1.4.1 Propriétés de l’équation de Schrödinger
Connaissant l’état du système à l’instant t0;|ψ(t0)> l’équation de Schrödinger i~d
dt |ψ(t)>=H |ψ(t)>
nous permet de déterminer l’état du système |ψ(t)>à tout instant ultérieur t.
— L’équation de Schrödinger est une équation déterministe. L’indéterminisme n’ap-parait que pendant la mesure ou le système est perturbé.
— Principe de superposition.
Elle est linéaire, elle obéit au principe de superposition. Si | ψ1 > et | ψ2 >
sont solutions, toute combinaison linéaire |ψ >=λ1 | ψ1 > +λ2 | ψ2 > est une solution.
— Conservation de la probabilité
i- La norme < ψ(t)|ψ(t)>est conservée. En effet i~d
dt < ψ(t)|ψ(t)>=−< ψ(t)|H+|ψ(t)>+< ψ(t)|H |ψ(t)>= 0.
Ceci conduit au résultat bien connu < ψ(t) | ψ(t) >= cst = 1 qui s’écrit en représentation |~r >
Z
d3r < ψ |~r >< ~r|ψ >=Z d3r|ψ(~r, t)|2 = 1 ii- Densité et courant de probabilité
Considérons une particule en mouvement soumise à un potentiel V(~r, t) réel.
L’équation de Schrödinger s’écrit i~d
dtψ(~r, t) = P2
2m +V(~r, t)
!
ψ(~r, t) son équation complexe conjuguée est
−i~d
dtψ∗(~r, t) = P2
2m +V(~r, t)
!
ψ∗(~r, t)
Multiplions les deux équations respectivement parψ∗(~r, t) et−ψ(~r, t) et ajoutons les membre à membre. On obtient
i~∂
∂t|ψ(~r, t)|2 =−~2
2m(ψ∗(~r, t)∆ψ(~r, t)−ψ(~r, t)∆ψ∗(~r, t)) Si on pose
J(~r, t) = 2mi~ (ψ∗(~r, t)∇ψ(~r, t)−ψ(~r, t)∇ψ∗(~r, t))
= m1Rehψ∗~i∇ψi on obtient,
∇.J(~r, t) = 2mi~ (∇ψ∗.∇ψ+ψ∗∇2ψ− ∇ψ.∇ψ∗−ψ∇2ψ∗)
= 2mi~ (ψ∗∆ψ−ψ∆ψ∗)
Si on note par ρ(~r, t) =|ψ(~r, t)|2 la densité de probabilité, on obtient l’équation de la conservation locale de la probabilité qui s’exprime par :
∂ρ(~r, t)
∂t +∇.J(~r, t) = 0
Elle est analogue à l’équation de conservation locale de la charge électrique où la densité de charge est remplacée par la densité de probabilité et le vecteur densité de courant par un vecteur de courant de probabilité.
1.4.2 Evolution de la valeur moyenne
Soit< ψ|A|ψ >la valeur moyenne de l’observableAqu’on suppose qu’elle dépend explicitement du temps. Son évolution est :
d
dt < A > (t) = ~i < ψ |HA|ψ >+< ψ | ∂A∂t |ψ >−~i < ψ |AH |ψ >
= i1~ <[A, H]>+< ∂A∂t >
Remarque :
A toute grandeur physique classique mesurable A(~r(t), ~p(t), t) on associe une observable A(R, P, t) tout en tenant compte de la règle de quantification ~r(t) → R et ~p(t) → R.
Sachant queR etP étant des observables indépendantes du temps, cette dépendance qui se trouvait dans les variables dynamiques~r(t), ~p(t) passe, après quantification, au vecteur d’état |ψ(t)>.
Soit
H = P2
2m +V(R)
l’hamiltonien d’une particule en mouvement soumise à potentiel V(R).
d
dt < R >(t) = i1~ <[R, H]>
= <P >m
d
dt < P >(t) = i1~ <[P, H]>
= −<∇V(R)>
C’est le théorème d’Ehrenfest.
Ces équations sont identiques aux équations classiques d’une particule soumise à un po-tentiel V(~r).
Soit < R > (t) la position du centre du paquet d’onde. D’après le théorème d’Ehrenfest on obtient l’équation
md2
dt2 < R >(t) = −<∇V(R)>,
Donc le centre du paquet d’onde n’obéit pas forcément aux lois de la mécanique classique.
Si ψ(~r, t) ne subit de variations considérables que dans un domaine très étroit de largeur
∆r, [r0− ∆r2 , r0+ ∆r2 ] ; i.e la largeur du paquet d’onde ∆r << ∇V(r). En conséquence, on peut supposer que ∇V(r)≃ cste dans le domaine de variation de ψ(~r, t), càd que la particule ne sent pas les effets quantiques du potentiel. Ainsi nous pouvons faire l’approxi-mation<∇V(R)>≃ ∇V(< R >) qui amène le centre du paquet d’onde à obéir aux lois classiques.
1.5 Systèmes conservatifs
Un système conservatif est un système dont l’énergie totale ne varie pas au cours du temps, E(t) = cste. C’est une constante du mouvement.
1.5.1 Equation de Schrödinger et états stationnaires
A titre de simplification, on suppose que le spectre d’énergie est discret. L’équation de Schrödinger indépendante du temps est H | ϕnτ >= En | ϕnτ > où | ϕnτ > sont les états propres de l’hamiltonien H avec τ un indice qui rassemble l’ensemble des indices autres que n qui caractérisent l’état du système.
∀t,|ψ(t)>=Pn,τcnτ |ϕnτ >. L’équation de Schrödinger conduit à
X
n,τ
i~dcnτ(t)
dt |ϕnτ >=X
n,τ
cnτ(t)En|ϕnτ >
Par projection sur la base des V~.P{|ϕnτ >} on obtient l’équation i~dcnτ(t)
dt =cnτ(t)En
dont la solution est
cnτ(t) = cnτ(t0)e−i~En(t−t0) On obtient finalement,
|ψ(t)>=X
n,τ
cnτ(t0)e−~iEn(t−t0)|ϕnτ >
avec cnτ(t0) =< ϕnτ |ψ(t0)> où|ψ(t0)> est l’état du système à l’instant t0. Dans le cas d’un spectre continu
|ψ(t)>=X
τ
Z
Cτ(E, t0)e−~iE(t−t0) |ϕEτ > dE Remarque
Si |ψ(t0)>est un état propre de H tel que H |ψ(t0)>=En |ψ(t0)>,
|ψ(t)>= Pτcnτ |ϕnτ >
= Pτcnτ(t0)e−~iEn(t−t0) |ϕnτ >
= e−i~En(t−t0)Pτcnτ(t0)|ϕnτ >
= e−i~En(t−t0) |ψ(t0)>≡|ψ(t0)>
alors |ψ(t)> est un état stationnaire.
1.5.2 Constante du mouvement
En multipliant l’équation de Schrödinger par e−i~H(t) on obtient i~e−~iHt ddt |ψ(t)>= e−~iHtH |ψ(t)>
= i~d
dt(e−~iHt)|ψ(t)>
d’où l’équation
d
dt(e−~iHt |ψ(t)>) = 0 Ainsi on obtient
e−~iHt |ψ(t)>=e−~iHt0 |ψ(t0)>
ce qui aboutit à l’équation
|ψ(t)>=e−~iH(t−t0) |ψ(t0)>
qui s’écrit
|ψ(t)>=U(t, t0)|ψ(t0)>
où U(t, t0) =e−~iH(t−t0) est l’opérateur d’évolution.
Dans la représentation de Heisenberg, la dépendance dans le temps qui se trouvait, dans la représentation de Schrödinger, dans le vecteur d’état | ψ(t) > passe aux opérateurs.
Dans cette représentation de Heisenberg on pose
|ψ >H=U+(t, t0)|ψ(t)>=|ψ(t0)>
et
AH(t) = U+(t)AU(t) Par dérivation de AH(t) on obtient
dAH
dt = 1
i~[AH, HH] + ∂A
∂t
!
H
C’est l’équation d’évolution de l’opérateur de Heisenberg qui est l’équivalent de l’équation d’évolution de Schrödinger.
AH(t) est une constante du mouvement si dAdtH = 0, ce qui conduit à
[AH, HH] = 0
∂A
∂t
H = 0
En conséquence AH(t) = AH(t0) ; AH =A.
Par définition A est une constante du mouvement si
[A, H] = 0
∂A
∂t = 0
Remarques
— Si A est une constante du mouvement alors < A > est aussi une constante du mouvement.
— Vue que [A, H] = 0, alors ∃{|ϕnpτ >} base commune à A etH tel que H |ϕnpτ >=En |ϕnpτ > , A|ϕnpτ >=ap |ϕnpτ >
oùτ est un indice qui correspond aux autres observables qui forment un ECOC avec{A, H}. |ϕnpτ >étant des états stationnaires, ils demeurent toujours états propres de A avec la même V.P ap. Les V.P de A sont appelés de bon nombres quantiques et la probabilité d’avoir la valeur ap comme résultat de la mesure de A est indépendante du temps. En effet, vue que cnpτ(t) =e−~iEn(t−t0)cnpτ(t0),
P(ap, t) = X
nτ |cnpτ(t)|2 =X
nτ |cnpτ(t0)|2 =P(ap, t0)
1.5.3 Fréquences de Bohr et règles de sélection
Sachant que l’état d’un système conservative est donné par
|ψ(t)>=X
n,τ
cnτ(t0)e−~iEn(t−t0)|ϕnτ >
< A >(t) = < ψ|A|ψ >
= Pn,τPn′,τ′c∗n′τ′(t0)e~iEn′(t−t0) < ϕn′τ′ |A|ϕnτ > cnτ(t0)e−~iEn(t−t0)
= Pn,τPn′,τ′c∗n′τ′cnτ(t0)e~i(En′−En)(t−t0)< ϕn′τ′ |A|ϕnτ >
On suppose queAne dépend pas explicitement du temps,∂A∂t = 0. Par conséquent< ϕn′τ′ | A|ϕnτ >est indépendante du temps. Donc< A >(t) est une série de termes qui oscillent en fonction du temps à des fréquences, appelées fréquences de Bohr
νnn′ = 1 2π
|En′ −En|
~
Si n =n′, νnn′ = 0. Seuls les éléments non diagonaux < ϕn′τ′ |A |ϕnτ > qui permettent la détermination des fréquences νnn′ permises du système. Ce sont les seules fréquences qui peuvent être émises ou absorbées, c’est la règle de sélection de Bohr.
La moyenne de toutes les grandeurs atomiques(moment dipôlaire électrique, moment ma-gnétique,...) oscillent à des fréquence de Bohr de l’atome.
1.5.4 relation d’incertitude temps-Energie
SoitAune observable qui ne dépend pas explicitement du temps,< ψ| ∂A∂t |ψ >= 0.
L’équation d’évolution de < A > (t) est i~d
dt < A > (t) =< [A, H] >. Or on sait que
∆A∆E ≥ 12|<[A, H]>| où (∆A)2 =< A2 > −< A >2 et (∆E)2 =< H2 >− < H >2. On obtient alors l’équation
∆A∆E ≥ ~ 2
d < A >(t) dt
En considérant ∆tA= d<A>∆A dt
qui est le temps caractéristique de la distribution statistique de A, càd le temps nécessaire pour que < A > (t) varie de ∆A(passage à un autre état), on obtient ∆tA∆E ≥ ~2. Cette dernière relation doit être satisfaite par l’ensemble des observables associées au système. En considérant le temps caractéristique minimum
∆t = min{A}(∆tA) de toutes les observables, on obtient la relation d’incertitude temps-énergie
∆t∆E ≥ ~ 2
∆test le temps caractéristique d’évolution du système. C’est le temps nécessaire pour que le système change d’état.
Si ∆t → +∞ alors ∆E = 0. Cette situation correspond aux systèmes dont l’énergie ne fluctue pas au cours du temps(cas des systèmes classiques). Pour les particules élémen-taires qui sont très énergétiques ∆E → +∞ alors ∆t = 0. Ce ci signifie que le temps d’observation des particules élémentaires est extrêmement petit.
Chapitre 2
Moment cinétique de spin : Application des postulats
Contents
2.1 Introduction . . . 21
2.2 Experience de Stern-Gerlach : Mise en évidence expérimen-tale du spin . . . 21
2.3 Description quantique du spin : Postulats de la théorie de Pauli . . . 22
2.4 Propriétés du moment cinétique du spin S = 1/2 et espace des états . . . 23
2.5 Illustration des postulats sur le cas du spin S = 12 . . . 25
2.5.1 Préparation des états . . . 25
2.5.2 Mesure de spin . . . 26 2.6 Evolution d’un spin 12 dans un champ magnétique uniforme . 28
2.1 Introduction
Le spin est une grandeur physique associée aux particules quantiques. Elle décrit une propriété intrinsèque qui n’a pas d’analogue en mécanique classique. Parmi les mani-festations expérimentales de l’existence de spin de l’électron, on cite
— Le comportement des atomes d’Ag, atome neutre paramagnétique, sous l’effet d’un champ magnétique B~.
— La structure fine des raies spectrales. Chacune des raies spectrales se divise, sous l’effet d’un champ magnétique B, en un certain nombre de raies spectrales~ équidistantes, séparées par un interval proportionnel à |B~|. C’est l’effet Zeeman Afin d’expliquer ces phénomènes physiques, on associe au moment cinétique orbital ~L un moment magnétique M~ = µ~BL, où~ µB = 2mqe~ est le magnéton de Bohr. q et me
étant respectivement la charge et la masse de l’électron. Or cette théorie qui s’avère confirmée expérimentalement dans certains cas, elle reste impuissante à rendre compte de l’anomalie qui apparait pour les atomes de numéros atomique Z impaire. C’est l’effet Zeeman anormal : Les niveaux se divisent en un nombre paire de sous niveaux alors que d’après la théorie, il doit être impaire, puisque égal à (2ℓ+ 1) avecℓ entier.