1.3.1 Règles de quantifications et mécanismes de la mesure
— Le 4ème postulat permet de retrouver l’interpretation probabiliste de la fonction d’onde.
R et P sont des opérateurs à spectre continu. Soit | ψ > le vecteur d’état du système, la probabilité de trouver la particule entre x et x +dx est P(x) =
| < x | ψ > |2dx = |ψ(x)|2dx. En représentation | p >, la probabilité pour que la particule aie une quantité de mouvement entre p et p+dp est P(p) =
| < p | ψ > |2dp = |ψ(p)|2dp. On rappelle que dans la représentation | p >,
< x|p >= √2π1 ~e~ipx.
— Le 3ème postulat énonce que la mesure d’une grandeur physique ne peut donner que les V.P associées à cette grandeur. Elles peuvent être aussi bien continues que discrètes. Ceci justifie la quantification de l’énergie.
— Le 4ème et le 5ème postulat expliquent le caractère probabiliste de la mesure.
Ceci résulte de l’interaction du système avec l’appareil de mesure(observateur) et aussi avec son environnement.
1.3.2 Valeur moyenne et écart quadratique moyen d’une obser-vable
Les predictions de la meure sont probabilistes(postulats 4 et 5). En effectuant N mesures de l’observable A et si on obtient N(an) fois la valeur an alors la probabilité d’obtenir an comme résultat de la mesure est donnée par lim
N→+∞
N(an)
N =P(an). La valeur moyenne de A est donnée par
< A >= PnP(an)an
= lim
N→+∞ 1 N
P
nN(an)an
sachant que P(an) =Pgi=1n |< uin|ψ >|2 alors
< A >= PnPgi=1n an< ψ |uin>< uin|ψ >
= < ψ |A(PnPgi=1n |uin >< uin|)|ψ >
= < ψ |A|ψ >
Remarque
si |ψ >est non normée
< A >= < ψ|A |ψ >
< ψ |ψ >
L’écart quadratique moyen exprime la dispersion des résultats ; càd la variation des valeurs par rapport à leur moyenne. Il est donné par
(∆A)2 = h(A−< A >)2i
= < A2 >−< A >2
Soient A et B deux observables qui ne commutent pas, on peut montrer que
∆A∆B ≥ 1
2|<[A, B]>|
En particulier, pour les opérateursPietRj on a [Pi, Rj] =−i~ce qui conduit à la relation d’incertitude de Heisenberg
∆Pi∆Ri ≥ ~ 2
oùRietPjdésignent respectivement les différentes composantes deR(X, Y, Z) etP(Px, Py, Pz)
1.3.3 Compatibilité des observables
1.3.3.1 Compatibilité
Soient A et B deux observables qui commutent ; [A, B] = 0. Il existe une base {|an, bp, i >} deV~.P communs :
A|an, bp, i >=an |an, bp, i > , B |an, bp, i >=bp |an, bp, i >
Si le système est dans un état |ψ > tel que la mesure simultanée de A etB donnera les V.P (an, bp), A etB sont dites compatibles.
Supposons que|ψ >=Pn,p,icn,p,i |an, bp, i >. La probabilité d’obteniranaprès la mesure de A estP(an) =< ψ | Pn | ψ >= Pp,i| < i, bp, an | ψ > |2. L’état juste après la mesure
est
|ψ′ >=
P
p,icn,p,i|an,bp,i>
qP
p,i|cn,p,i|2
= √Pn|ψ>
<ψ|Pn|ψ>
où Pn = Pp,i | an, bb, i >< i, bp, an |. La mesure ensuite de B donne la valeur bp avec la probabilité
Pan(bp) = Pi|< i, bp, an|ψ′ >|2
= PPi|cn,p,i|2
p,i|cn,p,i|2
La probabilité de trouver (an, bn) dans une mesure simultanée de A et de B est donnée par P(an, bp) = P(an)× Pan(bp) = Pi|cn,p,i|2. L’état immédiatement après la mesure simultanée de A et B est
|ψ′′ >=
P
icnpi |an, bp, i >
qP
i|cn,p,i|2
Le résultat de la mesure est indépendant de l’ordre dans lequel sont effectuées les deux mesures. Ce résultat peut être retrouvé par application directe du 4éme et 5éme postulat.
En effet, la mesure simultanée deAetBpeut donner les valeurs (an, bp) avec la probabilité P(an, bp) = Pi| < i, bp, an | ψ > |2. L’état après la mesure est la projection sur le sous espace propre associé aux V.P (an, bp)
|ψ′′ >= Pnp |ψ >
q< ψ|Pnp|ψ >
où Pnp =Pi |an, bp, i >< i, bp, an |
1.3.3.2 Préparation d’un état et construction de l’espace des états E
Soit | ψ > un état ∈ E tel que la mesure de l’observable A donne la valeur an; A |un >=an |un >. Sian est non dégénérée l’état après la mesure est |ψ′ >=|un >. Il est indépendant de |ψ >. L’état du système est complètement déterminée par la mesure de A.
Si an est dégénérée l’état après la mesure est donné par |ψ′ >= √Pn|ψ>
<ψ|Pn|ψ>. Il dépend de
| ψ >. Si on mesure deux observables A et B compatibles, le résultat de la mesure est (an, bp) et l’état après la mesure est | ψ′ >= |ccnp
np| | an, bp >. La donnée de (an, bp) fixe complètement l’état du système indépendamment de |ψ >.
Si (an, bp) est dégénéré tel que le vecteur propre commun est|an, bp, i > aveci= 1,2, ..gn, on doit chercher une autre observable C qui commute avec A et B. Si on note par {| an, bp, cq >} la base commune des trois observables, l’état après la mesure
simulta-née des observables est |ψ′ >= |ccnpq
npq| |an, bp, cq>. Il est indépendant de |ψ >.
En conclusion, la donnée d’un ensemble complet d’observables qui commutent(ECOC) permet de déterminer complètement l’état du système indépendamment de l’état initial
| ψ >. Ce qui justifie l’introduction de la notion d’ECOC. En faisant un nombre suffi-sant de mesures, on va parcourir tous les états possibles du système et par conséquent on construit ainsi la base associée à l’espace des états E. En conséquence, ∀ | ψ >∈ E,| ψ >= Pnpqr...cnpqr... |an, bp, cq, dr... >
1.4 L’équation de Schrödinger
1.4.1 Propriétés de l’équation de Schrödinger
Connaissant l’état du système à l’instant t0;|ψ(t0)> l’équation de Schrödinger i~d
dt |ψ(t)>=H |ψ(t)>
nous permet de déterminer l’état du système |ψ(t)>à tout instant ultérieur t.
— L’équation de Schrödinger est une équation déterministe. L’indéterminisme n’ap-parait que pendant la mesure ou le système est perturbé.
— Principe de superposition.
Elle est linéaire, elle obéit au principe de superposition. Si | ψ1 > et | ψ2 >
sont solutions, toute combinaison linéaire |ψ >=λ1 | ψ1 > +λ2 | ψ2 > est une solution.
— Conservation de la probabilité
i- La norme < ψ(t)|ψ(t)>est conservée. En effet i~d
dt < ψ(t)|ψ(t)>=−< ψ(t)|H+|ψ(t)>+< ψ(t)|H |ψ(t)>= 0.
Ceci conduit au résultat bien connu < ψ(t) | ψ(t) >= cst = 1 qui s’écrit en représentation |~r >
Z
d3r < ψ |~r >< ~r|ψ >=Z d3r|ψ(~r, t)|2 = 1 ii- Densité et courant de probabilité
Considérons une particule en mouvement soumise à un potentiel V(~r, t) réel.
L’équation de Schrödinger s’écrit i~d
dtψ(~r, t) = P2
2m +V(~r, t)
!
ψ(~r, t) son équation complexe conjuguée est
−i~d
dtψ∗(~r, t) = P2
2m +V(~r, t)
!
ψ∗(~r, t)
Multiplions les deux équations respectivement parψ∗(~r, t) et−ψ(~r, t) et ajoutons les membre à membre. On obtient
i~∂
∂t|ψ(~r, t)|2 =−~2
2m(ψ∗(~r, t)∆ψ(~r, t)−ψ(~r, t)∆ψ∗(~r, t)) Si on pose
J(~r, t) = 2mi~ (ψ∗(~r, t)∇ψ(~r, t)−ψ(~r, t)∇ψ∗(~r, t))
= m1Rehψ∗~i∇ψi on obtient,
∇.J(~r, t) = 2mi~ (∇ψ∗.∇ψ+ψ∗∇2ψ− ∇ψ.∇ψ∗−ψ∇2ψ∗)
= 2mi~ (ψ∗∆ψ−ψ∆ψ∗)
Si on note par ρ(~r, t) =|ψ(~r, t)|2 la densité de probabilité, on obtient l’équation de la conservation locale de la probabilité qui s’exprime par :
∂ρ(~r, t)
∂t +∇.J(~r, t) = 0
Elle est analogue à l’équation de conservation locale de la charge électrique où la densité de charge est remplacée par la densité de probabilité et le vecteur densité de courant par un vecteur de courant de probabilité.
1.4.2 Evolution de la valeur moyenne
Soit< ψ|A|ψ >la valeur moyenne de l’observableAqu’on suppose qu’elle dépend explicitement du temps. Son évolution est :
d
dt < A > (t) = ~i < ψ |HA|ψ >+< ψ | ∂A∂t |ψ >−~i < ψ |AH |ψ >
= i1~ <[A, H]>+< ∂A∂t >
Remarque :
A toute grandeur physique classique mesurable A(~r(t), ~p(t), t) on associe une observable A(R, P, t) tout en tenant compte de la règle de quantification ~r(t) → R et ~p(t) → R.
Sachant queR etP étant des observables indépendantes du temps, cette dépendance qui se trouvait dans les variables dynamiques~r(t), ~p(t) passe, après quantification, au vecteur d’état |ψ(t)>.
Soit
H = P2
2m +V(R)
l’hamiltonien d’une particule en mouvement soumise à potentiel V(R).
d
dt < R >(t) = i1~ <[R, H]>
= <P >m
d
dt < P >(t) = i1~ <[P, H]>
= −<∇V(R)>
C’est le théorème d’Ehrenfest.
Ces équations sont identiques aux équations classiques d’une particule soumise à un po-tentiel V(~r).
Soit < R > (t) la position du centre du paquet d’onde. D’après le théorème d’Ehrenfest on obtient l’équation
md2
dt2 < R >(t) = −<∇V(R)>,
Donc le centre du paquet d’onde n’obéit pas forcément aux lois de la mécanique classique.
Si ψ(~r, t) ne subit de variations considérables que dans un domaine très étroit de largeur
∆r, [r0− ∆r2 , r0+ ∆r2 ] ; i.e la largeur du paquet d’onde ∆r << ∇V(r). En conséquence, on peut supposer que ∇V(r)≃ cste dans le domaine de variation de ψ(~r, t), càd que la particule ne sent pas les effets quantiques du potentiel. Ainsi nous pouvons faire l’approxi-mation<∇V(R)>≃ ∇V(< R >) qui amène le centre du paquet d’onde à obéir aux lois classiques.