’énergie

^d’une

particule

^{lourde ou}

rapide

^{devant les}

particules

du milieu. A

partir

^de

(I.3 .5)

et de

(4.2)

^{nous obtenons :}

Nous constatons alors _{que le} rapport du deuxième

h2k2

^/

terme au

premier

^est de l’ordre de c’est-à-

2mT

dire de l’ordre de a. A la limite ^{a -+} 0

(particule

lourde ou

rapide

devant les

particules

^du

milieu),

la

perte d’énergie (4.12)

^{se réduit à son}

premier

terme et

s’exprime

à l’aide de la constante

diélectrique

et de la corrélation

spatio-temporelle

de densité

toujours grâce

^{aux relations}

(3.9)

^et

(3.12).

^{Certes si}

le milieu est à

l’équilibre (ou

si le milieu est décrit à

l’approximation

^{des anneaux les}

plus divergents,

^cas

peu intéressant car alors les effets de

statistique

^sont

partiellement négligés

^{et l’on ne} peut pas ^{se trouver} dans une situation où la condition

(4~ . 5)

^n’est pas véri-

fiée)

^{la perte}

^d’énergie

^pourra

s’exprimer uniquement

avec la constante

diélectrique

mais d’une manière irréductible à la forme

(I . 3 . 2)

découlant de l’électro-

dynamique

des milieux continus. A la limite ce - 0 la

perte d’énergie

^{conserve un caractère «} individuel »

inséparable

du caractère « collectif » : un milieu de

particules

à très basse

température

^{ne se}

comporte

pas, même à

l’approximation

^la

plus basse,

^{comme un} milieu continu. Il est évident _que cette

propriété

^ne

peut

^{pas être mise en évidence par} le calcul de Nozières et Pines

[5]

^{car ils} déduisent la

perte d’énergie

^de

l’échange d’énergie,

^{calculé au}

permier ordre,

^{entre le}

milieu et le

champ

extérieur. Par contre,

Englert [4]

trouve cette

perte d’énergie

^{car il} la déduit de l’inter- action d’un

petit système

^{avec un}

grand système

^cal-

culée ^au second ordre du calcul de

perturbation.

Les situations

physiques correspondant

^{aux diverses}

hypothèses (4.3) (4. 4)

^et

(4. 5)

^sont

précisées

^{dans la}

référence

[T] ;

^nous n’allons donner ici _{que les}

lignes principales

des raisonnements et leurs résultats.

A)

L’étude de l’ordre de

grandeur

^de ex,

hypothèse (4.3) correspond

^en fait à la recherche d’une limite

ou d’un _rayon de convergence

kM

^de

l’intégrale

^{sur dk}

figurant

^dans

(4.1).

a)

Considérons d’abord le cas d’un milieu de fer- mions sans interaction à

température nulle ;

^{les cal-}

culs

peuvent

être menés

jusqu’au

^{bout et on aboutit}

pour les ordres de

grandeurs

^{de ce au tableau 1}

VF étant la vitesse de Fermi des

particules

^{du milieu}

et kL

le _rayon de convergence

(lorsqu’il existe)

^de

l’intégrale

j

^Les situations

physiques

où l’ordre de

grandeur

^{de ce} permet ^le

développement

s’en déduisent immédiatement et sont données _par le tableau 2 où

TF

^{est la}

température

de Fermi du

milieu, 7~

^la

température

^des

particules

incidentes et

TL

^{la «tem-}

pérature

de localisation » définie à

partir

de « l’im-

pulsion

de localisation »

hkL.

Nous voyons

apparaître

ici les

paramètres

fondamentaux

y’ TF/TT et y2 TL/TT déjà

introduits par

Dagonnier,

^{Davis et Resibois}

[9, 10, 11, 12].

TABLEAU 1

TABLEAU 2

b)

Considérons ensuite le cas d’un milieu sans intér- action et sans

statistique

^{à la}

température

T. Les cal- culs peuvent ^encore être menés

jusqu’au

^{bout et}

donnent les ordres de

grandeur

^{de oc} du tableau

3 ;

les situations

physiques,

^où l’ordre de

grandeur

^{de ex} permet ^le

développement,

^{sont alors données par le}

tableau 4. Nous pouvons tirer du _{cas y} ⁼ 1 de ce der- nier tableau la conclusion très intéressante suivante :

- si

kL ---+

oo, ^cas des

potentiels

^{au moins}

répulsifs

comme le

potentiel

^en

Ilr 2

^{la condition oc 1 n’est}

jamais

^{réalisée et même en faible}

couplage

^il y ^a de

TABLEAU 3

fortes déviations :

l’équation

^aux différences finies

(4.1)

ne

peut jamais

^être

approchée

par ^une

équation

^{de la}

forme

(4.6).

- si

kL

^est

fini,

^{cas du}

potentiel

coulombien _par

exemple,

^{on constate} que pour des valeurs de

Ty

assez

grandes

la condition

kL/2 mkT, « 1

est

toujours

vérifiée : c’est le cas où l’interaction entre

particules

incidentes et

particules

^{du milieu}

peut

^être traitée

classiquement,

c’est-à-dire _par une

équation

^du

type

de Fokker Planck

présentant

^une

divergence

pour les

grandes

valeurs du vecteur d’onde. Générale- ment on introduit une limite

artificielle (2 kT/e2,

^@ par

exemple, qui correspond

à l’élimination des déviations

supérieures

^à

rc/2)

^alors que le raisonnement

développé

ici

permet

d’introduire une limite naturelle

kL. L’équa-

tion du type Fokker-Planck

classique

^{a donc un sens}

physique

pour le

potentiel

coulombien

malgré

^sa

divergence

^{car cette} dernière n’existe pas dans

l’équa-

tion

correspondante quantique

^{dont elle est déduite}

par le

développement

^en

puissances

^{de oc limité au}

deuxième ordre.

c)

Si le milieu est décrit à

l’approximation

^des

anneaux les

plus divergents

^les discussions restent les mêmes car le

comportement

^de

l’intégrale

^{sur dk}

dans

(4.1)

^est

inchangé

pour les

grandes

^valeurs

de k ;

en effet

Yx

^est

remplacé

^par

F~/ ) 1 Bk(k. Vu, ^t) 12.

d)

^{Le cas où} le milieu est traité à

l’approximation

des _anneaux, ou sans

approximation

^{ne pourra être}

traité

qu’au prochain paragraphe.

B)

^{La condition}

(4.4) implique

que pour

chaque

valeur de _vu,

t/1( v 11’ t) a

^{une valeur du même ordre de}

grandeur

que la maxwellienne

correspondant

^{à la}

température TT.

C)

^{Il est clair} que la condition

(4.6)

^est

toujours

réalisée _pour un milieu sans

statistique

^{nous allons}

montrer

qu’elle

^{ne l’est} pas dans le cas du milieu de fermions sans intéractions à

température

^{nulle. Dans}

ce cas nous avons par

exemple :

TABLEAU 4

soit encore :

est, ^{à cause de}

l’isotropie ~ (u).

^{Par inté-}

gration

par

parties

il vient :

expression

^sur

laquelle

^{on constate} bien la disconti- nuité de par

rapport

^{à cv due à la} discontinuité de la fonction de distribution des vitesses. Il est pos- sible de montrer

[T]

que la condition

(4.6)

^devient

réalisée _pour un milieu de fermions sans interaction à la

température

^T

lorsque T > TF.

5. Mouvement brownien

quantique

^{en fort}

couplage.

- Il est nécessaire _pour la suite des calculs de connaître

l’expression

^{de deux}

quantités :

a)

^{La constante}

diélectrique généralisée quantique

exactement définie comme la constante

diélectrique

généralisée classique ;

^cette

quantité dépendant

^{de la}

fonction de distribution des vitesses des

particules-

test, ^{on a convenu}

[I]

^de

prendre

^la distribution

J(vu - w)

^ce

qui

^{conduit à}

l’expression :

contribution des

diagrammes

modifiés de la

figure 3,

FIG. 3.

diagrammes

dont la définition est donnée dans la référence

[II],

^{ici la} variable de

Laplace

^{est ev à}

gauche

de _úJn entre

S~~

^et

Sjn+

^{et co, à droite de}

Sjr.

^Dans

un souci de

simplification

nous avons noté les douze

opérateurs,

provenant des douze sommets d’inter- action entre

particules

discernables et

particules

^du

milieu et

correspondant

^aux

opérateurs cp

et

déjà

utilisées dans

l’expression (3.1),

par ^un

symbole unique :

quant

^à

l’opérateur X n

^{il est défini par :}

b)

La corrélation

spatio-temporelle

conditionnelle de

champ

^local

qui

^est la corrélation

spatio-temporelle

du

champ

^{local au}

point

^X à l’instant t ^avec le

champ

local au

point

^X’ à l’instant t’ sachant

qu’une particule

incidente se trouve au

point

^{X’ à} l’instant t’. Par un

calcul semblable à celui du

paragraphe

^{3 on trouve}

[T] :

On

conçoit

que ^ces deux

quantités

^{n’ont de sens} que si y

1 ;

^{en effet} il n’est pas

possible

^{de faire}

l’appro-

ximation des

temps longs

nécessaires pour ^en obtenir les

expressions (5.1)

^et

(5.2)

^{avec la} distribution

£5(

vu -

w) qui

^{va évoluer sur} l’échelle des

temps

courts, sauf si la

particule

^{incidente est très lourde} par

rapport

aux

particules

du milieu. Mais c’est

précisément

^dans

ce cas que ^nous devons nous

placer

pour

qu’il

y ait mouvement brownien

quantique.

Ecrivons

l’équation cinétique générale

^décrivant

l’évolution de la fonction de distribution des vitesses des

particules

incidentes dans un milieu avec les nota- tions

déjà

introduites ci-dessus :

Chacun des termes

prend

^{la forme :}

avec

Les conditions nécessaires pour ^ramener

l’équation

aux différences finies

(5. 3)

^{à une}

équation

^différen-

tielle d’ordre fini sont :

et

Bornons-nous à un

développement

^{limité au}

deuxième ordre ^{en a} et cherchons

l’expression

^des

coefficients de

l’équation

différentielle du second ordre ainsi obtenue et mise sous la forme

(1.4.2).

^Nous

devons évaluer exactement les coefficients de friction et de diffusion comme on a calculé les coefficient

correspondant

^{au cas du faible}

couplage, expression (4.7).

^{Ensuite ces} coefficients devront être

développés

de manière à ce que

chaque

^{terme de}

l’équation (I . 4 . 2)

ait un ordre de

grandeur

^{inférieur ou}

égal

à l’ordre de

grandeur

^{des termes} du deuxième ordre en (X. Si ce

développement

^est

possible

^{il ne} peut pas

toujours

^se

faire en

puissance

^de CI. pour le ^montrer considérons le cas d’un milieu ^sans

interaction, l’équation (5.3)

étant alors

l’équation

de Boltzmann

quantique ;

^dans

l’accolade de

l’expression (5.4) figurent, après

^avoir

fait

agir

^les

opérateurs

±

Xû

^et

xi X n,

^des propaga- teurs de la forme :

Le

paramètre

^de

développement dépend

^des gran- deurs relatives de v, vu ^et

hK/2

^m. Considérons les deux cas suivants :

a)

L’ordre de

grandeur

^{de v et de}

hK/2 m

^{est infé-}

rieur ou

égal

à l’ordre de

grandeur

^de vu, le

paramètre

de

développement

^{est alors (X et} les coefficients de diffusion et de friction sont alors

[T] :

où les indices entre crochets mentionnent les ordres du

développement qui

doivent être retenus.

b)

L’ordre de

grandeur

^{de ex est} y ^et l’ordre de _gran- deur

de vu

^est y fois l’ordre de

grandeur

^{de v et de}

IiKI2 m,

^le

paramètre

^de

développement

^{des coefh-}

cients est alors _{y ;} c’est le cas où le

paramètre

^{du déve-}

loppement

^est

identique

^au

paramètre

^du

développe-

ment du cas

classique

examiné dans la référence

[I].

Les coefficients sont alors :

Notons _que le coefficient de diffusion

prend

^bien

la forme connue

[12]

où

e2 E(0, t

⁺ T,

t)

^est la corrélation de force _moyenne

agissant

^{sur la}

particule

^entre les instants t et t + r.

Comme dans le ^cas du faible

couplage

^{nous allons}

terminer _par l’examen des ordres de

grandeurs

que

peut prendre

^le

paramètre

^ex,

qui,

^s’il n’est pas le para- mètre de

développement

^des

coefficient,

^{est bien le}

paramètre

^{dont la}

petitesse

devant l’unité

permet

^de

remplacer l’équation cinétique

^exacte par ^une

équation

différentielle d’ordre limité. Nous devons _remarquer que ^ce

paramètre

^n’est pas ^le

paramètre

dont la

petitesse permet

^{de ramener}

l’équation

^ciné-

tique

^{exacte à une}

équation

différentielle d’ordre infini décrivant

classiquement

l’évolution de la fonction de distribution des

particules

incidentes dans le milieu.

A. ^- Etudions d’abord le cas d’un milieu sans

interaction à ^une

température

^telle que les « effets de localisation » soient

négligeables.

^{En résolvant}

l’équa-

tion de

Schrôdinger indépendante

^du

temps

^{dans le}

système

^{du centre de}

gravité

^{de deux}

particules

^dont

on étudie le choc on trouve bien _que les deux

particules

ont une

probabilité

^non nulle d’avoir leur vitesse

inchangée

^ou leur vitesse

changée

^de

signe,

^avec

éga-

lement ^une

probabilité

^non nulle d’avoir une vitesse

ayant

^{subi toutes} les déviations intermédiaires. Ainsi deux

particules respectivement

^{de masse,} de vitesse et de vitesse dans le

système

^{de leur centre de}

gravité

. , , ,

pourront

^avoir leurs vitesses

respectivement augmentées

^de

La variation de la fonction de distribution des vitesses pour la valeur _v~ de la vitesse pourra donc être pro-

portionnelle

à la fonction de distribution des vitesses pour ^toutes les vitesses

comprises

^entre

c’est dire _{que :}

Il est clair _que l’on ne

peut

^{avoir ex « 1 si m N} mT.

Dans le cas contraire où _y ⁼

1, (5.6)

conduit aux valeurs suivantes de a :

B. ^- Examinons ensuite le cas d’un milieu tel _que

l’équation cinétique

^décrivant l’évolution de la fonc- tion de distribution des

particules

incidentes doit être considérée

jusqu’à

^{l’ordre n en la} concentration des

particules

^du

milieu ;

^cela

correspond

^{aux situations}

suivantes :

- la

longueur caractéristique

de l’interaction entre

particules

incidentes et

particules

^{du milieu est d’un}

ordre de

grandeur égal

^ou

supérieur

^à l’ordre de _gran- deur de la distance _moyenne entre les

particules

^du

milieu : une

particule

^incidente

interagit

^{à la fois avec}

plusieurs particules

du milieu même si les

particules

du milieu sont sans

interaction ;

- les

particules

^{du milieu sont fortement}

corrélées,

la

longueur caractéristique

de corrélation est du même ordre de

grandeur

que la distance _moyenne des

parti-

cules : même si une

particule

^incidente

^interagit

^avec

une seule

particule

^{du milieu}

(portée caractéristique

de l’interaction entre

particules

incidentes et

particules

du milieu bien

plus petite

que la distance _moyenne entre

particules

^du

milieu)

^{cette dernière se}

comporte

comme une

particule

^{de masse}

équivalente

^{à la somme}

des masses des autres

particules

du milieu situées dans

sa

sphère

^de

corrélation ;

- les situations

envisagées

^se rencontrent simul-

tanément ;

^{c’est le cas de tout milieu de forte concen-}

tration.

Après

^les raisonnements

qui

viennent d’être faits il

faut,

pour ^trouver l’ordre de

grandeur

^de a,

remplacer

m par ^nm dans

(5.6) ;

^nous obtenons ainsi :

C. ^- Considérons _pour terminer le cas d’un milieu

sans

statistique

^{à une}

température

suffisamment basse pour que les « effets de localisation »

jouent

^{un rôle}

important.

^{A la limite T - 0 les}

particules

^du

système

ne tendent _pas vers

l’immobilité,

^{elles ont}

toujours, d’après

^le

principe

d’incertitude de

Heinsenberg,

^une

«

impulsion

de localisation »

hk, - hIL,,,

^où

L,

^est

la distance _moyenne de corrélation entre les

particules

du

milieu ;

^{cette «}

impulsion

de localisation _{», à}

laquelle

^on peut ^faire

correspondre

^{une «}

tempéra-

ture de localisation »

[11 ],

^est liée à la forme du

poten-

tiel d’interaction et à la densité du milieu. Nous allons

nous borner ^{au cas} d’un milieu ^sans

interaction,

c’est-à-dire au cas où on ne considère _que l’interaction des

particules

incidentes avec les

particules

^{du milieu}

traitée au

premier

^{ordre en} la concentration du milieu.

L’impulsion

de localisation donne lieu aux «

tempé-

ratures de localisation » :

pour les

particules

^du

milieu ,

pour les

particules

incidentes . Il en résulte _que les ordres de

grandeurs

^{de v}

et vu

sont :

et

il suffit de se

reporter

^à

(5.6)

pour obtenir l’ordre de

grandeur

^du

paramètre

^{a. Nous} constatons d’abord que si les

températures

de localisation sont

prépon-

dérantes on a a N 1 .

Dans le cas le

plus fréquemment

^{rencontré où}

TT N

^{T et où la}

température

de localisation n’est

prépondérante

que pour ^les

particules

^du

milieu,

^{on a}

La valeur de ce

paramètre

^de

développement

^{est en}

parfait

^{accord avec} la forme de la fonction de distri- bution des vitesses des

particules

incidentes ^en

équi-

libre avec le milieu trouvé par Resibois ^et

Dagon-

nier

[ 11 ] où

^le

premier

^terme correctif à la maxwellienne est bien un terme

en y2 TLI T (le

^{terme en}

yTL2jT étant

nul _pour des raisons

d’isotropie).

^Bien

qu’ayant

^déve-

loppé l’équation cinétique générale

^en

puissances

^de y

ces auteurs avaient

pressenti

que était le vrai

paramètre

^de

développement

^{à basse}

température.

^Si

l’on doit tenir

compte

^{de termes d’ordre}

supérieur

^{à un}

en la concentration du milieu dans

l’équation cinétique générale

le raisonnement

précédent peut

^{s’étendre sans} difficulté comme on l’a

déjà

fait dans le cas où les

« effets de localisation » n’interviennent pas.

D. ^- Pour être

complet

^nous devons examiner le

cas où il _y a faible

couplage

^{entre les}

particules

^inci-

dentes et les

particules

du milieu mais où le milieu est décrit sans

approximation.

^{Dans ce cas il est clair que}

tout va se passer ^comme si la

particule

^incidente

entrait dans un milieu sans interaction de

particules

de masse nm dont la vitesse _moyenne est de l’ordre de

B/3

⁺

V 3 KTLIM

^où

TL

^{est la «}

température

^de

localisation » du

milieu ;

^{il en résulte}

toujours

^la

même conclusion dans le ^cas du

potentiel

coulombien.

Remerciements. ^- L’auteur tient à remercier par- ticulièrement les Professeurs I.

Prigogine

^{et R. Balescu}

(Université

^{libre de}

Bruxelles)

pour l’intérêt

qu’ils

^ont

porté

^{à ce travail rendu}

possible ^grâce

^{à un}

appui

financier des Instituts Internationaux de

Physique

^{et de}

Chimie fondés par ^E.

Solvay.

Bibliographie

[I]

^BALESCU (R.) ^{et SOULET} (Y.), ^J. Physique, 1965, 26,

49.

[II]

^SOULET (Y.) (à paraître).

[T] ^SOULET (Y.), ^{Thèse de Doctorat} (1969).

[1]

^BALESCU (R.), Statistical Mechanics of charged par-

ticles, Interscience Willey, ^New York, ^1963.

[2]

^MASSIGNON (D.), Mécanique Statistique ^des fluides, Dunod, Paris 1957.

[3]

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(P.)

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^Nuovo Cimento, 1961, 9, 470.

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Phys. Rev., 1956, 103, ^1202.

[7] ^KUBO

(R.)

ⁱⁿ Statistical Mechanics of

Equilibrium

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Non-Equilibrium,

North-Holland Publ. Comp.

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[8] ^RESIBOIS (P.) ^{et DAGONNIER} (R.), Physics Letters, 1966, 22, ^252.

[9] ^DAVIS (H. T.) ^{et DAGONNIER}

(R.),

^J. of Chem. Phys., 1966, 44, ^4030.

[10] ^DAGONNIER

(R.)

^{et RESIBOIS}

(P.),

Bul. Classe des

Sciences, ^Académie Royale ^de Belgique, 1966, S. 5, 52, ^229.

[11] ^RESIBOIS (P.) ^{et DAGONNIER} (R.), ^Bul. Classe des Sciences, ^Académie Royale ^de Belgique, 1966,

S. 5, 52, ^1457.

[12] ^RESIBOIS

(P.)

^{et DAVIS} (R.), Physica, 1964, 30, ^1077.