M´ecanique quantique: qubit, n-qubit et la boite `a photons du LKB

(1)

M ´ecanique quantique:

qubit, n-qubit et la boite `a photons du LKB

Pierre Rouchon

Centre Automatique et Syst `emes Mines ParisTech [email protected]

Novembre 2018

P. Rouchon (Mines ParisTech) M ´ecanique quantique Novembre 2018 1 / 37

(2)

Quelques r ´ef ´erences

Le cours de M ´ecanique Quantique de C. Cohen-Tannoudji B. Diu et F. Lalo ¨e. Hermann, Paris, Volumes I& II, 1977.

Cours en ligne de Serge Haroche au Coll `ege de France :

http://www.college-de-france.fr/site/en-serge-haroche/_course.htm

Exploring the quantum : atoms, cavities and photons. S. Haroche and J-M Raimond. Oxford University Press (2006).

Cours de Peskill au Caltech intitul ´e Quantum computation :

www.theory.caltech.edu/people/preskill/ph229/#lecture

Quantum Computation and Quantum Information. M.A. Nielsen and I.Chuang, Cambridge Univ.Press. (2000)

Le site web d’une entreprise :

http://www.idquantique.com

(3)

Plan

1 La boite `a photons du LKB Trois r `egles fondamentales

Physique simplifi ´ee et mod `ele de Markov

Convergence de la chaˆıne de Markov (compl ´ement)

2 Etats quantiques, op érateurs, mesures et produit tensoriel Bra, Ket, états purs et états mixtes

Op érateurs et équation diff érentielle de Schr ödinger Mesures et r éduction du paquet d’ondes

Syst `emes composites et produit tensoriel

3 Le qubit

Qubit : syst `eme `a deux niveaux Mesure projective d’un qubit

Compl éments : manipulation d’un qubit et oscillations de Rabi Compl éments : matrice densit é d’un qubit et sph ère de Bloch

4 n-qubit : prototype de syst `eme composite Produit tensoriel

Mesure sur un 2-qubit 5 Oscillateur harmonique

(4)

Trois r `egles fondamentales

¹

1 Schr ¨odinger: fonction d’onde|ψi ∈ H(entr ´eeu) d

dt |ψi=−ⁱ

~H|ψi, H=H₀+uH₁,

2 Origine de la dissipation : reduction du paquet d’ondes induit par la mesure de l’observableOde d ´ecomposition spectraleP

µλµPµ: r ´esultat de la mesureµavec proba..Pµ=hψ|Pµ|ψid ´ependant de

|ψijuste avant la mesure

action en retour de la mesure siµ=y (sortiey) :

|ψi 7→ |ψi₊= Py|ψi phψ|Py|ψi

3 Produit tensoriel pour les syst `emes composites(S1,S2): Espace de HilbertH=H₁⊗ H₂

HamiltonienH=H1⊗I2+H_int+I1⊗H2

Observable locale surS2(uniquement) :O=I1⊗O2.

1. S. Haroche and J.M. Raimond.Exploring the Quantum : Atoms, Cavities and Photons.Oxford Graduate Texts, 2006.

(5)

La boite `a photons du Laboratoire Kastler-Brossel (LKB) de l’ENS Paris

C

B

D R

₁

R

₂

Les photons pi ég és entre les deux miroirs de la cavit éCsont mesur és avec des atomes (les petits anneaux couleur rose fonc é) sortant deB. Les atomes traversent l’un apr ès l’autre la cavit éC. Ils sont manipul és individuellement avant et apr ès leur passage dans la cavit é dansR₁etR₂. Ils sont mesur és par le d étecteurDsoit dans un état de basse énergie|gisoit dans un état de forte énergie|ei.

Serge Haroche a reçu le prix Nobel de Physique en 2012²pour ses travaux sur la boite à photon(s) ( électro-dynamique quantique en cavit é).

2. Prix partag ´e avec le physicien am ´ericain David Wineland du NIST.

(6)

Physique simplifi ée : le syst ème composite cavit é (S) et atome (M)

Syst `eme bipartite(S,M):

Sles photons pi ´eg ´e dansC: H_S=

|ψi=P∞

n=0ψ_n|ni |(ψ_n)^∞_n=0∈l²(C) ,avec|ni ´etat de Fock avec exactementnphotons.

M l’atome : un syst ème à deux niveaux, un niveau bas|giet un niveau haut|ei;H_M =C²avec comme base orthonorm ée(|gi,|ei).

Les atomes sortent deBdans l’ ´etat|giau rythme d’un atome par p ´eriodeτ. Entret =0⁺ett =τ⁻:

`at=0⁺: un atome sort deBdans l’ ´etat|gi ∈ H_M

`at=t1: l’atome est entreR1etC

`at=t_c : l’atome est entreCetR₂

`at=t₂: l’atome est entreR₂etD

`at=τ⁻l’atome est mesur ´e dansD;

At =τ⁺, l’atome quitteDjuste au moment o ù un autre atome pr épar é en|gi sort deB

(7)

Physique simplifi ´ee : les ´evolutions unitaires de

t =

0

⁺

`a

t =τ⁻

L’ état|Ψi_t ∈ H_S⊗ H_M à l’instantt évolue selon :

|Ψi₀+ =|ψi₀+⊗ |gio ù|ψi₀+ ∈ H_Sest l’ état des photons pi ég és dansC

`at=0⁺.

|Ψi_τ

1 =U(τ1)|Ψi₀+ = ^√¹

2|ψi₀+⊗ |gi+^√¹

2|ψi₀+⊗ |eicar dansR1la manipulation ne porte que sur l’atome avec le propagateur

U(τ1) =I⊗U_R₁ ≡^√¹

2(|gihg|+|eihg| − |gihe|+|eihe|).

|Ψi_τ

c =U(τ_c)|Ψi_τ

1 =^√¹

2e^ı^θ²^N|ψi₀+⊗ |gi+^√¹

2e^−ı^θ²^N|ψi₀+⊗ |ei; intrication cavit ´e/atome: hamiltonienH= ^Ω(t)₂ N⊗(|eihe| − |gihg|) (N=P

τ1 Ω(t)dt.

|Ψi_τ

2 =ısin ^θ₂N

|ψi₀+⊗ |gi+cos ^θ₂N

|ψi₀+⊗ |eicar l’ ´evolution dans R₂est la m ˆeme que celle dansR₁:|Ψi_τ

2=I⊗U_R₂|Ψi_τ

c (U_R₂ =U_R₁).

(8)

Physique simplifi ´ee : mesure en

τ

Il ne se passe rien entreR2etD, donc|Ψi_τ− =|Ψi_τ

2. On part de

|Ψi₀+ =|ψi₀+⊗ |gi. Juste avant la mesure deσ_z =|eihe| − |gihg|enDon a

|Ψi_τ− = Mg|ψi₀+

⊗ |gi+ Me|ψi₀+

⊗ |ei

avecMg=ısin ^θ₂N

etMe=cos ^θ₂N

. Lar ´eduction du paquet d’ondesjuste apr `es la mesure ent =τ⁺donne :

|Ψi_τ+ =







Mg|ψi₀+

√pg ⊗ |gi, avec la probabilit ´ep_g=D

ψ|M_g^†M_g|ψE

0⁺;

Me√|ψi₀+

pe ⊗ |ei, avec la probabilit ´ep_e=D

ψ|M_e^†M_e|ψE

0⁺. Ainsi|Ψi_τ+ =|ψi_τ+⊗ |µi(µ=go ùe) estde nouveau un état s éparableavec

|ψi_τ+ =







Mg|ψi₀+

√pg , avec la probabilit ´epg=D

ψ|M_g^†Mg|ψE

0⁺;

Me√|ψi₀+

pe , avec la probabilit ´ep_e=D

ψ|M_e^†M_e|ψE

0⁺.

(9)

Chaˆıne de Markov et trajectoire quantique

On note avec un indicek l’ ´etat des photons ent =kτ⁺, pourk ∈N.

Pour les ´etats purs, on a la chaˆıne de Markov d’ ´etat le vecteur d’onde|ψi:

|ψi_k+1=







Mg|ψi_k

√pg,k , avec la probabilit ´ep_g,k =D

ψ|M_g^†Mg|ψE

k;

Me|ψi_k

√pe,k , avec la probabilit ´epe,k =D

ψ|M_e^†Me|ψE

k.

Pour les états arbitraires et a priori mixtes on a la chaˆıne de Markov d’ état, la matrice densit éρ:

ρ_k+1=







MgρkM_g^†

tr(MgρkMg^†), avec la probabilit ´ep_g,k =tr

Mgρ_kM_g^†

;

Meρ_kMe^†

tr(Meρ_kM_e^†), avec la probabilit ´epe,k =tr

Meρ_kM_e^†

; Partant d’une m ême condition initialeρ₀, chaque r éalisation donne une trajectoirek 7→ρ_k diff érente,une trajectoire quantique(en temps discret).

Nous allons voir que chacune de ses trajectoires converge vers un ´etat pur

|nihn|, un ´etat de Fock. Dessimulations de type Monte-Carlopermettent de s’en rendre compte (script MATLABQNDphoton.m).

(10)

R ´esultats exp ´erimentaux

³

Valeur moyenne du nombre de photons le long d’une longue séquence de mesure:

observation d’une trajectoire stochastique

Une trajectoire correspondant au résultat initial n=5

Sauts quantiques vers le vide dus à l’amortissement du champ Des mesures répétées

confirment n=5

Projection de l’état cohérent sur n=5

nNombre moyen de photons A partir de la probabilité Pi(n) inférée après chaque atome, on déduit le nombre moyen de photons:

Première observation des trajectoires stochastiques du champ, en très bon accord avec les prédictions théoriques (simulations

de Monte- Carlo. Voir cours précédents).

n = nPi(n)

n

! ⁽⁶^"10)

Une autre trajectoire exp érimentale partant d’un état coh érent à3photons 3. Source : Serge Haroche, Coll ège de France, notes de cours 2007/2008.

(11)

”Preuve Lyapunov” de la convergence de la chaˆıne de Markov

AvecMg=sin(θN/2),Me=cos(θN/2)etθ/π irrationnel, on consid `ere ρ_k+1= ^M^µ^k^ρ^k^M

† µk

tr(^MµkρkMµ^†k) avecµ_k =µ∈ {g,e}de proba.pµ,k =tr Mµρ_kM_µ^† . Siρ₀=|nihn|, alorsρ_k ≡ |nihn|:chaque ´etat de Fock est un point stationnaire.

Comme

E

^(hn|ρ^k⁺¹^{|ni \}^ρ^k^{) =}^hn|ρ^k|ni, chaquehn|ρ_k|niest unemartingale⁴. Avec l’identit ´epx²+ (1−p)y²= (px+ (1−p)y)²+p(1−p)(x −y)², on montre queV(ρ) =1−P

nhn|ρ|ni²est unesuper-martingale⁵positive :

E

^(V^(ρ^k+1⁾^\^ρ^k^{) =}^V^(ρ^k⁾⁻^Q(ρ^k⁾^{o `u}^Q(ρ)^≥0 est donn ´e par Q(ρ) =pg(1−pg) X

n

sin²(nθ/2)

pg −^cos_1−p²^(nθ/2)

g

2

hn|ρ|ni²

!

avecpg=P

nsin²(nθ/2)hn|ρ|ni.

Ainsi

E

^(Q(ρ^k⁾⁾converge vers 0 et doncQ(ρk)converge vers 0 pour presque toute trajectoireρ_k. OrQ(ρ) =0 ssi existen∈Ntel queρ=|nihn|carρest aussi une matrice densit ´e (ρ≥0,ρ^† =ρet tr(ρ) =1).

4. Son esp ´erance est constante.

5. Son esp ´erance d ´ecroˆıt.

(12)

Bra, Ket, ´etats purs

|ψi

H Hilbert de dim. finie

d

> 0, de base hilbertienne

(|ni)_1≤n≤d

. Notations de Dirac : Bra h•| : co-vecteurs ; Ket |•i : vecteurs ;

†

: transposition hermitienne ;

|ψi

=

d

X

n=1

ψ

_n

|ni , |ψi

^†=

hψ|

=

d

X

n=1

ψ

_n^∗

hn| , ψ

_n

∈

C

.

Etat quantique pur

: |ψi de longueur 1

=

hψ|ψi

=P

n

|ψ

_n

|

²

. Le produit hermitien : hψ|φi

=P

n

ψ

_n^∗

φ

n

; hψ|φi

^†=

hψ|φi

^∗ =

hφ|ψi.

Projecteur orthogonalP

sur le sous espace vectoriel de base hilbertienne

(|ψ₁

i , . . . , |ψ

_p

i)

P =X

k

|ψ

_k

ihψ

_k

| .

(13)

Etats mixtes, op ´erateur densit ´e

ρ

Unm élange statistique d’ états pursne peut pas être d écrit avec des moyennes portant directement sur des vecteurs appartenant à la sph ère unit é deH(prendreH=C²,|ψ_ki=cos(2kπ/3)|1i+sin(2kπ/3)|2i, k =0,1,2 de probabilit é 1/3)

ρ: moyenne sur les projecteurs orthogonaux associ ´es aux ´etats quantiques purs(ρ= ¹₃(|ψ₁ihψ₁|+|ψ₂ihψ₂|+|ψ₃ihψ₃|)):

D=

ρ∈L(H,H)|ρ^†=ρ, ρ≥0, tr(ρ) =1 .

ρdiagonalisable en base orthonorm ée. Pour unspectre non d ég én ér é: ρ=X

n

p_n|ψ_nihψ_n|, tr(ρ) =1=X

n

p_n.

Pour un spectre d ég én ér é:ρ=P

n⁰p_n⁰P_n⁰ o ùP_n⁰est le projecteur orthogonal sur l’espace propre associ é à la valeur proprep_n⁰.

tr ρ²

≤1. Si tr ρ²

=1 alorsρest de rang 1 :ρest donc un ´etat pur|φihφ|.

(14)

Op ´erateurs hermitiens

Un op ´erateur hermitienH: auto-adjoint pour le produit scalaire hermitien H=H^†.

Dans une base orthonorm ée,(|ni)_n=1,...,d, est associ é à l’op érateurHla matrice hermitienne(H_n,n⁰)_1≤n,n0≤d avecH_n,n⁰ =hn|H|n⁰i ∈C:

H=X

n,n⁰

Hn,n⁰|nihn⁰|,H^† =Hsignifie que∀n,n⁰, H_n,n^∗ 0 =Hn⁰,n. Hest diagonalisable en base orthonorm ´ee :

H=V∆V^†

o `uV est une matrice unitaireVV^†=V^†V =Iet∆ =diag(h1, . . . ,hd)une matrice diagonale form ´ee avec les valeurs propresh1, . . . ,hd deH(hn∈R).

Pour toutes fonctionsR3x 7→f(x)∈R, on d ´efinit l’op ´erateur hermitienf(H) par la formule

f(H) =Vf(∆)V^† o `uf(∆) =diag(f(h1), . . . ,f(h_d)). Lorsquef(x) =P

kf_kx^k est un polyn ˆome ou une fonction enti `ere comme cos(x),e^x, on retrouve le calcul usuel

f(H) =P

kfkH^k avec une somme absolument convergente.

(15)

Equation diff ´erentielle de Schr ¨odinger et propagateur

U Equation diff ´erentielle de Schr ¨odinger (ı=√

−1∈C,~=1) associ ´e `a l’hamiltonienH=H^† :

d

dt |ψi_t =−ıH(t)|ψi_t avec la condition initiale |ψi_t=0∈ H.

Hind ´ependant du temps :

|ψi_t=X

n

ψ_n(0)e^−ıhⁿ^t|ni o `u H=X

n

h_n|nihn|. SiHd épend du temps : pas de solution explicite,[H(t1),H(t2)]6=0 en g én éral.

L’ évolution selon l’ équation de Schr ödinger pr éserve le produit hermitien d

dtU(t) =−ıH(t)U(t), U(0) =I

o `uIest la matrice identit ´e etU(t)∈ U(d)le groupe des matrices unitaires d×d. La solution de _dt^d |ψi_t=−ıH(t)|ψi_t de C.I.|ψi_t=0=|ψi₀est alors

|ψi_t=U(t)|ψi₀.

PourHest ind ´ependant du temps, on aU(t) =e^−ıHt. Si tr(H(t)) =0 alors detU(t)≡1 car _dt^d detU=−ıtr(H(t))detU.

(16)

Equation diff ´erentielle de Liouville pour

ρ

ρ(0) =|φihφ|, ρ(t) =U(t)ρ(0)U^†(t), d

dtρ(t) =−ı[H(t), ρ(t)]

o `u[H, ρ] =Hρ−ρHest lecommutateurdeHavecρ.

Si la condition initiale est un m ´elange statistiqueρ₀=P

kpk|φ_kihφ_k|o `u P

kpk =1 et chaque|φ_kide longueur 1 avec d

dt |ψ_ki_t=−ıH(t)|ψ_ki_t, |ψ_ki_t=0=|φ_ki alorsρ(t) =P

kpk|ψ_kihψ_k|_test la solution del’ équation diff érentielle matricielle ( équation de Liouville):

d

dtρ=−i[H(t), ρ(t)], ρ(0)∈ D.

ρ(t)reste une matrice densit ´e pour toutt>0 et son spectre reste constant.

En effet,ρ(t)etρ(0)sont deux op ´erateurs semblables :ρ(t)U(t) =U(t)ρ(0) avecU⁻¹(t) =U^†(t).

(17)

Mesures et r ´eduction du paquet d’ondes

A chaque mesure est attach ée un op érateur auto-adjointM (observable) de d écomposition spectrale :M =Pd⁰

n⁰=1m_n⁰P_n⁰. La mesure est instantan ´ee.

hψ|P_n0|ψi : En r ´esum ´e on a :

|ψi₊= Pn⁰|ψi

phψ|P_n⁰|ψi, ρ+= Pn⁰ρPn⁰

tr(P_n⁰ρ) avec proba. pn⁰ =hψ|P_n⁰|ψi=tr(Pn⁰ρ).

o ù|ψi₊,ρ+correspondent à l’ état quantique juste apr ès la mesure.

La mesure r ép ét ée un grand nombre de fois du m ême état quantique pur|ψi ou mixteρdonne comme moyenne

hMi=tr(Mρ) =

d⁰

X

n⁰=1

mn⁰tr(Pn⁰ρ) =

d⁰

X

n⁰=1

pn⁰(ρ)mn⁰

o `upn⁰(ρ) =tr(Pn⁰ρ)est la probabilit ´e d’obtenir la mesuremn⁰. Comme P

n⁰Pn⁰ =I, on a tr(ρ) =tr(ρP

n⁰Pn⁰) =P

n⁰tr(Pn⁰ρ) =P

n⁰pn⁰(ρ) =1.

(18)

Syst `emes composites et produit tensoriel

Syst ème bipartite(A,B): Hilbert deAseul not éAet duBseul not éB; Hilbert de(A,B)H=A ⊗ B, leproduit tensorieldeAetB.

H 3 |ψi= X

na,nb

ψ_n_a_,n_b|n_ai ⊗ |n_bi=X

na,nb

ψ_n_a_,n_b|n_anbi, ψ_n_a_,n_b ∈C.

Le produit hermitien de|ψiavec|φi=P

na,nbφ_n_a_,n_b|n_an_bi: hψ|φi=P

na,nbψ_n^∗_a_,n

bφ_n_a_,n_b. Ind ´ependant des bases orthonorm ´ees surAetB.

Intricationde|ψi ∈ A ⊗ Bssi il n’existe pas de|ψ_ai ∈ Aet de|ψ_bi ∈ Btels que|ψi=|ψ_ai ⊗ |ψ_bi. Pour un tel|ψi, il n’est pas possible de d éfinir un état partiel et pur ni pour le sous-syst èmeA, ni pour le sous-syst èmeB. On parle aussi d’ état|ψinon s éparable entreAetB. C’est un peu comme une fonction scalaire de deux variablesf(xa,xb)qui n’est pas à variables s éparables, i.e.

de la formef(x_a,x_b) =f_a(x_a)f_b(x_b). En g ´en ´eral, une fonction scalaire de deux variablesx_aetx_bn’est pas la multiplication d’une fonction scalaire dex_aseul par une autre fonction scalaire dex_bseul.

(19)

Produit tensoriel d’op ´erateurs

Prenons maintenant un op érateurH_asurAet un op érateurH_bsurB. Alors HaetH_bse prolongent surHavecHa⊗IbetIa⊗H_b(IaetIbsont les op érateurs identit é surAetB) :

(Ha⊗Ib)|ψi=X

na,nb

ψ_n_a_,n_bHa|n_ai ⊗ |n_bi,

(Ia⊗H_b)|ψi= X

na,nb

ψ_n_a_,n_b|n_ai ⊗H_b|n_bi.

Par abus de notations on note

Ha≡Ha⊗Ib, H_b≡Ia⊗H_b. On peut aussi former l’op ´erateurHa⊗Hbd ´efini par

(Ha⊗H_b)|ψi= X

na,nb

ψ_n_a_,n_bHa|n_ai ⊗H_b|n_bi.

(20)

Syst `eme `a deux niveaux et qubit

Bra

h•|

et Ket

|•i

: un vecteur

|ψi

∈

C²

s’ ´ecrit |ψi

=a₀

|0i

+a₁

|1i avec

a₀

,

a₁

∈

C

et

|0i

=

1

0 , |1i

=

0

1 .

|ψi amplitude complexe de probabilit ´e : |a

₀

|

²+

|a

₁

|

²=

1. Conjugu ´ee hermitienne :

hψ|=|ψi^†=a^∗₀

h0|

+a^∗₁

h1|

Produit hermitien : |ψi

=a₀

|0i

+a₁

|1i, |φi

=b₀

|0i

+b₁

|1i, on a hψ|φi

=a^∗₀b₀+a^∗₁b₁

.

La d ´ecomposition de l’identit ´e

I

souvent not ´ee 1 : 1

=

|0i h0|

+

|1i h1|, plus g ´en ´eralement

1

=

|ψ

₁

i hψ

₁

|

+

|ψ

₂

i hψ

₂

| o `u

(|ψ₁

i , |ψ

₂

i) est une base ortho-norm ´ee de

C²

.

(21)

Op ´erateur hermitien : toute matrice 2 × 2 hermitienne

G=G^†

s’ ´ecrit

G=g₀|0i h0|+g₁|1i h1|+g|1i h0|+g^∗|0i h1|

avec

g₀

,

g₁

∈

R

et

g

∈

C

(int ´er ˆet de cette notation : calcul de

G

|ψi avec |ψi

=a₀

|0i

+a₁

|1i).

La mesure de l’observable associ ´ee `a

G

de l’ ´etat quantique

(qubit)|ψi=a₀|0i+a₁|1i

donne en moyenne la valeur :

hψ|G|ψi

=g₀

|a

₀

|

²+g₁

|a

₁

|

²+

2<(ga

₀a^∗₁).

Matrices de Pauli

(ı

=

√

−1)

σ_x =|1i h0|+|0i h1|, σ_y =ı|0i h1| −ı|1i h0|, σ_z=− |0i h0|+|1i h1|

avec les relations de commutations :

σ

²_x =

1, σ

_x

σ

_y =

ıσ

_z

, ... permutation circulaire

(22)

Mesure de

σz

Souvent on utilise les notations

(|0i

, |1i) `a la place de

(|gi

, |ei) et on parle de

qubit.

La mesure de

σz =− |0i h0|+|1i h1|

sur le qubit

|ψi

=

ψ

0

|0i

+

ψ

1

|1i donne

soit−1 avec la probabilit ´e|ψ₀|² soit+1 avec la probabilit ´e|ψ₁|².

R ´eduction du paquet d’onde

: si on mesure

−1 alors|ψidevient|0i; +1 alors|ψidevient|1i.

Illustration sur un ion pi ég é à deux niveaux électroniques |gi et |ei via un état suppl émentaire instable |f i, un laser r ésonnant sur la transition |gi ↔ |f i et un photo-d étecteur captant les photons de fluorescence de cette transition.

(23)

Autre mesure comme celle de

σx

Soit le qubit d’ ´etat :

|0i+|1i

√ 2

La mesure de

σ_z =− |0i h0|+|1i h1|

donne 1 ou −1 avec comme probabilit ´e 1/2 `a chaque fois. Ce qubit est dit

intriqu ´e

vis `a vis de la mesure

σz

.

La mesure de

σx =|0i h1|+|1i h0|

sur

^|0i+|1i^√

2

donne toujours la valeur

+1.

La mesure de

σ_x =|0i h1|+|1i h0|

sur

^−|0i+|1i^√

2

donne toujours la valeur

−1.

Avec |+i

= ^|0i+|1i^√

2

et |−i

= ^−|0i+|1i^√

2

σ

z =

|+i h−|

+

|−i h+| , σ

x =

|+i h+| − |−i h−| .

(24)

Logique quantique avec une chaîne d’ions

Des impulsions laser appliqués séquentiellement aux

ions de la chaîne réalisent des portes à un

bit et des portes à deux bits. La détection par

fluorescence (éventuellement précédée par une rotation du bit) extrait l’information du système.

Beaucoup de problèmes à résoudre pour réaliser un tel dispositif…..

6 6. Source : Serge Haroche, Coll `ege de France, 2006.

(25)

Syst `emes `a deux niveaux (spin 1/2)

Electron autour d’un atome dans l’ ´etat fonda- mental |gi d’ ´energie

Eg

ou dans l’ état excit é |ei d’ énergie

Ee

. Plus g én éralement, son état quan- tique |ψi ∈

C²

est une superposition lin ´eaire |ψi

=

ψ

g

|gi

+ψe

|ei qui ´evolue selon Schr ¨odinger (ψ

g

et ψ

e

d ´ependent de

t).

Equation de Schr ¨odinger

pour le syst ème isol é à deux niveaux : ı

~

d

dt

|ψi

=H

|ψi

= E_e

|ei he|

+E_g

|gi hg|

|ψi

o `u

H

est l’op ´erateur Hamiltonien (auto-adjoint

H^†=H) correspondant

`a l’ ´energie.

L’ énergie est d éfinie à une constante pr ès :HetH+$(t)Io ù$(t)∈Rest arbitraire correspondent au m ême syst ème physique. Si|ψiv érifie

ı~_dt^d |ψi=H|ψialors|χi=e^−ıϑ(t)|ψiavec _dt^dϑ=^$

(26)

Couplage à un champ électromagn étique classique

Avec une origine des énergies telle queE_g (resp.E_e) devient−Êê^−E₂ ^g (resp.

Ee−Eg

2 ) et en posantΩ = ^E^e^−E^g

~ la solution du syst `eme isol ´e ı_dt^d |ψi= ^H

~|ψi=^Ω₂(|ei he| − |gi hg|)|ψiest

|ψi_t =ψ_g0e^ıΩt² |gi+ψ_e0e^−ıΩt² |ei.

Avec un champ électromagn étique variable classique d écrit paru(t)∈R, l’ évolution coh érente (conservative)est toujours donn ée par Schr ödinger mais avec l’Hamiltoniencontr ôl é

H(t)

~ =Ω

2σ_z+u(t) 2 σ_x =Ω

2(|ei he| − |gi hg|) +u(t)

2 (|ei hg|+|gi he|) L’ équation de Schr ödingerı~_dt^d |ψi=H|ψis’ écrit :

ıd dt

ψ_e ψ_g

= Ω 2

1 0 0 −1

ψ_e ψ_g

+u(t) 2

0 1 1 0

ψ_e ψ_g

. Les matrices de Pauli v ´erifientσ_x²=1,σ_xσ_y =ıσ_z , . . . , avec

σ_x =|ei hg|+|gi he|, σ_y =−ı|ei hg|+ı|gi he|, σ_z =|ei he| − |gi hg|

(27)

Matrices de Pauli et quelques exponentielles

σ

²_x =I,

σ

x

σ

y =

ıσ

z

, . . . , avec

σ

x =

|ei hg|

+

|gi he| , σ

y =

−ı |ei hg|

+

ı |gi he| , σ

z =

|ei he| − |gi hg|

Pour tout angle θ ∈

R

Comme

e^ıθσ^x =cosθ+ısinθσx

(idem pour σ

y

et σ

z

), la solution de ı

_dt^d

|ψi

= ^Ω₂

σ

z

|ψi est

|ψi

_t =e^−ıΩt² ^σ^z

|ψi

₀=

cos

Ωt

2 − ı sin

Ωt

2 σ

z

|ψi

₀

Pour α, β

=x

,

y

,

z

, α 6= β on a

σ

αe^ıθσ^β =e^−ıθσ^β

σ

α

,

e^ıθσ^α−1

=

e^ıθσ^α†

=e^−ıθσ^α

. et aussi

e⁻^ıθ²^σ^α

σ

_βe^ıθ²^σ^α =e^−ıθσ^α

σ

_β =

σ

_βe^ıθσ^α

(28)

Approximation du champ tournant et moyennisation Dans ı

_dt^d

|ψi

= ^Ω₂σz +^u₂

σ

x

|ψi, on pose |ψi

=e⁻^ıΩt² ^σ^z

|φi (passage au

rep `ere d’interaction) pour ´eliminer ledrift

:

ı

d

dt

|φi

= u

2

e^ıΩt² ^σ^z

σ

xe⁻^ıΩt² ^σ^z

|φi

= H_int

~

|φi

avec

^H^int

~ = ^u₂e^ıΩt

σ⁺=|eihg|

z }| {

σ

x +

ıσ

y

2

+^u₂e^−ıΩt

σ⁻=|gihe|

z }| {

σ

x

− ıσ

y

2 Contr ˆole r ´esonnant

u=ue^ıΩt+u^∗e^−ıΩt

avec

u

amplitude complexe lentement variable

d dtu

Ω|u|. L’approximation du champ tournant

consiste à n égliger les termes oscillant à la pulsation 2Ω de moyenne nulle (licite si |u|

Ω)

H_int

~ =

ue^2ıΩt+u^∗

2 σ

⁺+

u+u^∗e^−2ıΩt

2 σ

⁻

≈

u^∗

σ

⁺+uσ⁻

2 .

Justification : application du th ´eor `eme de moyennisation.

(29)

Syst `eme moyen et oscillations de Rabi

ı

d

dt

|φi

= (u^∗

σ

⁺+uσ⁻)

2 |φi

= (u^∗

|ei hg|

+u

|gi he|)

2 |φi

On suppose

u=

ω

_re^ıθ

avec ω

_r

> 0 et θ r ´eel. Alors

u^∗

σ

⁺+uσ⁻

2

=

ω

r

2 cos θσ

x+

sin θσ

y

et le syst `eme oscille entre |ei et |gi avec la

pulsation de Rabi ^ω₂^r

. Comme

(cos

θσ

x +

sin θσ

y)²=I

et donc

e⁻^ıω²^{r t}^(cosθσ^x^+sin^θσ^y⁾=

cos ω

_rt

2 − ı sin ω

_rt

2 cos θσ

_x+

sin θσ

_y

, la solution de

_dt^d

|φi

= ^−ıω₂^r

cos θσ

x +

sin θσ

y

|φi est

|φi

_t =

cos ω

_rt

2 |gi − ı sin ω

_rt

2

e^−ıθ

|ei , quand |φi

₀=

|gi ,

|φi

_t =

cos ω

rt

2 |ei − ı sin ω

rt

2

e^ıθ

|gi , quand |φi

₀=

|ei ,

(30)

Pulses

π/2 etπ, planification de trajectoires

On part toujours de l’ ´etat fondamental |φi

₀=

|gi et on allume le laser avec une amplitude

u=

ı

^ω₂^r

complexe uniquement sur

[0,T]

(pulse de longueur

T

). Comme

|φi

_T =

cos ω

rT

2 |gi

+

sin ω

rT

2 |ei ,

on voit que

si ω

_rT =

π (pulse π) alors |φi

_T =

|ei et donc on bascule sur l’ état excit é : absorption stimul ée d’un photon et passage à l’ état excit é.

Si on mesure l’ ´energie dans cet ´etat on trouve toujours

Ee

. si ω

rT =

π/2 (pulse π/2) alors |φi

_T = (|gi+

|ei)/ √

2 et le

syst `eme est dans une

superposition coh ´erente

de |gi et |ei. Si on mesure l’ ´energie dans cet ´etat, on trouve

E_g

une fois sur deux.

(31)

Matrice densit ´e et sph `ere de Bloch

On part de |ψi

=

ψ

g

|gi

+

ψ

e

|ei qui v ´erifie ı

~_dt^d

|ψi

=H

|ψi. On consid `ere le projecteur orthogonal ρ

=

|ψi hψ|, dit

op ´erateur densit ´e.

Alors ρ est un op ´erateur auto-adjoint ≥ 0, v ´erifie tr

(ρ) =

1, ρ

²=

ρ et ob éit à l’ équation :

d

dt

ρ

=

− ı

~[H, ρ].

Pour un syst ème à deux niveaux, on a l’ écriture suivante ρ

= I+x

σ

x+y

σ

y +zσ_z

2 avec

(x

,

y

,

z)

∈

R³

repr ´esentant le vecteur

M

~ qui ´evolue sur la

sph `ere de Bloch

(longueur 1 car tr ρ

²

=x²+y²+z²=

1) :

d

dt

M

~

= (u

~ı

+ Ω

~

k)

×

M,

~ une autre ´ecriture de

_dt^d

ρ

=

−ı

_Ω

2

σ

z+^u₂

σ

x

, ρ

. Alors

u

est la

vitesse de rotation instantan ´ee

autour de l’axe des

x

et

Ω

celle autour de l’axe des

z

.

(32)

Repr ésentation sur la sph ère de Bloch d’un syst ème à deux niveaux

d dtρ=−ⁱ

~[H, ρ].

Pour|ψi=ψ_g|gi+ψ_e|ei:

|ψi hψ|=|ψ_g|²|gi hg|+ψ_gψ^∗_e|gi he|

+ψ_g^∗ψ_e|ei hg|+|ψ_e|²|ei he|. On pose x = 2<(ψ_gψ_e^∗), y = 2=(ψ_gψ_e^∗),z =

|ψ_e|²− |ψ_g|²et on obtient

ρ= I+xσ_x +yσ_y+zσ_z

2 .

Le vecteur de BlochM~ =x~ı+y~+z~k est sur la sph `ere unit ´e deR³: i d

dt |ψi= ^ω₂^xσ_x+^ω₂^yσ_y+^ω₂^zσ_z

|ψi v d

dt

M~ = (ω_x~ı+ω_y~+ω_z~k)×M~ Vecteur de BlochM~ associ ´e aux angles d’Euler(θ, φ):

|ψi=e^iϕsin ^θ₂

|gi+cos ^θ₂

|ei.

(33)

Syst `emes composites et

n

qubits

n

qubits :

produit tensoriel

nfois

z }| {

C²

⊗

C²

. . . ⊗

C²

isomorphe `a

C²ⁿ

. Tr ès diff érent du produit cart ésien utilis é pour les syst èmes classiques et qui donnerait alors

C²ⁿ

:

La base d’un syst `eme de

2 qubits

:

|0i ⊗ |0i

=

|00i , |0i ⊗ |1i

=

|01i , |10i , |11i .

La base d’un syst `eme de

3 qubits

:

|000i , |001i , |010i , |011i , |100i , |101i , |110i , |111i .

(34)

Mesure du premier qubit

Mesure

σz =− |0i h0|+|1i h1|

du premier qubit d’une paire de qubits : l’op ´erateur de mesure

G=σ_z

⊗

I_d

Sur la paire de qubits

|ψi

=a₀₀

|00i

+a₀₁

|01i

+a₁₀

|10i

+a₁₁

|11i

la mesure de σ

z

associ ´e au 1er qubit donne en moyenne

−(|a₀₀|²+|a₀₁|²)+(|a₁₀|²+|a₁₁|²)

i.e., donne soit

−1 avec une probabilit ´e|a₀₀|²+|a₀₁|²

, soit

+1 avec une probabilit ´e|a₁₀|²+|a₁₁|²

.

(35)

On part de |ψi

=a₀₀

|00i

+a₀₁

|01i

+a₁₀

|10i

+a₁₁

|11i.

Si la mesure de

σ_z sur le 1er qubit

donne

−1, juste apr `es la

mesure, la paire de qubits est dans l’ ´etat

a₀₀

|00i

+a₀₁

|01i

p

|a

₀₀

|

²+

|a

₀₁

|

² =

|0i ⊗

a₀₀|0i+a₀₁|1i p|a₀₀|²+|a₀₁|²

!

Si la mesure de

σ_z sur le 1er qubit

donne

+1, juste apr `es la

mesure, la paire de qubits est dans l’ ´etat

a₁₀

|10i

+a₁₁

|11i

p

|a

₁₀

|

²+

|a

₁₁

|

² =

|1i ⊗

a₁₀|0i+a₁₁|1i p|a₁₀|²+|a₁₁|²

!

R ´eduction (collapse) du paquet d’onde

suite `a la mesure de σ

_z

: interpr ´etation de Copenhague.

(36)

Oscillateur harmonique et ´etats de Fock

Formulation hamiltonienne, oscillateur harmonique classique de pulsationω: d

dtx =ωp=∂H

∂p, d

dtp=−ωx =−∂H

∂x, H(x,p) = ω

2(p²+x²).

Principe de correspondanceet quantification :|ψi_t ≡(ψ(x,t))x∈Ravec R

R|ψ|²(x,t)dx=1 ;H=L²(R,C);H =ω(P²+X²) =−^ω₂ ^∂²

∂x² +^ω₂x²o `u P =−^√ⁱ

2

∂

∂x l’op ´erateur agissant sur|ψi_tetX = ^√^x

2. L’ ´equation de Schr ¨odinger

d

dt |ψi=−ıH|ψi est une EDPı∂ψ

∂t (x,t) =−ω 2

∂²ψ

∂x²(x,t)+ω

2x²ψ(x,t), x ∈R. Le spectre deHest non-d ég én ér éh_n=ω(n+¹₂),n∈N: état propre associ é

ànnot é|ni, état de Fock ànphoton(s). On noteN=P

nn|nihn|, l’op ´erateur nombre de photons :H=ω(N+¹₂).

(37)

Op ´erateurs

a

et

a^†

, ´etats coh ´erents

|αi

Les états de Fock|nisont construits à partir des op érateursd’annihilationa decr éationa^†:

a=X +ıP =^x+^√^∂x^∂

2 , a^†=X−ıP= ^x−^√^∂x^∂

2 , N=a^†a=X

n

n|nihn|

|0iest caract ´eris ´e para|0i=0 :ψ₀(x) = _π_1/4¹ exp(−x²/2).

Les autres|nis’obtiennent viaa^†|ni=√

n+1|n+1i,a|ni=√

n|n−1i.

Pour chaque amplitude complexeα∈C, l’ ´etat coh ´erent d’amplitude|αiest :

|αi=e⁻

|α|² 2

+∞

X

n=0 αⁿ

√n!|ni.

La proba.pnd’obtenirn∈Nen mesurantNsur|αisuit une loi de Poison p_n=e^−|α|²|α|²ⁿ/n!et l’ ´energie moyenne esthα|N|αi=|α|².

Etats coh érents et états classiques: la solution de _dt^d |ψi=−ıH|ψi,de condition initiale l’ état coh érent d’amplitudeα₀∈C,|ψi_t=0=|α₀i, reste un

´etat coh ´erent d’amplitudeα_t =e^−ıωtα₀:|ψi_t =e^−ıωt/2|α_ti. Comme

d

dtα_t =−ıωα_t, en posantα_t =x +ip, avec(x,p)∈R²on retrouve les deux

´equations classiques _dt^dx =ωp, _dt^dp=−ωx.