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Étude du mouvement brownien de rotation de macromolécules en chaîne

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Academic year: 2021

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HAL Id: jpa-00236120

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00236120

Submitted on 1 Jan 1959

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Étude du mouvement brownien de rotation de macromolécules en chaîne

Philippe Wahl

To cite this version:

Philippe Wahl. Étude du mouvement brownien de rotation de macromolécules en chaîne. J. Phys.

Radium, 1959, 20 (7), pp.680-682. �10.1051/jphysrad:01959002007068000�. �jpa-00236120�

(2)

680.

ÉTUDE DU MOUVEMENT BROWNIEN DE ROTATION DE MACROMOLÉCULES EN CHAINE Par PHILIPPE WAHL,

Centre de Recherches sur les Macromolécules, Strasbourg (France).

Résumé.

2014

On étudie le mouvement brownien de rotation d’une molécule formée de n chaînons

rigides librement articulés les uns aux autres. On donne notamment pour n = 2 et n = 3 les

expressions des carrés moyens des déplacements angulaires des chaînons pendant un intervalle

de temps 0394t.

Abstract.

2014

Study of the rotational Brownian movement of a chain molecule consisting of n rigid links freely rotating. Expressions are given in particular, in the case n = 2 and n = 3, for the mean square angular displacement of a link during the time interval 0394t.

LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM TOME 20, JUILLET 1959,

I. Introduction.

--

On admet en général que

lorsque l’on a affaire à une substance fluorescente

en solution, les oscillateurs qui absorbent une

lumière excitatrice donnée et ceux qui la réémettent

sous forme de lumière de fluorescence, sont linéaires

et possèdent une position bien déterminée dans la molécule.

Depuis les travaux de F. Perrin [1] on sait que par suite de l’agitation thermique les oscillateurs

peuvent tourner entre le moment de l’absorption

et celui de la réémission, ce qui entraîne une dépo-

larisation supplémentaire de la lumière émise. Pour des molécules rigides sensiblement plus grandes que

celles du solvant les rotations obéissent aux lois du mouvement brownien et F. Perrin [1, 2] a pu relier la dépolarisation de la lumière de fluorescence aux constantes’ de diffusion de rotation des molécules

en solution. Cette théorie a été appliquée avec

succès à certaines protéines globulaires au point isoionique et a permis de retrouver leurs dimen-

sions [3, 4].

Dans d’autres conditions expérimentales on ne peut plus considérer ces molécules comme rigides

et on a émis l’hypothèse qu’elles sont formées de

deux parties articulées l’une par rapport à

l’autre [4]. Cette hypothèse est voisine de celle que l’on est conduit à. formuler quand on veut étudier

les polymères portant des groupes fluorescents fixés au squelette de la chaîne [5].

Nous avons donc étudié le mouvement brownien d’un modèle simple qui permette le calcul et grâce auquel il sera possible d’essayer drinterpréter les

résultats obtenus sur la fluorescence des molécules

_

flexibles.

Nous considérerons des molécules formées de n chaînons rigides librement articulés les uns par

rapport aux autres. Un chaînon sera supposé grand

par rapport aux molécules du solvant et nous lui

appliquerons les lois du mouvement brownien.

Pour simplifier encore le problème, nous suppo-

serons une chaîne plane effectuant ses mouvements dans le plan ; nous négligerons les interactions

hydrodynamiques entre chaînions.

Nous nous bornerons dans ce travail à calculer le carré moyen d’un petit déplacement angulaire

d’un chaînon quelle que soit sa place dans la

chaîne. Ceci nous donnera une constante de dif- fusion de rotation instantanée correspondant à une configuration donnée de la chaîne et à une position

déterminée d’un élément dans la molécule. On passera de nos résultats à l’interprétation des

données expérimentales en faisant une moyenne des configurations de la chaîne en solution.

Remarquons que ces résultats pourraient être appliqués au problème de l’absorption diélectrique

des solutions de hauts polymères. Il suffirait de remplacer l’oscillateur fluorescent par un moment

dipolaire électrique permanent.

II. Évaluation de l’énergie cinétique.

-

Un

chaînon est constitué par une barre rigide de lon-

gueur a et la matière est supposée localisée aux

extrémités des chaînons sous forme de boules

d’égale grosseur. Le diamètre des boules étant petit devant la longueur du chaînon les forces de frottement dues à la rotation des boules sur elles- mêmes seront négligées..

Les axes de coordonnées de directions fixes auront pour origine le centre de gravité G, et il

suffira d’étudier le mouvement du système autour

de ce point. Si 01 ... 0. sont les angles des chaînons

avec la direction Ox, on calculera les coor-

données xo, yo

...

xn, yn des boules au moyen des 2n + 2 relations

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01959002007068000

(3)

681

Par dérivation totale des (xq Yi) par rapport au temps t on obtiendra les composantes des vitesses (xz, i) en fonction des Op et 6p que l’on portera dans l’expression de l’énergie cinétique. Les Ô, sont les

vitesses angulaires. Désignons par .K l’énérgie ciné- tique. Par définition :

m étant la masse d’une boule.

On obtient

III. Équations du mouvement. - Fixons main- tenant notre attention sur une configuration

donnée de la molécule, définie par les valeurs

01 ... On et considérons les petits mouvements

autour de cette configuration, dus à l’agitation

moléculaire. Nous pouvons poser que les vitesses

sont très petites, si bien que l’on peut considérer

dans la théorie des petits mouvements [6] que les apq sont constants.

Dans ces conditions les n équations du mouve-

ment s’écrivent :

Lp représente la contribution des forces aléa- toires.

Qp représente celle des forces de frottement

Xi et Yi sont les composantes de la résultante des’forces de frottement sur la boule i. Si f est le

coefficient de frottement de translation d’une telle

boule; on a

De plus on a les relations hien connues (systèmes holonomes)

Il en résulte

D’où l’expression des équations (2)

En effectuant les dérivations, ces mêmes équa-

tions s’écrivent :

(4) constitué un système linéaire en

Résolvons ce système par rapport à up et soit Dn le déterminant du système et A,, le cofacteur de ap

dans le développement de Dn; on ales équations du

mouvement sous la forme :

IV. Calcul des carrés moyens des déplacements

élémentaires. - Soit A6p le déplacement angu- laire dù piète chaînon effectué pendant le temps At

très court ; nous sommes maintenant capables de

calculer les moyennes A0§ et A06 A6p prises sur

toutes les molécules de même configuration.

Pour une justification plus complète des calculs

qui suivent, nous renverrons le ,lecteur à

F. Perrin [7]. Nous diviserons l’interville At en

N intervalles 8t égaux. Intégrons alors pendant ce temps la pième et la qième équation du système (3) :

avec

Élevons les deux membres de (6) au carré et’

prenons les moyennes sur toutes molécules de la

con figuration considérée. On trouve alors, en intro- duisant les hypothèses normales du mouvement brownien

De même multiplions les premiers membres et

les seconds membres entre eux de (6) et (7) on

obtient

Or on peut écrire

(4)

682

D’après le théorème d’équipartition

On trouve donc finalement

Calculons maintenant le déplacement 80p total

résultant des chocs se produisant dans l’inter- valle 8t. Il s’obtient en intégrant la pième équation

du système (5) et on trouve

On en déduit en élevant au carré

Les équations du mouvement étant linéaires,

on a

(aep)i étant le déplacement total qui serait effectué

sous l’action des chocs moléculaires se produisant

durant le iième instant at. Ces déplacements étant indépendants les uns des autres on a par élévation

au carré et prenant la moyenne sur toutes les molécules de configuration donnée .

c!, comme At = N 81 on aura

On peut écrire l’expression entre crochets sous la

forme

qui se réduit d’après les propriétés des déterminants à

D’oii finalement

Par un calcul semblable on trouve

Les expressions (7) et (8) peuvent s’obtenir en posant que les déplacements aléatoires,

ont une densité de probabilité obéissant à une loi de Laplace-Gauss à n dimensions [9] qui s’écrit

avec

On peut expliciter ces formules pour les petites

valeurs de n. Pour n == l’par exemple on trouve :

C’est la formule relative à une haltère rigide [8]

qui a été déjà donnée par Kuhn. Pour n == 2 on

obtient :

et pour n ü 3

Lorsque n devient grand les calculs deviennent

inextricables ; il serait intéressant de trouver une

loi asymptotique valable quand n, devient grand.

Manuscrit reçue le 6 février 1959.

RÉFÉRENCES [1] PERRIN (F.), Ann. Physique, 1929,12,169.

[2] PERRIN (F.), J. Physique Rad., 1936, 7, 1.

[3] WEBER (G.), Biochem. J., 1952, 51,145.

[4] WEBER (G.), Biochem. J., 1952, 51, 155.

[5] WAHL (Ph.), J. Pol. Sc., 1958, 29, 375.

[6] APPELL (P.), Traité de Mécanique Rationnelle, Gau-

thiers-Villars, éditeur, p. 330.

[7] PERRIN (F.), J. Physique Rad., 1934, 5, 497.

[8] KUHN (W.), KUHN (H.) et BUCHNER, Ergebnisse der

exakten Naturwissenschaften, 1951.

[9] FORTET, Calcul des Probabilités, p. 113, C. N. R. S.,

éditeur.

Références

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