septembre 2014 M´ ecanique quantique 2 : Int´ egrale de chemin

Parcours de Physique Quantique 1

septembre 2014 M´ ecanique quantique 2 : Int´ egrale de chemin

Marche al´ eatoire et mouvement brownien

1 Marche al´ eatoire sur un r´ eseau

On consid` ere une marche al´ eatoire sur un r´ eseau hypercubique de dimension d. On note {~ e _i } _i=1,···,d les vecteurs de base du r´ eseau. Le marcheur se trouve sur le site ~ 0 au temps t = 0.

A chaque intervalle de temps (∆t ` = 1) il saute sur un des sites plus proches voisins avec equiprobabilit´ e. Les d´ eplacements successifs sont ind´ ependants (hypoth` ese markovienne). On note P t (~ x) la probabilit´ e de se trouver sur le site ~ x au temps t (~ x et t sont discr´ etis´ es).

A. Propagateur et probabilit´ e de retour ` a l’origine

1/ ´ Equation maˆ ıtresse.– Donner l’´ equation maˆıtresse ` a laquelle ob´ eit P _t (~ x).

2/ Montrer que la solution de l’´ equation maˆıtresse est P _t (~ x) =

Z

ZdB

d ^d ~ k 2π

1 d

d

X

i=1

cos k _i t

e ^{i ~ k·~ x} , (1)

o` u l’int´ egrale porte sur les vecteurs ~ k de la zone de Brillouin.

3/ Fonction de Green.– Nous verrons plus tard qu’il est commode de consid´ erer la fonction g´ en´ eratrice :

G(~ x, λ)

=

∞

X

t=0

λ ^t P _t (~ x) (2)

Donner l’expression de sa transform´ ee de Fourier : ˜ G( ~ k, λ) = P

~

x G(~ x, λ) e ^{−i ~ k·~ x} .

4/ De la marche al´ eatoire au mouvement brownien.– On consid` ere la limite continue des grands temps (t → ∞ et ~ k → 0).

a/ Montrer que

P _t (~ x) ' 1

(4πDt) ^d/2 e ⁻

2

4Dt

(3)

Exprimer la constante de diffusion D lorsque le r´ eseau a un pas a et que les intervalles de temps entre les sauts sont ∆t.

b/ Calculer la distance quadratique moyenne parcourue apr` es un temps t.

5/ Exprimer la probabilit´ e conditionnelle P (~ x, t| ~ 0, 0) ≡ P t (~ x) sous la forme d’une int´ egrale de chemin (lorsque D = 1/2).

6/ Discuter la condition de normalisation de P (~ x, t|~ x 0 , 0).

1

B. Probabilit´ e de premier retour ` a l’origine

1/ On note Q t la probabilit´ e pour que le marcheur revienne en ~ x = 0 pour la premi` ere fois au temps t (on remarque que Q <sub>0</sub> = 0). Montrer qu’elle ob´ eit ` a “l’´ equation int´ egrale” :

P _t ( ~ 0) = δ _t,0 +

t

X

τ=0

Q t−τ P _τ ( ~ 0) (4)

2/ En introduisant la fonction g´ en´ eratrice : Q(λ) ˜

=

∞

X

t=0

λ ^t Q t (5)

Exprimer ˜ Q(λ) en fonction de G( ~ 0, λ).

3/ Cas unidimensionnel.

a/ Calculer explicitement G(0, λ) pour d = 1 ` a partir du r´ esultat A.3 (utiliser l’annexe). D´ eduire l’expression de ˜ Q(λ).

b/ On souhaite ´ etudier le comportement de Q _t pour t → ∞.

m´ ethode 1 : En analysant le d´ eveloppement de ˜ Q(λ) en puissances de λ, montrer que Q 2 = 1/2 et Q _t = ^(t−3)!!

2

(t/2)! pour t > 2. D´ eduire la forme asymptotique Q _t ' q 2

π 1 t

.

m´ ethode 2 : Utiliser la similitude entre la fonction g´ en´ eratrice et une transformation de Laplace (ce qui est valable aux grands temps, i.e. pour λ → 1 ⁻ ). En ´ ecrivant

Q( ˜ e ^−p ) ' 1 2

Z ∞

0

dt Q _t e ^−pt pour p → 0 ⁺ (6)

par une transform´ ee de Laplace inverse retrouver le r´ esultat de la m´ ethode 1.

4/ Cas bidimensionnel.– Calculer G( ~ 0, λ) (cf. annexe). En d´ eduire le comportement de ˜ Q( e ^−p ) pour p → 0 ⁺ . Montrer alors que la transform´ ee de Laplace inverse se comporte, aux grands temps, comme Q _t ' _{t(ln 8t)} ^2π

.

C. R´ ecurrence

Dans cette derni` ere partie on s’int´ eresse aux propri´ et´ es de r´ ecurrence de la marche au hasard.

1/ Montrer que

G( ~ 0, λ) = Z ∞

0

dy e ^−y [I 0 (yλ/d)] ^d (7)

o` u I ₀ (z) est la fonction de Bessel modifi´ ee (cf. annexe).

2/ Analyser la convergence de l’int´ egrale (7) pour λ = 1 en fonction de la dimension d.

3/ Donner l’expression de la probabilit´ e de ne jamais revenir en ~ x = ~ 0. En d´ eduire le sens de Π

=

∞

X

t=0

Q _t (8)

A l’aide du r´ ` esultat de la question B.2 analyser Π en fonction de la dimension. (On pourra aussi analyser le comportement de Π pour pour d → ∞ ` a l’aide de l’expression de G( ~ 0, λ) obtenue ` a la question A.3).

2

2 Fonctions de corr´ elation du mouvement brownien

Dans cet exercice on souhaite calculer la fonction de corr´ elation C(τ, τ ⁰ )

= hx(τ )x(τ ⁰ )i lorsque x(τ ) est un processus distribu´ e avec la mesure de Wiener Dx exp − ¹ ₂ R

dτ x ˙ ² . Nous allons consid´ erer diff´ erents types de conditions aux limites.

1/ Processus de Wiener.– Un processus de Wiener est un mouvement brownien libre sur τ ∈ [0, t] fix´ e ` a une de ses extremit´ es : (x(τ ) , 0 6 τ 6 t| x(0) = 0). ´ Ecrire la fonction de corr´ elation ` a l’aide d’une int´ egrale de chemin, puis la calculer en utilisant le propagateur libre.

Pr´ eciser la valeur de C W (τ, τ).

2/ Pont brownien.– Le pont brownien est un mouvement brownien libre contraint de revenir

`

a son point de d´ epart : (x(τ ) , 0 6 τ 6 t| x(0) = x(t) = 0).

a/ ´ Ecrire la fonction de corr´ elation ` a l’aide d’une int´ egrale de chemin, puis la calculer.

b/ On peut calculer la fonction de corr´ elation d’une fa¸ con beaucoup plus simple en remarquant qu’un pont brownien (x(τ ) , 0 6 τ 6 t| x(0) = x(t) = 0) peut s’´ ecrire ` a l’aide d’un processus de Wiener (W (τ ) , 0 6 τ 6 t| W (0) = 0) comme x(τ ) = W (τ ) − ^τ _t W (t).

Annexe :

• Des int´ egrales...

Z +π

−π

dk 2π

1

ch θ + cos k = 1

sh θ (9)

Z +π

−π

d ² ~ k (2π) ²

1

2a + cos k _x + cos k _y = 1

πa K(1/a) (10)

• Int´ egrale elliptique de 1` ere esp` ece : K(k) =

Z π/2

0

dα p 1 − k ² sin ² α

(11) Limite k → 0 : K(k) = ^π ₂

1 + ^k ₄

+ · · ·

Limit k → 1 ⁻ : K(k) = ln 4/k ⁰ + ^k ₄

(ln 4/k ⁰ − 1) + · · · o` u k ⁰ = √ 1 − k ² .

• Fonction de Bessel modifi´ ee de premi` ere esp` ece : I ₀ (z) =

Z _π

0

dt

π e ^{z cos t} = Z ₊₁

−1

dt π

e ^−zt

√ 1 − t ² (12)

Comportements asymptotiques : I ₀ (z) ' 1 + ^z ₄

+ · · · pour z → 0 et I ₀ (z) ' _√ e

2πz pour z → ∞.

3