18 blocs pour apprendre la mécanique quantique et la physique statistique
Résonance magnétique
Structure des atomes
Physique des solides
Physique stellaire Principe du laser
Nature du "réel"
Le cours de physique
Mécanique quantique (7 blocs)
+
Physique statistique (11 blocs)M.Q.+ P.S.
Les fichiers pdf des diapositives ainsi que les infos du cours sont disponibles à partir de la page web du département de physique ou directement à l'adresse
+ CD-rom d’illustrations et de simulations, Manuel Joffre
Outils pour le cours de mécanique quantique
Livres (existent aussi en anglais) :
• « Mécanique quantique »
• « Problèmes quantiques » Jean-Louis Basdevant et Jean Dalibard
http://www.lkb.ens.fr/~dalibard/ (enseignement)
Idées clés de la description quantique d'un système physique :
Principes de la mécanique quantique
¾ Etats du système
¾ "Observables" de ce système
¾ Evolution dans le temps du système
Avec quelle précision peut-on connaître simultanément la valeur de plusieurs grandeurs physiques ?
Relations d'incertitude :
1.
Quand a-t-on besoin de la mécanique quantique ?
Particule ponctuelle de masse m(non relativiste)
Physique newtonienne ou physique ondulatoire ?
Les concepts classiques cessent de s'appliquer quand : action caractéristique < constante de Planck h
Newton Schrödinger
Electrons confinés sur un “billard”
formé par 48 atomes de fer sur une surface de cuivre
IBM
action = longueur caractéristique impulsion caractéristique
Conduction d’électrons par un fil
Description quantique en terme d'onde plane de longueur d'onde
Les phénomènes non classiques (diffraction) seront dominants si (de Broglie)
action caractéristiquepa
à comparer à la cte. de Planckh
groupe quantronique, Saclay
Pont d’aluminium sur un isolant
a
électron d’impulsionp
p a / h Taille de
l'ouverture (m) Vitesse
(m/s) Masse
(kg) Système
considéré
1 1011 1034
10-9 106
9 10-31 Electron dans
un fil étroit
10-4 10-1
10-16 Globule rouge
dans un capillaire
1 1
Homme passant 70 une porte
Ordres de grandeur
Superfluidité de l'hélium liquide à basse température
(T < 2,3 K)
La physique quantique peut également être macroscopique
Supraconductivité de certains métaux à basse température
Caractère quantique si
Stade ultime de l’évolution stellaire : les étoiles à neutrons
2.
La description d’un système quantique : l’espace de travail et les observables physiques
Particule ponctuelle de masse mdans un état
Une particule ponctuelle
Si on effectue une mesure de position sur un grand nombre de particules, toutes préparées dans le même état , on peut tracer un histogramme : Mesure de position : résultat incertain
variable aléatoire de densité de probabilité
position moyenne : fonction d’onde complexe, continue et
x
L'état d'un système quantique est caractérisé par un vecteur d'un espace de Hilbert
Particule ponctuelle : Atome d'hydrogène :
Fonctions de carré sommable
Autres types de degrés de liberté : moment magnétique, spin, polarisation Espaces de dimension finie
qui généralise
Le vecteur est normé :
Formulation générale Exemple : états de polarisation d’un photon
On considère un photon de vecteur d’onde bien défini.
polarisation linéaire quelconque :
polarisation circulaire gauche ou droite :
On dispose désormais de sources délivrant des photons "un par un".
z
dimension 2
L’état de polarisation peut s’écrire comme combinaison des deux états de polarisation linéaire et
Les opérateurs associés aux grandeurs physiques sont hermitiens
Relation entre le formalisme et les quantités mesurables
A toute grandeur physique A, on associe un opérateur agissant dans l'espace de Hilbert
Observables vecteur ligne matrice carrée vecteur colonne
Observables
En dimension finie, est une matrice carrée
base orthonormée
Principe :
• Dans une mesure de A, les seuls résultats possibles sont les valeurs propres de .
• La probabilité de trouver la valeur propre , de vecteur propre
Mesures individuelles
Exercice : valeur moyenne des résultats d'une mesure de A, effectuées sur un grand nombre de systèmes tous préparés dans l'état :
(réel) a
est dans le cas non dégénéré :
polarisation horizontale
polarisation verticale polarisation inconnue
Cube polariseur
z
Observable : composante de la polarisation le long de l'axe z
2 résultats possibles : photon de pol. verticale photon de pol. horizontale
Notion qui sera approfondie lors de l'étude de l'expérience de Stern & Gerlach
Mesure de la polarisation d'un photon Le cas de la particule ponctuelle (1)
Action de l'opérateur position sur : multiplication par A toute grandeur de la physique newtonienne ,
on associe un opérateur
Position moyenne
Action de l'opérateur impulsion sur : dérivation par rapport à (gradient)
« Opérateur énergie » ou « hamiltonien », pour une particule dans un potentiel
Le cas de la particule ponctuelle (2)
Impulsion moyenne :
action sur :
Etat du système après une mesure
On considère un système quantique préparé dans un état On effectue une mesure de la quantité physique Aet on trouve le résultat , valeur propre de
la probabilité pour que ceci se produise est
Si on remesure cette même grandeur Aimmédiatement après la première mesure, avant que le système n’ait pu évoluer sous l’effet d’autres causes, on s’attend à retrouver avec certitude le même résultat
ceci n’est possible que si l’état du système après la première mesure a été projeté sur l’état propre
« Projection du paquet d’onde » :
3.
Mesure de plusieurs grandeurs physiques : les relations d’incertitude
a
On considère N systèmes tous préparés dans le même état Valeur moyenne des résultats :
Avec quelle précision peut-on mesurer une observable ?
Variance :
Peut-on avoir un résultat certain ? Oui, si état propre de
On considère 2Nsystèmes préparés dans le même état
b
Mesure de Asur Nsystèmes Mesure de Bsur Nsystèmes
Avec quelle précision peut-on mesurer 2 observables ?
En général, non !
Peut-on avoir simultanément et ?
Le couple « position – impulsion »
Commutateur
La relation générale donne alors
Relation souvent utilisée pour évaluer l’ordre de grandeur de l’énergie et de l’extension de l’état fondamental dans un potentiel
Plus généralement, spectre discret :
n=1 n=2
Exemple : l'oscillateur harmonique n=3
n=0 Estimation de l’état fondamental
La minimisation de avec cette contrainte donne
Coïncide avec le résultat exact ! L’état fondamental est la gaussienne avec
Jet moléculaire
de CO
Electrons diffusés
E1 E2
Electrons incidents
x 3
0 1 2
Perte d'énergie E1-E2 (eV)
Courantélectroniquediffusé
La vibration d'une molécule (CO)
1,13 Å
Sandwich de Al Ga As – Ga As – Al Ga As
Exemple 2 : électron dans un puits quantique
Estimation de l’énergie du fondamental dans la limiteV0très grand Potentiel électrostatique vu par un électron de conduction
L
à comparer au résultat exact dans la limite :
Le résultat d’une mesure de l'énergie de l'électron ne peut être qu'une des valeurs propres de l'hamiltonien
Spectre continu d'énergie : états asymptotiquement libres
Partie discrète du spectre : états liés
Le puits quantique (suite)
Emission de lumière par un « point quantique »
6 couches atomiques nanocristal d’or (Univ. Chicago)
12 couches atomiques
Dr. D. Talapin, University of Hamburg
Fluorescence induite par lumière UV sur des nanocristaux CdSe de taille croissante
4.
Evolution d’un système quantique (en dehors d’une mesure)
Principe : l’évolution dans le temps du vecteur d’état est donné par l’équation de Schrödinger :
Evolution temporelle des systèmes
Cette équation fait alors jouer un rôle particulier aux vecteurs propres de
rôle équivalent à en physique newtonienne
Pour un système isolé, est indépendant du temps
lien temps-énergie alors, pour tout état initial , il suffit de :
Si on a pu déterminer les vecteurs propres et les valeurs propres
• obtenir le vecteur à n'importe quel instant ultérieur grâce à : ( indépdt. du temps)
• décomposer sur la base : avec
Résolution de l’équation de Schrödinger
Exemple d'évolution : mouvement dans un puits carré
Si alors
Si l'état initial est
Pas de mouvement ! état stationnaire
Modulation de à la pulsation
En résumé…
Deux types d’évolution sont possibles d’un système quantique
La description quantique d’un système physique se fait dans l’espace de Hilbert « approprié »
espace de dimension finie (2 pour la polarisation du photon) ou infinie (fonctions de carré sommable pour le mouvement d’une particule) Les grandeurs physiques sont décrites par des observables,
i.e. opérateurs hermitiens sur l’espace de Hilbert
le résultat d’une mesure d’une quantité physique Ane peut être qu’une valeur propre de l’opérateur
• évol. « réversible » sous l’effet de l’hamiltonien en l’absence de mesure
• évol. « irréversible » (projection) lors d’une mesure
