Mouvement brownien Exercices
Exercice 9.1. Soit Z une variable aléatoire de loi normale centrée et réduite. Pour tout t 0, nous posonsXt =p
tZ. Le processus stochastiqueX =fXt :t 0ga des trajectoires continues et 8t 0, Xt est de loi N(0; t). Est-ce que X est un mouvement brownien ? Justi…ez votre réponse. (réf. Baxter et Rennie, p. 49)
Exercice 9.2. Soit W et W ;f deux mouvements browniens standard indépendants l’un de l’autre, et , une constante comprise entre 0 et 1: Pour tout t 0, nous posons Xt =
Wt+p
1 2fWt. Le processus stochastique X =fXt:t 0g a des trajectoires continues et8t 0, Xt est de loi N(0; t). Est-ce queX est un mouvement brownien ? Justi…ez votre réponse. (réf. Baxter et Rennie, p. 49)
Exercice 9.3. Soit W un mouvement brownien standard construit sur l’espace probabil- isé …ltré ( ;F;F=fFt:t 0g; P). Posons Xt = exph
Wt 22ti
. Montrez que X = fXt:t 0g est une martingale.
Exercice 9.4. Soit W un mouvement brownien standard construit sur l’espace probabilisé
…ltré ( ;F;F=fFt :t 0g; P). Montrez quefWt2 t :t 0g est une martingale.
Exercice 9.5. SoitW un mouvement brownien standard. Montrez que Cov [Wt; Ws] = min(s; t):
Exercice 9.6. Soit fWt:t 0g, un mouvement brownien standard. Montrez que (i) Pour tout s >0, fWt+s Ws:t 0g
(ii) f Wt:t 0g
(iii) n
cW t
c2 :t 0o (iv) n
V0 = 0 etVt=tW1
tsi t >0 :t 0o sont aussi des mouvements browniens standard.
Exercice 9.7. Considérons un mouvement brownienBde dimension 4 dont les composantes sont corrélées:
Corr [Bt] = 0 BB
@
1 0:5 0:8 0:1 0:5 1 0:3 0:4 0:8 0:3 1 0:1 0:1 0:4 0:1 1
1 CC A
Trouver la matrice A telle queB=AW etW est une mouvement brwnien de dimension 4 dont les composantes sont indépendantes.
Les solutions
1 Exercice 9.1
Non, puisque pour 0 s t <1;
Var [Xt Xs] = Varhp
tZ p sZi
= p
t p s
2
Var [Z]
= t 2p tp
s+s
6
= t s:
2 Exercice 9.2
Oui. Il nous reste à montrer que (i) les incréments sont indépendants entre eux et que (ii) pour tout0 s t <1; Xt Xs est de loi N(0; t s):
(ii)
Xt Xs= (Wt Ws)
| {z }
N(0;t s)
| {z }
N(0; 2(t s))
+p
1 2 fWt fWs
| {z }
N(0;t s)
| {z }
N(0;(1 2)(t s))
Comme les deux termes du membre de droite de l’égalité sont deux variables aléatoires gaussiennes indépendantes d’espérance nulle, leur somme est aussi de loi normale d’espérance nulle. Maintenant,
Var [Xt Xs] = 2(t s) + 1 2 (t s) = t s ce qui complète cette première partie.
(i) Soit 0 t1 t2 t3 t4 <1. CommeXt2 Xt1 et Xt4 Xt3 sont toutes deux de loi normale, il su¢ t de montrer que leur covariance est nulle :
Cov [Xt2 Xt1;Xt4 Xt3]
= Covh
(Wt2 Wt1) +p
1 2 fWt2 fWt1 ; (Wt4 Wt3) +p
1 2 Wft4 fWt3 i
= 2Cov [Wt2 Wt1;Wt4 Wt3] + p
1 2Covh
Wt2 Wt1;fWt4 fWt3i + p
1 2Covh f
Wt2 Wft1;Wt4 Wt3i
+ 1 2 Covh f
Wt2 fWt1;fWt4 fWt3i
= 0
puisque l’indépendance entre les incréments d’un mouvement brownien implique que Cov [Wt2 Wt1;Wt4 Wt3] = 0
et
Covh f
Wt2 Wft1;Wft4 fWt3i
= 0
tandis que l’indépendance entre les deux mouvements browniens entraîne que Covh
Wt2 Wt1;Wft4 fWt3i
= 0 et
Covh
Wft2 Wft1;Wt4 Wt3i
= 0:
3 Exercice 9.3
(i)L’intégrabilité :
E [jXtj] = E exp Wt
2
2 t = E exp Wt
2
2 t
= Z 1
1
exp w
2
2 t 1 p2
p1
texp w2 2t dw
= Z 1
1
p1 2
p1
texp w2 2t w+ 2t2
2t dw
= Z 1
1
p1 2
p1 texp
"
(w t )2 2t
#
| {z }
fct. de densité d’uneN(t ;t)
dw= 1 <1
(ii) Puisque Xt est une fonction continue de variables aléatoires Ft mesurables, Xt est elle-même Ft mesurable.
(iii) Pour tout0 s t 1, E [Xtj Fs] = XsE Xt
Xs Fs carXs >0
= XsE 2 4exph
Wt 22ti exp Ws 22s Fs
3 5
= XsE exp (Wt Ws)
2
2 (t s) Fs
= XsE exp (Wt Ws)
2
2 (t s) car Wt Ws est indépendant deFs.
= Xs Z 1
1
exp w
2
2 (t s) 1 p2
p 1
t sexp w2
2 (t s) dw
= Xs Z 1
1
p1 2
p 1
t sexp w2 2 (t s) w+ 2(t s)
2 (t s) dw
= Xs Z 1
1
p1 2
p 1
t sexp
"
(w (t s) )2 2 (t s)
#
| {z }
fct. de densité d’uneN((t s) ;t s)
dw=Xs
4 Exercice 9.4
Premièrement, Wt2 t est Ft mesurable car c’est une fonction continue de Wt qui est Ft mesurable.
Deuxièmement,
E Wt2 t E Wt2 +t=t+t= 2t <1: Troisièmement, 80 s t;
E Wt2 tjFs = E (Wt Ws+Ws)2 tjFs
= E (Wt Ws)2+ 2Ws(Wt Ws) +Ws2 tjFs
= E (Wt Ws)2jFs
| {z }
=E[(Wt Ws)2]
=t s
+ 2WsE [Wt WsjFs]
| {z }
=E[Wt Ws]
=0
+Ws2 t
= Ws2 s.
5 Exercice 9.5
Nous pouvons supposer sans perte de généralité que 0< s < t.
Cov [Wt; Ws] = Cov [Wt Ws+Ws; Ws]
= Cov [Wt Ws; Ws] + Cov [Ws; Ws]
= Cov [Wt Ws; Ws W0] + Var [Ws]
= 0 +s car les incréments deW sont indépendants
= min(s; t) cars < t.
6 Exercice 9.6
Posons
Zt=Wt+s Ws: (M B1) Z0 =Ws Ws = 0:
(M B2) Puisque Ztk Ztk 1 = (Wtk+s Ws) Wtk 1+s Ws = Wtk+s Wtk 1+s et que 80 t0 < t1 < ::: < tk; les variables aléatoires Wt1+s Wt0+s; Wt2+s Wt1+s; ..., Wtk+s Wtk 1+s sont indépendantes, alors 80 t0 < t1 < ::: < tk; les variables aléatoires Zt1 Zt0; Zt2 Zt1; ...,Ztk Ztk 1 sont indépendantes.
(M B3) 8u; t 0 tel queu < t; Zt Zu = (Wt+s Ws) (Wu+s Ws) = Wt+s Wu+s est de distribution normale d’espérance 0 et de variance(t+s) (u+s) =t u.
(M B4) 8! 2 ; la trajectoire t ! Zt(!) = Wt+s(!) Ws(!) est continue puisque t!Wt(!)est continue.
Posons
Yt = Wt: (M B1) Y0 = W0 = 0:
(M B2) Puisque Ytk Ytk 1 = Wtk 1 Wtk et que 80 t0 < t1 < ::: < tk; les variables aléatoires Wt1 Wt0; Wt2 Wt1; ..., Wtk Wtk 1 sont indépendantes, alors 80 t0 < t1 <
::: < tk; les variables aléatoiresWt0 Wt1; Wt1 Wt2;...,Wtk 1 Wtk sont indépendantes,ce qui implique que Yt1 Yt0; Yt2 Yt1;..., Ytk Ytk 1 sont indépendantes.
(M B3) 8s; t 0tel ques < t; Yt Ys =Ws Wtest de distribution normale d’espérance 0 et de variancet s.
(M B4) 8!2 ;la trajectoiret !Yt(!) = Wt(!)est continue puisquet!Wt(!)est continue.
Posons
Xt=cW t
c2:
(M B1) X0 =cW0 = 0:
(M B2) Puisque Xtk Xtk 1 = cWtk
c2 cWtk 1
c2
et que 80 t0 < t1 < ::: < tk; les variables aléatoires Wt1
c2 Wt0
c2; Wt2
c2 Wt1
c2; ..., Wtk
c2 Wtk 1
c2 sont indépendantes, alors 80 t0 < t1 < ::: < tk;les variables aléatoirescWt1
c2 cWt0 c2; cWt2
c2 cWt1
c2;...,cWtk c2
cWtk 1 c2
sont indépendantes,ce qui implique que Xt1 Xt0; Xt2 Xt1; ...,Xtk Xtk 1 sont indépen- dantes.
(M B3) Puisque cW est de loi normale si W est de loi normale, 8s; t 0 tel que s < t; Xt Xs = c Wt
c2 Wc
c2 est de distribution normale d’espérance E [Xt Xs] = cEh
Wt
c2 Wc
c2
i
= 0 et de variance Var [Xt Xs] = c2Varh Wt
c2 Wc
c2
i
= c2 ct2
s c2 = t s.
(M B4) 8! 2 ; la trajectoire t ! Xt(!) =cW t
c2 (!) est continue puisque t ! Wt(!) est continue.
Posons
Vt= 0 si t= 0 tW1
t sit >0:
(M B1) V0 = 0 par dé…nition de V. (M B3) 8s; t 0 tel que s < t;
Vt Vu = tW1
t sW1
s
= s W1
s W1
t + (t s)W1
t
est composée d’une combinaison linéaire de deux variables aléatoires indépendantes de loi normale. Vt Vu est donc aussi de distribution normale.
E [Vt Vs] = Eh tW1
t sW1
s
i
=tEh W1
t
i
sEh W1
s
i
= 0 et
Var [Vt Vs] = Varh
s W1
s W1
t + (t s)W1
t
i
= Var h
s W1
s W1
t
i + Var
h
(t s)W1
t
i carW1
s W1
t est indépendante de W1
t
= s2Varh W1
s W1
t
i
+ (t s)2Varh W1
t
i
= s2 1 s
1
t + (t s)2 1 t
= s s2
t +t 2s+s2 t
= t s:
Sis = 0 alors Vt =tW1
test de distribution normale d’espérance E [Vt] = Eh
tW1
t
i
=tEh W1
t
i
= 0 et de variance
Var [Vt] = Varh tW1
t
i
=t2Varh W1
t
i
=t21 t =t:
(M B2) Il su¢ t de montrer que, 80 t1 < t2 t3 < t4 la covariance entre les deux variables aléatoires Vt2 Vt1 et Vt4 Vt3 est nulle puisque ces dernières sont de loi normale.
Sit1 >0; alors, puisque 0< t1
4 < t1
3
1 t2 < t1
1, Cov [Vt2 Vt1;Vt4 Vt3] = Covh
t2W1
t2
t1W1
t1
;t4W1
t4
t3W1
t3
i
= t2t4Covh W1
t2
;W1
t4
i
t2t3Covh W1
t2
;W1
t3
i t1t4Covh
W1
t1
;W1
t4
i
+t1t3Covh W1
t1
;W1
t3
i
puisque Cov (Wt; Ws) = min(s; t):
= t2t4 1
t4 t2t31
t3 t1t41
t4 +t1t31 t3
= t2 t2 t1+t1
= 0 Si t1 = 0, alors
Cov [Vt2 Vt1;Vt4 Vt3] = Covh t2W1
t2
;t4W1
t4
t3W1
t3
i
= t2t4Covh W1
t2
;W1
t4
i
t2t3Covh W1
t2
;W1
t3
i
= t2t41
t4 t2t31 t3
= t2 t2
= 0
(M B4) 8!2 ;la trajectoiret !Vt(!) =tW1
t (!)est continue pour toutt >0puisque les fonctions t ! Wt(!) et t ! t sont continues donc leur produit l’est aussi. Comme limt!0tW1
t (!) = 0 presque sûrement, la trajectoiret !Vt(!) =tW1
t (!) est continue pour tout t.
