M´ ecanique quantique

L3 SM Universit´e de Tours Ann´ee 2013-2014

M´ ecanique quantique

08/04/2014 dur´ee du contrˆole: 2h

1. Consid´erons l’hamiltonien

H =− d²

dx² +V(x) d’une particule quantique dans un puit de potentiel

V(x) =

{−g² pour |x| ≤a, 0 pour |x|> a.

• En utilisant la continuit´e de la fonction d’onde et de sa d´eriv´ee enx=±a, obtenir l’´equation qui d´etermine le spectre des ´energies des ´etats li´es (avec−g²< E <0).

• Montrer (par exemple, graphiquement) que pour g → 0 il ne reste qu’un seul ´etat li´e et trouver l’expression approximative pour son ´energie.

2. Consid´erons une particule en 1D dans un potentiel p´eriodique V(x) v´erifiant V(x+L) =V(x).

• Montrer que l’hamiltonien H commute avec l’op´erateur de translation T_L = exp( L_dx^d)

. Que peut-on en d´eduire sur les fonctions propres deH?

• Trouver l’expression pour l’op´erateur inverseT_L⁻¹ et l’adjoint (TL)^†. Qu’est-ce qu’on peut dire sur les valeurs propres deTL?

3. Soient ψ_a(x),ψ_b(x) deux fonctions propres de l’hamiltonienH =− d²

dx² +V(x) d’une particule en 1D qui correspondent aux valeurs propresE_a, E_b avec E_a< E_b.

• Montrer que (

ψ_a^′ψ_b−ψ_aψ_b^′)_′

= (E_b−E_a)ψ_aψ_b. (0.1)

• Soientx1, x2 deux noeuds cons´ecutifs de la fonctionψa(x) (c’est-`a-dire,ψa(x1) =ψa(x2) = 0). Montrer que l’intervalle [x₁, x₂] contient au moins un noeud de la fonctionψ_b(x).

Indication: Int´egrer (0.1) entrex₁ etx₂.

4. Soient|ℓ, m⟩ la base des ´etats propres communs orthonorm´es deL² etLz, c’est-`a-dire, L²|ℓ, m⟩= ℓ(ℓ+ 1)|ℓ, m⟩,

L_z|ℓ, m⟩= m|ℓ, m⟩, avec ⟨ℓ, m|ℓ^′, m^′⟩=δ_ℓℓ′δ_mm′.

• Pour quelles valeurs deℓ, ℓ^′, m, m^′ les ´el´ements matriciels

⟨ℓ, m|Lz|ℓ^′, m^′⟩, ⟨ℓ, m|L₋|ℓ^′, m^′⟩ sont-ils nuls? Pourquoi?

• Calculer explicitement les ´el´ements matriciels non-nuls.