Travaux Dirig´es du module: M´ecanique Quantique

Universit´e Mohammed V Facult´e des Sciences

Ann´ee Universitaire 2019-2020 SMP- S

Travaux Dirig´es du module: M´ecanique Quantique

Corrig´e des exercices de la S´erie 1:

Partie V- Particule dans un potentielV =V(x)

1-Etats stationnaires

Montrons que les ´etats stationnaires '(x), d’une particule de masse m plong´ee dans un potentiel `a une dimension V(x),ob´eissent l’´equation ind´ependante du tempstsuivante:

~² 2m

d²

dx² +V E

!

'(x)=0. (1)

Pour ´etablir cette ´equation, notre point de d´epart est l’´equation de Schrodinger g´en´erale i~@

@t = H (2)

avec une fonction d’onde d´ependant de quatre variables (t,x,y,z); et l’op´erateur hamilto- nian H, contenant une partie cin´etique et une partie potentiel, qu’on peut ´ecrire de trois fac¸ons

´equivalentes comme suit:

H = _2m^P2 +V

= _2m¹ ⇣_~

i~r⌘2

+V

= _2m^~2 +V

(3)

o`u P~ = <sup>~</sup><sub>i</sub>~r est l’op´erateur quantit´e de mouvement avec r~ le vecteur Nabla habituel. Dans la derni`ere relation, l’op´erateur , appel´e Laplacien, est donn´e par

=r~² =r~.r~ = @²

@x² + @²

@y² + @²

@y². (4)

Pour une particule `a une dimension, la fonction d’onde d´epend seulement de deux variabletet x; c’est `a dire qu’il n’y a pas de variables y et z; soit = (t,x). Il s’ensuit de cette propri´et´e que

se r´eduit simplement `a ^@_@x²2; et donc la relation (2) devient:

i~@

@t = ~² 2m +V

!

= ~² 2m

@²

@x² +V

!

(5)

2020-2021

Pour le cas des ´etats stationnaires `a une dimension, la fonction d’onde se factorise comme suit

(t,x)= (t)⇥'(x) (6)

ou en cachant les variables t et x comme = ⇥'. En remplacant dans (5), on obtient '(x)i~@ (t)

@t = (t) ~² 2m

@²

@x² +V

!

'(x) (7)

et en multipliant les deux membres par _⇥'¹ , elle devient i~@

@t = 1 '

~² 2m

@²

@x² +V

!

' (8)

Puisque le membre de gauche ^i~_(t)^@_@t^(t) depend uniquement de t; et vue que le membre de droite

'(x)1

⇣ _~2

2m @²

@x² +V⌘

'(x) d´epend uniquement de x; il r´esulte que les deux termes sont constants;

c’est `a dire ´egale `a une valeur E ind´ependente de t et de x:

i~(t)@ (t)

@t = E

1 '(x)

⇣ _~2

2m @²

@x² +V⌘

'(x)= E (9)

avec la constante E qu’on peut ´ecrire aussiE =~!ou!est la fr´equence. La premi`ere relation de (9) qui s’´ecrit aussi comme

d = i

~Edt =) (t)= ₀e ^~iEt = ₀e ^i!t (10) avec ₀ =ctequ’on peut pos´e ´egale `a 1. La deuxi`eme relation de (9) conduit `a la relation sollicit´ee

`a savoir

~² 2m

d²

@x² +V

!

'(x)= E'(x) (11)

qu’on peut ´ecrire aussi comme

~² 2m

d²'(x)

@x² +(E V)'(x)= 0 (12)

R´esultat:La fonction d’onde des ´etats stationnaires a la forme

(t,x)= e ^~iEt'(x)=e ^i!t'(x) (13) 2- Solutions de l’quation pour 4 cas de potentiel carr V(x)

2-i)- Marche de potentiel Dans ce cas, V est donn´e par

V(x)= 8>>><

>>>: 0 pour x 0

V0 pour x> 0 (14)

FIG. 1: Marche de potentiel.

comme V(x) prend deux valeurs di↵´erentes; selon que x est n´egative ou x est positive, on distingue deux cas:

R´egion(I) avecx0: L’equation (12) s’´ecrit comme d²'_I(x)

@x² + 2mE

~² '_I(x)=0 (15)

qu’on peut aussi ´ecrire comme

'⁰⁰_I + 2mE

~² '_I =0 (16)

Cherchons une solution onde plane de la forme

'_I = AIe^ikIx+BIe ^ikIx (17) avecAI etBIdes constantes qui seront d´etermin´ees plutard en utilisant les conditions de raccorde- ment. Cette solution a une interpretation physique: La partieAIe^ikIx, qui s’appelle onde incidente, d´ecrit une fonction d’onde qui vient de 1et se dirige versx=0. La partieB_Ie ^ikIx, qui s’appelle onde refl´echie, d´ecrit une fonction d’onde qui part de x=0 et se dirige vers 1. Remarquons que la solution (17) ob´eit les propri´et´es suivantes

'⁰_I = ik_I⇣

A_Ie^ikIx B_Ie ^ikIx⌘ '⁰⁰_I = k²_I ⇣

AIe^ikIx+BIe ^ikIx⌘

= k²_I'_I

(18)

En remplacant (17) dans (22), on obtient 2mE

~² k²_I

!

'_I(x)=0 (19)

dont la solution exige

2mE

~² = k²_I =) E = ~²k²_I

2m (20)

R´esultat

'_I = AIe^ikIx+BIe ^ikIx avec kI =

r2mE

~² (21)

R´egion(II) avecx> 0: L’equation (12) s’´ecrit comme '⁰⁰_II+ 2mE

~² V0

!

'_II =0 (22)

Cherchons une solution de la forme

'_II =AIIe^ikIIx+BIIe ^ikIIx (23) avecAIIetBIIdes constantes qui seront d´etermin´ees plutard en utilisant les condition de raccorde- ment. Cette solution a une interpretation physique: La partieAIIe^ikIIx, qui s’appelle onde transmise, d´ecrit une fonction d’onde qui va dex = 0 vers+1. La partieBIIe ^ikIIx est une onde qui vient de 1se dirigeant vers x = 0. Cette onde n’a pas d’interpr´etation physique en m´ecanique quantique non relativiste; on posera alorsBII =0; et par suite'_II = AIIe^ikIIx. En remplacant, on obtient;

" 2mE

~² V₀

! k²_II

#

'_II =0 (24)

dont la solution exige que

k²_II = 2mE

~² V₀ (25)

Puisque ^2mE_~2 V0peut etre positive ou n´egative; on doit distinguer deux cas:

Cas ^2mE_~2 V₀ 0: Nous avons

'_II = AIIe^ikIIx avec kII =

r2mE

~² V0 (26)

Remarques:

Pour le cas pr´esent ^2mE_~2 V0; on peut d´eterminer les constantes en utilisant les conditions de raccordements entre'_I(x) et'_II(x) au pointx=0 `a savoir

'_I(0) = '_II(0)

'⁰_I(0) = '⁰_II(0) ) AI+BI = AII

kIAI kIBI = kIIAII

(27) qu’on peut aussi ´ecrire comme

kIAI+kIBI = kIAII

kIAI kIBI = kIIAII

) 2kIAI = (kI+kII)AII

2kIBI = (kI kII)AII

(28)

dont la solution est donn´ee par les nombres r´eels suivants

AII

A_I = _k^2kI

I+k_II B_I

A_I = ^kI_2k^kII

I

A_II

A_I = ^k_k^{I kII}

I+k_II

(29)

Le coefficent de reflectionR= ^B_A^I

I

2et de transmissionT = ^k_k^II

I

AII

AI

2sont donn´es par R = ^(k_(k^{I kII)2}

I+kII)² = 1 _(k^4kIkII

I+kII)²

T = ^k_k^II

I

4k²_I

(k_I+k_II)² = _(k^4kIkII

I+k_II)²

R+T = 1 _(k^4k_I+k^Ik_II^II₎2 + _(k^4kIkII

I+kII)² = 1

(30)

Ils d´ecrivent les probabilit´es d’une particule venant de 1dont une partie est r´efl´echie et une autre est transmise.

Cas ^2mE_~2 V0 < 0:

Dans ce casV0est plus grand que ^2mE_~2 ; soit alorsk²_II < 0 et donckII est un nombre imaginaire pure

kII = i⇠_II avec ⇠_II = r

V0 2mE

~² (31)

R´esultat: En remplac¸ant, nous avons

'_II = AIIe ^qx+BIIe^+qIx avec ⇠_II = r

V0 2mE

~² (32)

Toutesfois, il faut noter que la constante BII doit etre nulle car la fonction d’onde '_II doit etre born´ee; d’ou la fonction d’oone transmise est

'_II = AIIe ^⇠IIx (33)

C’est une onde evanescente qui s’annule quandx! 1. Signalons la propri´et´e suivante

Z ₁

0 BIIe^+⇠IIx2dx=|BII|²

Z ₁

0 e^+2⇠IIxdx = |BII|² 2q

he^+2⇠IIxi1

0 ! 1 (34)

sauf pourBII =0.

Remarques:

Pour le cas ^2mE_~2 < V₀; on peut d´eterminer les constantes en utilisant les conditions de raccorde- ments entre'_I(x) et'_II(x) au pointx=0 `a savoir

'_I(0) = '_II(0)

'⁰_I(0) = '⁰_II(0) ) AI+BI = AII

kIAI kIBI = kIIAII

(35)

aveck_II = iq. Un calcul similaire qu’auparavant donne les nombres complexes suivants

AII

AI = _kI^2k_+i⇠^I

II

B_I

A_I = ^kI_2k^i⇠II

I

A_II

A_I = ^k_k^{I i⇠II}

I+i⇠_II

(36) Le coefficent de reflectionRest ´egal est 1 comme le montre le calcul suivant

R= k_I i⇠_II²

kI+i⇠_II² = 1 (37)

On dit que la reflection est totale.

2-ii)- Barri`ere de potentiel Dans ce cas, V est donn´e par

V(x)= 8>>><

>>>:V0 pour 06 xa

0 pour xailleurs (38)

V(x) prend deux valeurs di↵´erentes dans trois r´egions comme repr´esent´e dans le graphe(2)

FIG. 2: Barri`ere de potentiel.

Ainsi on distingue trois cas. En suivant les m´eme ´etapes que pour la marche de potentiel, on peut ´ecrire:

SiE >V₀

R´egion(I) avecx0:

'_I = AIe^ikIx+BIe ^ikIx (39) tel quekI =

q2mE

~² .

R´egion(II) o`u 06 x a:

'_II =AIIe^ikIIx+BIIe ^ikIIx (40)

dans ce cas on trouve quekII =

q2m(E V₀)

~² . R´egion(III) avecx>a:

'_III = AIIIe^ikIIIx+BIIIe ^ikIIIx (41) tel qu’il est clair quekIII =kI =

q2mE

~² .

Signalons que la partie BIIIe ^ikIIIx = 0 puisqu’elle d´ecrit une onde qui vient de 1se dirigeant versx = a.Les autres constantes AetBsont d´etermin´ees en utilisant les conditions de raccorde- ment aux deux pointsx= 0 etx= acomme suit:

Au point x=0,on a:

'_I(0) = '_II(0)

'⁰_I(0) = '⁰_II(0) ) AI+BI = AII+BII

kIAI kIBI = kIIAII kIIBII

(42) Au point x=a,on a:

'_II(a) = '_III(a)

'⁰_II(a) = '⁰_III(a) ) AIIe^ikIIa+BIIe ^ikIIa = AIIIe^ikIIIa

ikIIAIIe^ikIIa ikIIBIIe ^ikIIa = ikIIIAIIIe^ikIIIa (43) Rappelons que pour la barri`ere de potentiel, le coefficents de reflectionR = ^B_A^I

I

2 et de trans- missionT = ^A_A^III

I

2,ainsi en exploitant les conditions de raccordement, on trouve l’expression de A_I etB_Ien terme deA_III comme suit:

A_I =

cos(kIIa) i^k_2k^2I+k2II

Ik_IIsin(kIIa) .e^ikIaA_III BI = i^k_2k^2II_Ik^k_II^2Isin(kIIa).e^ikIaAIII

(44)

D’o`u il s’ensuit que:

T = AIII

AI 2

= (2kIkII)² (2kIkII)²+⇣

k²_I k²_II⌘2

sin²(kIIa) (45) et puisqueR+T =1 on d´eduit alors que:

R=

⇣k²_I k²_II⌘2

sin²(kIIa) (2kIkII)²+⇣

k²_I k²_II⌘2

sin²(kIIa) (46)

cette expression on peut la retrouver ´egalement en calculant: R= ^B_A^I

I

2. Si on remplacekI =

q2mE

~² etkII =

q2m(E V₀)

~² ,alors T devient:

T = 4.E.(E V0)

4.E.(E V0)+(V0)²sin²(p2m(E V0)^a_~). (47) Remarquons que pour E et V0 fix´es, T est une fonction de a (qui est la largeur de la barri`ere de potentiel). Alors, T oscille de mani`ere periodique entre sa valeur maximale T_max =

4.E.(E V₀)

4.E.(E V0) =1 obtenue pour sin(p

2m(E V0)^a_~)=0 et sa valeur minimaleTmin= _{4.E.(E V}^{4.E.(E V0)}

0)+(V0)² pour sin(p2m(E V0)^a_~)=1 comme indiqu´ee dans le graphe(3):

FIG. 3: Transmission dans le cas d’une barri`ere de potentiel et pour E sup´erieur `aV0.

Notez bien que des r´esonnances apparaissent chaque fois que T=1, ce qui correspond au fait que la largeura est un multiple entier de _k^⇡_II, dans ce cas la condition de r´esonnance est donn´ee par:

kIIa=n⇡, avecn= 0,1,2,3, ...