Cours de Mécanique quantique Filiére SMP-Semestre 5

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Cours de Mécanique quantique Filiére SMP-Semestre 5

Université Mohammed V Faculté des sciences

Mohammed Loulidi

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Table des matières

Contents 4

Préambule 4

1 Postulats de la mécanique quantique 5

1.1 Introduction . . . 6

1.2 Ennoncé des postulats de la mécanique quantique . . . 7

1.2.1 Description de l’état dynamique d’un système . . . 7

1.2.2 Description des grandeurs physiques . . . 7

1.2.3 Mesure des grandeurs physiques . . . 7

1.2.3.1 Résultats possibles . . . 7

1.2.3.2 Principe de décomposition spectrale . . . 7

1.2.3.3 Réduction du paquet d’ondes . . . 9

1.2.4 Evolution des systèmes dans le temps . . . 9

1.2.5 Règles de quantification . . . 9

1.3 Interprétation physique des postulats . . . 10

1.3.1 Règles de quantifications et mécanismes de la mesure . . . 10

1.3.2 Valeur moyenne et écart quadratique moyen d’une observable . . . 10

1.3.3 Compatibilité des observables . . . 11

1.3.3.1 Compatibilité . . . 11

1.3.3.2 Préparation d’un état et construction de l’espace des étatsE 12 1.4 L’équation de Schrödinger . . . 13

1.4.1 Propriétés de l’équation de Schrödinger . . . 13

1.4.2 Evolution de la valeur moyenne . . . 14

1.5 Systèmes conservatifs . . . 15

1.5.1 Equation de Schrödinger et états stationnaires . . . 16

1.5.2 Constante du mouvement . . . 17

1.5.3 Fréquences de Bohr et règles de sélection . . . 18

1.5.4 relation d’incertitude temps-Energie. . . 19

(3)

2 Moment cinétique de spin : Application des postulats 20

2.1 Introduction . . . 21

2.2 Experience de Stern-Gerlach : Mise en évidence expérimentale du spin . . . 21

2.3 Description quantique du spin : Postulats de la théorie de Pauli . . . 22

2.4 Propriétés du moment cinétique du spin S= 1/2 et espace des états . . . . 23

2.5 Illustration des postulats sur le cas du spinS = ¹₂ . . . 25

2.5.1 Préparation des états . . . 25

2.5.2 Mesure de spin . . . 26

2.6 Evolution d’un spin ¹₂ dans un champ magnétique uniforme . . . 28

3 L’oscillateur harmonique 30 3.1 Introduction . . . 31

3.2 Quantification de l’O.H. et solution opératorielle . . . 32

3.2.1 Hamiltonien et équations aux V.P . . . 32

3.2.2 Les opérateurs de création et d’annihilation . . . 33

3.2.3 Détermination du spectre de H . . . 34

3.2.3.1 Lemmes . . . 34

3.2.3.2 Spectre de N . . . 34

3.3 États propres de l’hamiltonien H . . . 36

3.3.1 Dégénérescence des V~. P |ϕⁱ_n > . . . 36

3.3.2 Expression des |ϕn> et représentation dea et a⁺ . . . 36

3.3.3 Fonctions d’ondes associées à |ϕn > . . . 37

3.4 Discussion physique . . . 39

3.4.1 Calcul des écarts quadratiques moyens, principe d’incertitude de Heisenberg. . . 39

3.4.2 Propriétés de l’état fondamental . . . 40

3.4.3 Evolution temporelle des valeurs moyennes . . . 41

4 Théorie du moment cinétique en mécanique quantique 43 4.1 Introduction . . . 44

4.2 Relations de commutation des moments cinétiques . . . 44

4.2.1 Moments cinétiques orbitaux. . . 44

4.2.2 Généralisation à un moment cinétique quelconque . . . 45

4.3 Théorie générale des moments cinétiques . . . 45

4.3.1 Equations aux valeurs propres de J² etJz . . . 46

4.3.2 Détermination du spectre de J² et Jz . . . 46

4.4 Vecteurs propres deJ² etJz : Construction des espaces des étatsE(k, j) . 49 4.5 Application au moment cinétique orbitale. . . 51

4.5.1 V~.P et fonction propres de L² et Lz . . . 51

(4)

4.5.2 Propriétés des harmoniques sphériques . . . 53

4.5.3 Discussion physique . . . 55

4.5.3.1 Valeurs moyennes . . . 55

4.5.3.2 Calcul des previsions physiques . . . 55

(5)

Chapitre 1

Postulats de la mécanique quantique

1.1 Introduction

En mécanique classique, la connaissance des variables dynamiques{q_i(t)}et{p_i(t)}à tout instanttpermet la détermination exacte de l’état de notre système.{q_i(t)}(variables de position) et{pi(t)}(variables d’impulsion) étant respectivement l’ensemble des variables généralisées et les moments conjuguées. Dans le formalisme de Lagrange les équations du mouvement sont déterminées à partir des équations de Lagrange :

∂L

∂q_i = d dt

∂L

∂q˙_i

!

oùL(qi,q˙i, t) =T( ˙qi)−V(qi, t) est le lagrangien du système, oùT( ˙qi) est l’ènergie cinétique et V(qi, t) l’énergie potentielle du système. Dans le cadre du formalisme lagrangien les moments conjuguées sont définis par pi = _∂^∂L_q_˙

i. Les équations du mouvement peuvent être aussi déterminées à partir des équations de Hamilton-Jacobi :

˙

qi = ∂H

∂p_i p˙i =− ∂H

∂q_i

!

où H(qi, pi, t) = ^P^N_k=1pkdq˙k− L(qi,q˙i, t) est l’Hamiltonian du système.

Toutes les grandeurs physiques sont fonction des variables dynamiques qi(t), ˙qi(t), pi(t) et le temps t : L’énergie H(qi, pi, t) ; le moment cinétique ~σ(qi, pi, t) ;...etc. Ainsi par la connaissance de l’état du système à un instant t0 on peut dèterminer exactement son état à toute instant ultérieur t et prédire exactement le résultat de toute mesure effectuée sur le système à toute instant t.

En mécanique quantique, la relation entre l’état dynamique du système et les variables n’est pas évidente. Toute mesure perturbe complètement le système. Cette perturbation est complètement incontrôlable. Ce qui impose une limite sur la precision de toute mesure simultanée des grandeurs physiques.

En conséquence, pour toute description quantique d’un système physique il faut concevoir comment

- décrire l’état d’un système quantique.

- connaissant l’état du système, prévoir les résultats de toute mesure.

- connaissant l’état du système à un instantt0, dèterminer son état à un instanttultérieur.

(7)

1.2 Ennoncé des postulats de la mécanique quantique

1.2.1 Description de l’état dynamique d’un système

Soit E^r l’espace des états du système. On sait que ∀ | ψ(t) >∈ E^r on lui associe la fonction d’onde ψ(~r, t) =< ~r|ψ(t)>

1^er postulat

Pour tout instantt0 fixé, l’état du système est défini par la donnée d’un ket|ψ(t0)>∈ E^r.

1.2.2 Description des grandeurs physiques

2^ème postulat

Toute grandeur physique mesurable A est décrite par une observable A; opérateur hermitique agissant dans E^r(A | ψ >=| ϕ >∈ E^r). Par exemple l’opérateur H est associé à l’énergie du système, le spin S~ est associé au moment magnétique M~,...

Remarque

En Mécanique classique l’état du système est décrit par des variables dynamiques qi et pi alors qu’en mécanique quantique l’état d’un système est décrit par un vecteur et les grandeurs physiques par des opérateurs.

1.2.3 Mesure des grandeurs physiques

1.2.3.1 Résultats possibles 3^ème postulat

La mesure d’une grandeur physique Ane peut donner comme résultat qu’une des valeurs propres de l’observable A correspondante.

1.2.3.2 Principe de décomposition spectrale

Soit {|un>} la base constituée des vecteurs propres(V~.P) de l’opérateur A tel que A |uⁱ_n>=an|uⁱ_n >avec i= 1,2, ..., gn où gn est le degré de dégénérescence de la valeur propre(V.P) a_n. D’après le principe de décomposition spectral, tout état |ψ > peut être décomposé dans la base {| un >} : |ψ >= ^P_n^P^g_i=1ⁿ cⁱ_n |uⁱ_n >. En considérant que l’état est normé ; < ψ | ψ >= 1, la probabilité de trouver la valeur propre an après la mesure est donnée par :

P(an) =

gn

X

i=1

|< uⁱ_n |ψ >|² =

gn

X

i=1

|cⁱ_n|² 4^ème postulat

La mesure d’une grandeur physiqueApour un système dans un état|ψ >normé ne peut

(8)

donner comme résultat la valeur propre an de l’observableA qu’avec une probabilité P(an) =

gn

X

i=1

|< uⁱ_n|ψ >|²

Dans le cas d’un spectre continu non dégénéré : A | vα >= α | vα >, l’état du système étant donné par | ψ > ^R dαc(α)|vα >, la probabilité de trouver une valeur propre entre α et α+dα est :

P(α) =|< vα |ψ >|²dα=|c(α)|²dα Remarques :

— Si la valeur propre est non dégénéré ; i.e gn = 1

P(an) =|< un|ψ >|² =|cn|²

— Si |ψ >est non normée, la probabilité de mesure est : Cas d’un spectre discret

P(an) =

Pgn

i=1|< uⁱ_n |ψ >|²

< ψ |ψ >

Cas d’un spectre continu

P(α) = |< vα |ψ >|²

< ψ|ψ > dα

— Les états |ψ >et |ψ^′ >=αe^iθ |ψ >décrivent le même état physique. En effet

Pgn

i=1|< uⁱ_n|ψ^′ >|²

< ψ^′ |ψ^′ > = α² α²

Pgn

i=1|< uⁱ_n|ψ >|²

< ψ |ψ > =P(an)

— P(an) est indépendante de la base choisie.

Soit Pn = ^P^g_i=1ⁿ | uⁱ_n >< uⁱ_n | l’opérateur de projection dans le sous espace Eⁿ engendré par la base {|uⁱ_n>}

P(an) = ^P^g_i=1ⁿ |< uⁱ_n |ψ >|²

= < ψ|(^P^g_i=1ⁿ |uⁱ_n >< uⁱ_n|)|ψ >

= < ψ|Pn|ψ >

(9)

dans Eⁿ.

1.2.3.3 Réduction du paquet d’ondes

Soit | ψ > l’état du système avant la mesure d’une grandeur physique A. Après la mesure, l’état du système ne reste plus le même ; | ψ >→| ψ^′ >6=| ψ >. Si après la mesure on obtient la V.P an : A | ψ >= an | ψ >. Si an est non dégénérée on a

|ψ^′ >=

Pgn

i=1cⁱ_n|uⁱ_n >

qPgn

i=1|cⁱ_n|² sachant que cⁱ_n=< uⁱ_n|ψ >, ^P^g_i=1ⁿ cⁱ_n |uⁱ_n>=Pn|ψ >

5^ème postulat

Si le résultat de la mesure d’une grandeur physique sur l’état du système donne la valeur an, l’état du système immédiatement après la mesure est la projection normée sur le sous espace propre associé à la V.P an :

|ψ^′ >= Pn|ψ >

q< ψ |P_n |ψ >

Remarque : A | ψ^′ >= an | ψ^′ > , après une deuxième mesure, la probabilité de trouver la V.P an est certaine, P^′(an) = 1.

1.2.4 Evolution des systèmes dans le temps

6^ème postulat

L’évolution dans le temps de l’état |ψ(t)>est régie par l’équation de Schrödinger i~d

dt |ψ(t)>=H |ψ(t)>

où H est l’hamiltonien du système.

1.2.5 Règles de quantification

Elles permettent de construire l’opérateurAà partir de la grandeur physiqueA(~r, ~p, t) correspondante. On sait qu’on associe à la position ~r l’opérateur R(X, Y, Z) et la quan- tité de mouvement ~p l’opérateur P(Px, Py, Pz). Sachant qu’on passe d’un espace dont l’algèbre est commutative à un espace d’opérateur dont l’algèbre est non commutative ([Ri, Pj] =i~δij) toute grandeur physiqueA(~r, ~p, t) doit être symétrisée vue queRP 6=P R

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et en plus RP est non hermitique vue que (RP)⁺=P⁺R⁺=P R.

7^ème postulat

L’observable As’obtient en remplaçant, dans l’expression de la grandeur physique correspondante convenablement symétrisée, ~r et~p par les observables R et P respectivement.

Exemple :~r.~p→1/2(~r.~p+~p.~r)→1/2(RP +P R)

1.3 Interprétation physique des postulats

1.3.1 Règles de quantifications et mécanismes de la mesure

— Le 4^ème postulat permet de retrouver l’interpretation probabiliste de la fonction d’onde.

R et P sont des opérateurs à spectre continu. Soit | ψ > le vecteur d’état du système, la probabilité de trouver la particule entre x et x +dx est P(x) =

| < x | ψ > |²dx = |ψ(x)|²dx. En représentation | p >, la probabilité pour que la particule aie une quantité de mouvement entre p et p+dp est P(p) =

| < p | ψ > |²dp = |ψ(p)|²dp. On rappelle que dans la représentation | p >,

< x|p >= ^√_2π¹ _~e^~ⁱ^px.

— Le 3^ème postulat énonce que la mesure d’une grandeur physique ne peut donner que les V.P associées à cette grandeur. Elles peuvent être aussi bien continues que discrètes. Ceci justifie la quantification de l’énergie.

— Le 4^ème et le 5^ème postulat expliquent le caractère probabiliste de la mesure.

Ceci résulte de l’interaction du système avec l’appareil de mesure(observateur) et aussi avec son environnement.

1.3.2 Valeur moyenne et écart quadratique moyen d’une obser- vable

Les predictions de la meure sont probabilistes(postulats 4 et 5). En effectuant N mesures de l’observable A et si on obtient N(an) fois la valeur an alors la probabilité d’obtenir a_n comme résultat de la mesure est donnée par lim

N→+∞

N(an)

N =P(an). La valeur moyenne de A est donnée par

< A >= ^P_nP(an)an

= lim

N→+∞ 1 N

P

nN(an)an

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sachant que P(an) =^P^g_i=1ⁿ |< uⁱ_n|ψ >|² alors

< A >= ^P_n^P^g_i=1ⁿ an< ψ |uⁱ_n>< uⁱ_n|ψ >

= < ψ |A(^P_n^P^g_i=1ⁿ |uⁱ_n >< uⁱ_n|)|ψ >

= < ψ |A|ψ >

Remarque

si |ψ >est non normée

< A >= < ψ|A |ψ >

< ψ |ψ >

L’écart quadratique moyen exprime la dispersion des résultats ; càd la variation des valeurs par rapport à leur moyenne. Il est donné par

(∆A)² = h(A−< A >)²i

= < A² >−< A >²

Soient A et B deux observables qui ne commutent pas, on peut montrer que

∆A∆B ≥ 1

2|<[A, B]>|

En particulier, pour les opérateursPietRj on a [Pi, Rj] =−i~ce qui conduit à la relation d’incertitude de Heisenberg

∆Pi∆Ri ≥ ~ 2

oùRietPjdésignent respectivement les différentes composantes deR(X, Y, Z) etP(Px, Py, Pz)

1.3.3 Compatibilité des observables

1.3.3.1 Compatibilité

Soient A et B deux observables qui commutent ; [A, B] = 0. Il existe une base {|an, bp, i >} deV~.P communs :

A|an, bp, i >=an |an, bp, i > , B |an, bp, i >=bp |an, bp, i >

Si le système est dans un état |ψ > tel que la mesure simultanée de A etB donnera les V.P (an, bp), A etB sont dites compatibles.

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est

|ψ^′ >=

P

p,icn,p,i|an,bp,i>

qP

p,i|cn,p,i|²

= √^Pⁿ^|^ψ>

<ψ|Pn|ψ>

où Pn = ^P_p,i | an, bb, i >< i, bp, an |. La mesure ensuite de B donne la valeur bp avec la probabilité

Pan(bp) = ^P_i|< i, bp, an|ψ^′ >|²

= ^P^Pⁱ^|c^n,p,i^|²

p,i|cn,p,i|²

La probabilité de trouver (an, bn) dans une mesure simultanée de A et de B est donnée par P(an, bp) = P(an)× Pan(bp) = ^P_i|cn,p,i|². L’état immédiatement après la mesure simultanée de A et B est

|ψ^′′ >=

P

icnpi |an, bp, i >

qP

i|cn,p,i|²

Le résultat de la mesure est indépendant de l’ordre dans lequel sont effectuées les deux mesures. Ce résultat peut être retrouvé par application directe du 4^éme et 5^éme postulat.

En effet, la mesure simultanée deAetBpeut donner les valeurs (an, bp) avec la probabilité P(an, bp) = ^P_i| < i, bp, an | ψ > |². L’état après la mesure est la projection sur le sous espace propre associé aux V.P (an, bp)

|ψ^′′ >= Pnp |ψ >

q< ψ|Pnp|ψ >

où Pnp =^P_i |an, bp, i >< i, bp, an |

1.3.3.2 Préparation d’un état et construction de l’espace des états E

Si an est dégénérée l’état après la mesure est donné par |ψ^′ >= √^Pⁿ^|^ψ>

<ψ|Pn|ψ>. Il dépend de

| ψ >. Si on mesure deux observables A et B compatibles, le résultat de la mesure est (an, bp) et l’état après la mesure est | ψ^′ >= _|c^c^np

np| | an, bp >. La donnée de (an, bp) fixe complètement l’état du système indépendamment de |ψ >.

Si (an, bp) est dégénéré tel que le vecteur propre commun est|an, bp, i > aveci= 1,2, ..gn, on doit chercher une autre observable C qui commute avec A et B. Si on note par {| an, bp, cq >} la base commune des trois observables, l’état après la mesure simulta-

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née des observables est |ψ^′ >= _|c^c^npq

npq| |an, bp, cq>. Il est indépendant de |ψ >.

En conclusion, la donnée d’un ensemble complet d’observables qui commutent(ECOC) permet de déterminer complètement l’état du système indépendamment de l’état initial

| ψ >. Ce qui justifie l’introduction de la notion d’ECOC. En faisant un nombre suffi- sant de mesures, on va parcourir tous les états possibles du système et par conséquent on construit ainsi la base associée à l’espace des états E. En conséquence, ∀ | ψ >∈ E,| ψ >= ^P_npqr...c_npqr... |a_n, b_p, c_q, d_r... >

1.4 L’équation de Schrödinger

1.4.1 Propriétés de l’équation de Schrödinger

Connaissant l’état du système à l’instant t0;|ψ(t0)> l’équation de Schrödinger i~d

dt |ψ(t)>=H |ψ(t)>

nous permet de déterminer l’état du système |ψ(t)>à tout instant ultérieur t.

— L’équation de Schrödinger est une équation déterministe. L’indéterminisme n’apparait que pendant la mesure ou le système est perturbé.

— Principe de superposition.

Elle est linéaire, elle obéit au principe de superposition. Si | ψ1 > et | ψ2 >

sont solutions, toute combinaison linéaire |ψ >=λ1 | ψ1 > +λ2 | ψ2 > est une solution.

— Conservation de la probabilité

i- La norme < ψ(t)|ψ(t)>est conservée. En effet i~d

dt < ψ(t)|ψ(t)>=−< ψ(t)|H⁺|ψ(t)>+< ψ(t)|H |ψ(t)>= 0.

Ceci conduit au résultat bien connu < ψ(t) | ψ(t) >= cst = 1 qui s’écrit en représentation |~r >

Z

d³r < ψ |~r >< ~r|ψ >=^Z d³r|ψ(~r, t)|² = 1 ii- Densité et courant de probabilité

Considérons une particule en mouvement soumise à un potentiel V(~r, t) réel.

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L’équation de Schrödinger s’écrit i~d

dtψ(~r, t) = P²

2m +V(~r, t)

!

ψ(~r, t) son équation complexe conjuguée est

−i~d

dtψ^∗(~r, t) = P²

2m +V(~r, t)

!

ψ^∗(~r, t)

Multiplions les deux équations respectivement parψ^∗(~r, t) et−ψ(~r, t) et ajoutons les membre à membre. On obtient

i~∂

∂t|ψ(~r, t)|² =−~²

2m(ψ^∗(~r, t)∆ψ(~r, t)−ψ(~r, t)∆ψ^∗(~r, t)) Si on pose

J(~r, t) = _2mi^~ (ψ^∗(~r, t)∇ψ(~r, t)−ψ(~r, t)∇ψ^∗(~r, t))

= _m¹Re^hψ^∗^~_i∇ψⁱ on obtient,

∇.J(~r, t) = _2mi^~ (∇ψ^∗.∇ψ+ψ^∗∇²ψ− ∇ψ.∇ψ^∗−ψ∇²ψ^∗)

= _2mi^~ (ψ^∗∆ψ−ψ∆ψ^∗)

Si on note par ρ(~r, t) =|ψ(~r, t)|² la densité de probabilité, on obtient l’équation de la conservation locale de la probabilité qui s’exprime par :

∂ρ(~r, t)

∂t +∇.J(~r, t) = 0

Elle est analogue à l’équation de conservation locale de la charge électrique où la densité de charge est remplacée par la densité de probabilité et le vecteur densité de courant par un vecteur de courant de probabilité.

1.4.2 Evolution de la valeur moyenne

Soit< ψ|A|ψ >la valeur moyenne de l’observableAqu’on suppose qu’elle dépend explicitement du temps. Son évolution est :

d

dt < A > (t) = ~ⁱ < ψ |HA|ψ >+< ψ | ^∂A_∂t |ψ >−~ⁱ < ψ |AH |ψ >

= _i¹~ <[A, H]>+< ^∂A_∂t >

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Remarque :

A toute grandeur physique classique mesurable A(~r(t), ~p(t), t) on associe une observable A(R, P, t) tout en tenant compte de la règle de quantification ~r(t) → R et ~p(t) → R.

Sachant queR etP étant des observables indépendantes du temps, cette dépendance qui se trouvait dans les variables dynamiques~r(t), ~p(t) passe, après quantification, au vecteur d’état |ψ(t)>.

Soit

H = P²

2m +V(R)

l’hamiltonien d’une particule en mouvement soumise à potentiel V(R).

d

dt < R >(t) = _i¹~ <[R, H]>

= ^{<P >}_m

d

dt < P >(t) = _i¹~ <[P, H]>

= −<∇V(R)>

C’est le théorème d’Ehrenfest.

Ces équations sont identiques aux équations classiques d’une particule soumise à un potentiel V(~r).

Soit < R > (t) la position du centre du paquet d’onde. D’après le théorème d’Ehrenfest on obtient l’équation

md²

dt² < R >(t) = −<∇V(R)>,

Donc le centre du paquet d’onde n’obéit pas forcément aux lois de la mécanique classique.

Si ψ(~r, t) ne subit de variations considérables que dans un domaine très étroit de largeur

∆r, [r0− ^∆r₂ , r₀+ ^∆r₂ ] ; i.e la largeur du paquet d’onde ∆r << ∇V(r). En conséquence, on peut supposer que ∇V(r)≃ cste dans le domaine de variation de ψ(~r, t), càd que la particule ne sent pas les effets quantiques du potentiel. Ainsi nous pouvons faire l’approxi- mation<∇V(R)>≃ ∇V(< R >) qui amène le centre du paquet d’onde à obéir aux lois classiques.

1.5 Systèmes conservatifs

Un système conservatif est un système dont l’énergie totale ne varie pas au cours du temps, E(t) = cste. C’est une constante du mouvement.

(16)

1.5.1 Equation de Schrödinger et états stationnaires

A titre de simplification, on suppose que le spectre d’énergie est discret. L’équation de Schrödinger indépendante du temps est H | ϕnτ >= En | ϕnτ > où | ϕnτ > sont les états propres de l’hamiltonien H avec τ un indice qui rassemble l’ensemble des indices autres que n qui caractérisent l’état du système.

∀t,|ψ(t)>=^P_n,τcnτ |ϕnτ >. L’équation de Schrödinger conduit à

X

n,τ

i~dcnτ(t)

dt |ϕnτ >=^X

n,τ

cnτ(t)En|ϕnτ >

Par projection sur la base des V~.P{|ϕnτ >} on obtient l’équation i~dcnτ(t)

dt =c_nτ(t)En

dont la solution est

c_nτ(t) = c_nτ(t0)e⁻ⁱ^~^Eⁿ^(t−t⁰⁾ On obtient finalement,

|ψ(t)>=^X

n,τ

cnτ(t0)e⁻^~ⁱ^Eⁿ^(t−t⁰⁾|ϕnτ >

avec cnτ(t0) =< ϕnτ |ψ(t0)> où|ψ(t0)> est l’état du système à l’instant t0. Dans le cas d’un spectre continu

|ψ(t)>=^X

τ

Z

Cτ(E, t0)e⁻^~ⁱ^E(t⁻^t⁰⁾ |ϕEτ > dE Remarque

Si |ψ(t0)>est un état propre de H tel que H |ψ(t0)>=En |ψ(t0)>,

|ψ(t)>= ^P_τcnτ |ϕnτ >

= ^P_τcnτ(t0)e⁻^~ⁱ^Eⁿ^(t−t⁰⁾ |ϕnτ >

= e⁻ⁱ^~^Eⁿ^(t⁻^t⁰⁾^P_τcnτ(t0)|ϕnτ >

= e⁻ⁱ^~^Eⁿ^(t⁻^t⁰⁾ |ψ(t0)>≡|ψ(t0)>

alors |ψ(t)> est un état stationnaire.

(17)

1.5.2 Constante du mouvement

En multipliant l’équation de Schrödinger par e⁻ⁱ^~^H(t) on obtient i~e⁻^~ⁱ^{Ht d}_dt |ψ(t)>= e⁻^~ⁱ^HtH |ψ(t)>

= i~^d

dt(e⁻^~ⁱ^Ht)|ψ(t)>

d’où l’équation

d

dt(e⁻^~ⁱ^Ht |ψ(t)>) = 0 Ainsi on obtient

e⁻^~ⁱ^Ht |ψ(t)>=e⁻^~ⁱ^Ht⁰ |ψ(t0)>

ce qui aboutit à l’équation

|ψ(t)>=e⁻^~ⁱ^H(t⁻^t⁰⁾ |ψ(t0)>

qui s’écrit

|ψ(t)>=U(t, t0)|ψ(t0)>

où U(t, t0) =e⁻^~ⁱ^H(t−t⁰⁾ est l’opérateur d’évolution.

Dans la représentation de Heisenberg, la dépendance dans le temps qui se trouvait, dans la représentation de Schrödinger, dans le vecteur d’état | ψ(t) > passe aux opérateurs.

Dans cette représentation de Heisenberg on pose

|ψ >H=U⁺(t, t0)|ψ(t)>=|ψ(t0)>

et

AH(t) = U⁺(t)AU(t) Par dérivation de AH(t) on obtient

dAH

dt = 1

i~[AH, HH] + ∂A

∂t

!

H

C’est l’équation d’évolution de l’opérateur de Heisenberg qui est l’équivalent de l’équation d’évolution de Schrödinger.

AH(t) est une constante du mouvement si ^dA_dt^H = 0, ce qui conduit à







[AH, HH] = 0

∂A

∂t

H = 0

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En conséquence AH(t) = AH(t0) ; AH =A.

Par définition A est une constante du mouvement si







[A, H] = 0

∂A

∂t = 0

Remarques

— Si A est une constante du mouvement alors < A > est aussi une constante du mouvement.

— Vue que [A, H] = 0, alors ∃{|ϕnpτ >} base commune à A etH tel que H |ϕ_npτ >=E_n |ϕ_npτ > , A|ϕ_npτ >=a_p |ϕ_npτ >

oùτ est un indice qui correspond aux autres observables qui forment un ECOC avec{A, H}. |ϕ_npτ >étant des états stationnaires, ils demeurent toujours états propres de A avec la même V.P ap. Les V.P de A sont appelés de bon nombres quantiques et la probabilité d’avoir la valeur ap comme résultat de la mesure de A est indépendante du temps. En effet, vue que cnpτ(t) =e⁻^~ⁱ^Eⁿ^(t⁻^t⁰⁾cnpτ(t0),

P(ap, t) = ^X

nτ |cnpτ(t)|² =^X

nτ |cnpτ(t0)|² =P(ap, t0)

1.5.3 Fréquences de Bohr et règles de sélection

Sachant que l’état d’un système conservative est donné par

|ψ(t)>=^X

n,τ

c_nτ(t0)e⁻^~ⁱ^Eⁿ^(t⁻^t⁰⁾|ϕ_nτ >

< A >(t) = < ψ|A|ψ >

= ^P_n,τ^P_n′,τ^′c^∗_n′τ^′(t0)e^~ⁱ^Eⁿ^′^(t−t⁰⁾ < ϕn^′τ^′ |A|ϕnτ > cnτ(t0)e⁻^~ⁱ^Eⁿ^(t−t⁰⁾

= ^P_n,τ^P_n′,τ^′c^∗_n′τ^′cnτ(t0)e^~ⁱ^(Eⁿ^′^−Eⁿ^)(t−t⁰⁾< ϕn^′τ^′ |A|ϕnτ >

On suppose queAne dépend pas explicitement du temps,^∂A_∂t = 0. Par conséquent< ϕn^′τ^′ | A|ϕnτ >est indépendante du temps. Donc< A >(t) est une série de termes qui oscillent en fonction du temps à des fréquences, appelées fréquences de Bohr

νnn^′ = 1 2π

|E_n^′ −En|

~

(19)

Si n =n^′, νnn^′ = 0. Seuls les éléments non diagonaux < ϕn^′τ^′ |A |ϕnτ > qui permettent la détermination des fréquences νnn^′ permises du système. Ce sont les seules fréquences qui peuvent être émises ou absorbées, c’est la règle de sélection de Bohr.

La moyenne de toutes les grandeurs atomiques(moment dipôlaire électrique, moment ma- gnétique,...) oscillent à des fréquence de Bohr de l’atome.

1.5.4 relation d’incertitude temps-Energie

SoitAune observable qui ne dépend pas explicitement du temps,< ψ| ^∂A_∂t |ψ >= 0.

L’équation d’évolution de < A > (t) est i~^d

dt < A > (t) =< [A, H] >. Or on sait que

∆A∆E ≥ ¹₂|<[A, H]>| où (∆A)² =< A² > −< A >² et (∆E)² =< H² >− < H >². On obtient alors l’équation

∆A∆E ≥ ~ 2

d < A >(t) dt

En considérant ∆tA= d<A>^∆A dt

qui est le temps caractéristique de la distribution statistique de A, càd le temps nécessaire pour que < A > (t) varie de ∆A(passage à un autre état), on obtient ∆tA∆E ≥ ^~₂. Cette dernière relation doit être satisfaite par l’ensemble des observables associées au système. En considérant le temps caractéristique minimum

∆t = min_{A}(∆tA) de toutes les observables, on obtient la relation d’incertitude temps- énergie

∆t∆E ≥ ~ 2

∆test le temps caractéristique d’évolution du système. C’est le temps nécessaire pour que le système change d’état.

Si ∆t → +∞ alors ∆E = 0. Cette situation correspond aux systèmes dont l’énergie ne fluctue pas au cours du temps(cas des systèmes classiques). Pour les particules élémen- taires qui sont très énergétiques ∆E → +∞ alors ∆t = 0. Ce ci signifie que le temps d’observation des particules élémentaires est extrêmement petit.

(20)

Chapitre 2

Moment cinétique de spin : Application des postulats

2.1 Introduction

Le spin est une grandeur physique associée aux particules quantiques. Elle décrit une propriété intrinsèque qui n’a pas d’analogue en mécanique classique. Parmi les mani- festations expérimentales de l’existence de spin de l’électron, on cite

— Le comportement des atomes d’Ag, atome neutre paramagnétique, sous l’effet d’un champ magnétique B~.

— La structure fine des raies spectrales. Chacune des raies spectrales se divise, sous l’effet d’un champ magnétique B, en un certain nombre de raies spectrales~ équidistantes, séparées par un interval proportionnel à |B~|. C’est l’effet Zeeman Afin d’expliquer ces phénomènes physiques, on associe au moment cinétique orbital ~L un moment magnétique M~ = ^µ~^BL, où~ µB = _2m^q_e~ est le magnéton de Bohr. q et me

étant respectivement la charge et la masse de l’électron. Or cette théorie qui s’avère confirmée expérimentalement dans certains cas, elle reste impuissante à rendre compte de l’anomalie qui apparait pour les atomes de numéros atomique Z impaire. C’est l’effet Zeeman anormal : Les niveaux se divisent en un nombre paire de sous niveaux alors que d’après la théorie, il doit être impaire, puisque égal à (2ℓ+ 1) avecℓ entier.

2.2 Experience de Stern-Gerlach : Mise en évidence expérimentale du spin

On considère l’expérience suivante :

les atomes d’Ag, qui sont neutres, étant chauffés à une température très élevée sont

Figure 2.1 – Experience de Stern et Gerlach

éjectés de l’enceinte E et passent à travers une fente collimatrice F. Le faisceau passe à travers un électro-aimant et subit une déviation du fait que B~ ≡B(z) est non uniforme.~

(22)

Les atompes d’Ag étant neutres, ne subissent pas la force de Laplace, mais ils ont un moment magnétique M~. Ils subissent alors une forceF~ =−∇~W qui dérive d’une énergie potentielle :

W =−M . ~~ B

avec M~ =γ~L où ~L est le moment cinétique etγ le rapport gyromagnétique. Le moment des forces est donné par ~Γ =M~ ∧B.~

Par application du théorème du moment cinétique, on obtient d~L

dt =M~ ∧B~ =γ~L∧B~

C’est l’équation d’un mouvement de rotation autour de B~. L’atome se comporte comme un gyroscope tel que ^d~_dt^L⊥L. Ainsi~ M~ tourne autour de B~ avec une vitesse angulaire ω=γB.

On suppose que Mx = My = 0 et Mz = cst. Vue que B~ ≡ B~(z), la force qui produit la déviation s’écrit F~ = Mz∇~Bz. En conséquence F est proportionnelle à Mz et on a Mz ∝HN.

Mz étant continue, on s’attend à ce qu’on observe une tache continue sur la plaque cen- trées autour de l’origine. L’experience montre l’existence de deux taches centrée autour de ±|M_z|. En conclusion, l’experience montre que les seuls résultats possibles sont ±M_z, d’où la quantification du moment cinétique L_z(Mz). C’est un moment cinétique J = 1/2 et dont le nombre quantique associé à Mz ne peut prendre que les valeurs m=±1/2.

2.3 Description quantique du spin : Postulats de la théorie de Pauli

Afin de résoudre les difficultés rencontrées ci-dessus, on propose l’hypothèse suivante :

L’électron tourne autour de lui même engendrant ainsi un moment cinétique appelé spin qu’on lui associe un moment magnétiqueM~ = 2^µ~^BS. Une description quantique non rela-~ tiviste du spin a été proposée par Pauli. En plus des opérateurs R etP qui agissent dans l’espace des états Er, il introduit un opérateur de spin S~ qui vérifie les postulats suivants :

— L’opérateurS~ est un moment cinétique qui vérifie les relations de commutations [Sj, Sk] =i~ǫjklSl

où les indicesj, k, ldénotent les composantes du spin (x, y, z) etǫjklest le symbol

(23)

de Levi-Civitta. Il est nul si au moins deux indices sont égaux et égal à +1(-1) dans une rotation d’indice directe(indirecte). Explicitement on a :

[Sx, Sy] =i~Sz , [Sy, Sz] =i~Sx , [Sz, Sx] =i~Sy

— L’opérateur S~ agit dans un nouvel espace des états de spin E^s où S² et Sz

constituent un ECOC. E^s est engendré par la base des vecteurs {|s, m >}: S² |s, m >=s(s+ 1)~² |s, m > , Sz |s, m >=m~|s, m >

sest le spin de la particule :−s ≤m≤set la dimension deEsestdimEs = 2s+1

— E =E^r⊗ E^s

Donc toute observable de spin commute avec toute observable orbitale qui dépend de R etP.

— L’électron possède un spin S = 1/2 et son moment magnétique intrinsèque pos- sède deux valeurs m=±1/2.

Remarque :

Le spin n’a pas d’analogue en classique. Il apparait, dans l’équation de Dirac qui traite l’électron dans le cadre de la mécanique quantique relativiste, comme une propriété in- trinsèque de l’électron. (Ceci est dû à la structure du groupe de Lorentz).

2.4 Propriétés du moment cinétique du spin S = 1/2 et espace des états

D’après les résultats de Stern-Gerlach et les postulats de Pauli, l’électron de spin 1/2 possède deux états propres de l’opérateurSz :

Sz |+>= ~

2 |+> , Sz | −>=−~ 2 | −>

où {|+>,| − >} est la base de l’espace des états Es. Elle satisfait les relations d’ortho- gonalité

<+|+>=<− | −>= 1 , <+|+>=<− | −>= 0 et la relation de fermeture

|+>< +|+| −><− |=

1

(24)

où

1

est la matrice identité.

∀ |ψ >∈ Es ona

|ψ >=α |+>+β | −>

On définit les opérateurs S⁺ et S⁻ par S⁺ = 1

2(Sx+iS_y) , S⁻ = 1

2(Sx−iS_y) avec

S^± | ±>= 0 , S^± | ∓>=~| ±>

Vue que les composantes de spin S_x et S_y peuvent être exprimées en fonction des opéra- teurs S⁺ etS⁻ :

Sx = 1

2(S⁺+S⁻) , Sy = 1

2i(S⁺−S⁻) la représentation matricielle de l’opérateur S~ s’écrit

Sx = ~ 2





0 1 1 0



 ; Sy = ~ 2





0 −i

i 0



 ; Sz = ~ 2





1 0 0 −1





Souvent on pose S_α = ^~₂σ_α où les σ_α sont les matrices de Pauli :

σx =





0 1 1 0



 ; σy =





0 −i

i 0



 ; σz =





1 0

0 −1





Elles satisfont les relations de commutation :

[σx, σ_y] = 2iσz , [σy, σ_z] = 2iσx , [σz, σ_x] = 2iσy

qui peuvent être résumées en : [σj, σk] = 2iǫjklσl

On montre facilement les relations suivantes :

σ²_x=σ_y² =σ_z² =

1

^{; [σ}x, σy]₋ = 0 ; σxσy =iσz

∀

M =





a b c d





on peut écrire M en fonction des matrices σα :

M =α

1

⁺^βσ^x⁺^γσ^y⁺^δσ^z