Master CFP – Parcours de Physique Quantique : de l’atome au solide 26 mars 2012 Int´ egrales de chemin

Master CFP – Parcours de Physique Quantique : de l’atome au solide 26 mars 2012 Int´ egrales de chemin

TD n

^o

2 : Oscillateur harmonique

1 Quelques petits rappels de m´ ecanique analytique

On consid` ere un probl` eme unidimensionnel dont la dynamique est d´ ecrite par le lagrangien : L(q, q) = ˙

^m₂

q ˙

²

−V (q). L’action S[q(t)] = R

t2

t1

dt L(q(t), q(t)) est une fonctionnelle de la trajectoire ˙ q(t), t ∈ [t

1

, t

2

]. Si on consid` ere une transformation infinit´ esimale

( t

⁰

= t + δt

q

⁰

(t

⁰

) = q(t) + δq(t) (1)

on montre que la variation de l’action δS = S[q

⁰

(t

⁰

)] − S[q(t)] est : δS =

∂L

∂ q ˙ δq − H δt

t2

t1

+ Z

t2

t1

dt ∂L

∂q − d dt

∂L

∂ q ˙

(δq − q δt) ˙ (2) o` u H = ˙ q

^∂L_∂q˙

− L.

1/ En d´ eduire que l’´ equation d’Euler-Lagrange s’´ ecrit δS

δq(t) = 0 pour t ∈ ]t

1

, t

2

[ (3)

2/ Soit q

c

(t) la solution de l’´ equation d’Euler-Lagrange satisfaisant les conditions aux limites q

_c

(t

₁

) = q

₁

et q

_c

(t

₂

) = q

₂

. On introduit la notation S

_cl

(q

₂

, t

₂

|q

₁

, t

₁

) = S[q

_c

(t)] (il s’agit d’une fonction des param` etres t

₁

, q

₁

et t

₂

, q

₂

). Montrer que

∂S

_cl

∂q

2

= ∂L

∂ q ˙

q2

(4)

∂S

_cl

∂t

2

= −H (5)

3/ Probl` eme libre.– Calculer S

_cl

pour L =

^m₂

q ˙

²

. V´ erifier les eqs. (4,5).

4/ Oscillateur harmonique.– On consid` ere le lagrangien de l’oscillateur harmonique, ´ ecrit en temps euclidien

¹

L =

^m₂

( ˙ q

²

+ ω

²

q

²

).

a/ Construire la solution q

_c

(t).

b/ Montrer que

S

_cl

(q

2

, t|q

₁

, 0) = mω 2 sh(ωt)

ch(ωt) (q

₁²

+ q

₂²

) − 2 q

1

q

2

(6)

c/ V´ erifier (4,5).

1Le passage du temps r´eel au temps euclidien correspond `a :t→ −it. On a alorsL=R

dt(^m₂x˙²+V(x)) et la mesure

e

^iS est remplac´ee par

e

^−S. Plus simplement, rendre le temps complexe consiste `a renverser le potentiel.

2 Propagateur de l’oscillateur harmonique

On consid` ere un oscillateur harmonique quantique unidimensionnel H =

_2m^p2

+

¹₂

mω

²

q

²

. Le propagateur en temps euclidien est d´ efini comme :

K(q

₁

, t|q

₀

, 0)

^def

= h q

₁

| e

^−tH

| q

₀

i (7) K(q

₁

, t|q

₀

, 0) pourrait ˆ etre construit ` a partir du spectre de H, qui est bien connu, cependant nous allons le calculer en utilisant la repr´ esentation fonctionnelle :

K(q

₁

, t|q

₀

, 0) =

Z

q(t)=q1

q(0)=q0

Dq(τ ) e

^−S0[q(τ)]

o` u S

₀

[q(τ )] = m 2

Z

t

0

dτ

˙

q(τ )

²

+ ω

²

q(τ )

²

. (8) L’int´ egrale de chemin porte sur toutes les fonctions continues satisfaisant q(0) = q

₀

et q(t) = q

₁

. 1/ On proc` ede au changement de variable q(τ ) = q

_c

(τ ) + η(τ ) (translation) o` u η(τ ) est la nouvelle variable d’int´ egration et q

_c

(τ ) est une fonction que nous choisissons de fa¸ con ` a satisfaire la propri´ et´ e : S

0

[q

c

+ η] = S

0

[q

c

] + S

0

[η] ∀ η(τ ). Quelle ´ equation doit satisfaire q

c

(τ ) ? Quelles conditions aux limites choisir pour η(τ ) ?

2/ Construire q

_c

(τ ) et calculer S

₀

[q

_c

] (exercice 1).

3/ Montrer que le changement de variable dans l’int´ egrale fonctionnelle permet de l’´ ecrire sous la forme K(q

₁

, t|q

₀

, 0) = A

_ω

(t) e

^−S0[qc]

.

4/ Calcul du pr´ efacteur A

_ω

(t).– On propose deux m´ ethodes.

a/ Utiliser que

Z

Dq(τ ) e

^{−12R0tdτdτ0q(τ)O(τ,τ0)q(τ0)}

∼ 1

p det(O(τ, τ

⁰

)) (9)

Identifier l’op´ erateur O(τ, τ

⁰

) apparaissant dans A

_ω

(t). Sp´ ecifier sur quelles fonctions il agit et d´ eduire son spectre.

Indication : Pour r´ egulariser le calcul, consid´ erer plutˆ ot le rapport

^A_A^ω(t)

0(t)

. On rappelle que A

₀

(t) = p

_m

2πt

et on donne sh x = x Q

∞

n=1

(1 + (

_nπ^x

)

²

).

b/ Autre m´ ethode : Rappeler la relation entre le propagateur K (q, t|q

⁰

, 0) et la fonction de partition Z

_t

= P

n

e

^−tEn

, o` u {E

_n

} d´ esigne le spectre de valeurs propres de H. D´ eduire A

_ω

(t).

5/ V´ erifier que le pr´ efacteur A

_ω

(t) co¨ıncide avec [−

_2π^{1 ∂}_∂q^2S0[qc]

1∂q2

]

^1/2

(c’est le r´ esultat semiclassique,

exact ici car l’action est quadratique).

3 Fonction de corr´ elation de l’oscillateur harmonique

Nous calculons la fonction de corr´ elation C(τ

₁

, τ

₂

)

^def

= hq(τ

₁

)q(τ

₂

)i d’un oscillateur harmonique quantique. La moyenne est d´ efinie comme une moyenne sur les chemins p´ eriodiques :

h· · ·i

^def

= N Z

q(0)=q(t)

Dq(τ ) · · · e

^−S0[q]

(10) o` u N est une constante de normalisation. S

0

[q] est l’action classique de la trajectoire. Pour reprendre la notation de l’exercice pr´ ec´ edent : R

q(0)=q(t)

Dq(τ ) · · ·

^def

= R

dq R

q(t)=q

q(0)=q

Dq(τ ) · · · 1/ Dans quel contexte cette d´ efinition est-il pertinente ?

2/ Calculer la constante de normalisation N .

3/ Montrer que, pour τ

₁₂

= τ

₁

− τ

₂

> 0, la fonction de corr´ elation s’exprime ` a l’aide du propagateur comme :

C(τ

₁

, τ

₂

) = N R

dq

₁

dq

₂

q

₁

q

₂

h q

₁

| e

^−τ12H

| q

₂

i h q

₂

| e

^{−(t−τ12)H}

| q

₁

i (11)

= N Tr

n e

^−tHˆ

q(τ ˆ

1

) ˆ q(τ

2

) o

o` u q(τ ˆ )

^def

= e

^τHˆ

q ˆ e

^−τHˆ

(12) o` u la trace porte sur l’espace de Hilbert de l’oscillateur harmonique quantique. Calculer expli- citement C(τ

1

, τ

2

).

Indication : On rappelle que K (q

₁

, t|q

₀

, 0) = q

_mω

2πsh(ωt)

exp −

_{2 sh(ωt)}^mω

ch(ωt) (q

₁²

+ q

₀²

) − 2 q

₁

q

₀

. 4/ Tracer l’allure de C(τ

₁

, τ

₂

) en fonction de τ

₁₂

= τ

₁

− τ

₂

; deux remarques utiles pour cela : (i) par d´ efinition de la moyenne (10), la fonction de corr´ elation est sym´ etrique ; (ii) Puisque la moyenne porte sur des chemins p´ eriodiques, le r´ esultat obtenu doit ˆ etre p´ eriodis´ e.

5/ Analyser h[q(τ + ) − q(τ )]

²

i dans la limite → 0. Que peut-on en conclure sur la nature des courbes qui apportent les contributions dominantes ` a l’int´ egrale R

Dq · · · e

^−S0[q]

?

Remarque : Les propri´ et´ es de la question 4 d´ ecoulent de la forme de l’action S

₀

[q] ; il ne s’agit pas d’une propri´ et´ e de l’int´ egrale R

Dq · · · Pour s’en convaincre : quelles seront les propri´ et´ es des chemins dominant dans R

Dq e

^−Rdτq¨2

?

6/ D´ eduire l’expression de la fonctionnelle g´ en´ eratrice (sans calcul) Z

_t

[b]

^def

=

Z

q(t/2)=q(−t/2)

Dq(τ ) e

^−S0[q]+Rdτ b(τ)q(τ)

. (13)

4 Fonctionnelle g´ en´ eratrice (facultatif )

Nous calculons plus directement la fonctionnelle g´ en´ eratrice introduite dans l’exercice pr´ ec´ edent (question 5), par la m´ ethode de l’exercice 2. On doit donc calculer une int´ egrale du type de celle de l’exercice 2, lorsqu’un terme d´ ecrivant le couplage d’une “source ext´ erieure” b(τ ) avec q(τ ) est introduit :

Z

_t

[b] = Z

q(t/2)=q(−t/2)

Dq(τ ) e

^−S[q,b]e

o` u S[q, b] = e S

₀

[q] − Z

_t/2

−t/2

dτ b(τ )q(τ ) (14) o` u l’int´ egrale fonctionnelle porte sur toutes les fonctions p´ eriodiques sur [−t/2, t/2]

(i.e. R

q(t/2)=q(−t/2)

Dq(τ ) · · · ≡ R

dq R

q(t/2)=q

q(−t/2)=q

Dq(τ ) · · · ) 1/ D´ eduire la valeur de Z

_t

[0] de l’exercice 2.

2/Fonctionnelle g´ en´ eratrice.– On suit la mˆ eme logique que dans l’exercice 2.

a/ On cherche le changement de variable q = q

c

+ η, o` u la fonction q

c

est choisie de telle sorte que :

S[q e

_c

+ η, b] = S[q e

_c

, b] + S

₀

[η] ∀ η(τ ) . (15) Montrer que q

_c

peut s’´ ecrire comme q

_c

(τ ) = R

dτ

⁰

C(τ − τ

⁰

)b(τ

⁰

). Quelles conditions doivent satifaire q

c

(τ ) et η(τ ) (et donc ´ egalement C(τ )) ?

b/ Nous calculons la fonction C(τ ) solution de −

^d2

dτ²

+ ω

²

C(τ ) =

_m¹

δ(τ ) sur [−t/2, t/2]

satisfaisant les conditions aux limites C(t/2) = C(−t/2) et ˙ C(t/2) = ˙ C(−t/2).

m´ ethode 1 : analyse de Fourier.– Quelle est la base de fonctions propres de l’op´ erateurs −

_dτ^d22

+ω

²

satisfaisant les conditions aux limites p´ eriodiques ? D´ eduire C(τ ).

Indication : on donne P

∞ n=1

cosnπx

a²+(nπ)²

=

^ch_2a^a(1−|x|)_sha

−

_2a¹2

pour |x| < 1.

m´ ethode 2 : R´ esoudre −

_dτ^d2₂

+ω

²

C(τ e ) =

_m¹

δ(τ ) sur R . Pour cela on r´ esout l’´ equation homog` ene

−

_dτ^d2₂

+ ω

²

C(τ e ) = 0 sur R

^−∗

puis sur R

^+∗

. Montrer que l’effet du Dirac est d’imposer les conditions de raccordement C(0 e

⁻

) = C(0 e

⁺

) et − ˙

C(0 e

⁺

) + ˙

C(0 e

⁻

) =

_m¹

. Justifier que C(τ ) = P

n∈Z

C(τ e + nt). D´ eduire C(τ ).

m´ ethode 3 : R´ esoudre l’´ equation homog` ene −

_dτ^d2₂

+ ω

²

C(τ ) = 0 sur [−t/2, 0[ puis sur ]0, +t/2].

Imposer les conditions de raccordement et d´ eduire que C(τ ) = ch ω(t/2 − |τ |)

2mω sh(ωt/2) pour τ ∈ [−t/2, t/2] (16)

Tracer la fonction.

c/ D´ eduire que

Z

_t

[b] = Z

_t

[0] exp 1 2

Z

t/2

−t/2

dτ dτ

⁰

b(τ )C(τ − τ

⁰

)b(τ

⁰

) . (17)

3/ Fonction de corr´ elation.– On reprend l’exercice 3 ` a l’envers : d´ eduire de l’expression de la fonctionnelle g´ en´ eratrice la fonction de corr´ elation hq(τ

₁

)q(τ

₂

)i o` u la moyenne a ´ et´ e d´ efinie dans l’exercice pr´ ec´ edent h· · ·i

^def

=

_Z¹

t[0]

R

q(t/2)=q(−t/2)

Dq(τ ) · · · e

^−S0[q]

.

5 Un mod` ele d’interaction avec un environnement

Dans de nombreuses situations physiques on est amen´ e ` a consid´ erer que le syst` eme d’int´ erˆ et est coupl´ e ` a un autre syst` eme, appel´ e en g´ en´ eral “environnement”, poss´ edant un grand nombre de degr´ es de libert´ e. Un exemple d’une telle situation est l’´ etude d’un atome coupl´ e au champ ´ elec- tromagn´ etique. Bien souvent la dynamique de l’environnement n’est pas l’objet du probl` eme ; dans ce cas, l’int´ egrale de chemin permet, par int´ egration, de faire “disparaˆıtre” les degr´ es de libert´ e de l’environnement, ce qui conduit ` a une action effective pour le syst` eme seul.

Nous nous int´ eressons dans cet exercice ` a un syst` eme d´ ecrit par le lagrangien L

sys

=

^m₂

q ˙

²

+ V (q). Le syst` eme est coupl´ e ` a un ensemble d’oscillateurs harmoniques dont le lagrangien est : L

_env

= P

i

(

¹₂

χ ˙

²_i

+

¹₂

ω

_i²

χ

²_i

). Le lagrangien d´ ecrivant le couplage est choisi de la forme L

int

= −q X

i

g

i

χ

i

(18)

o` u les g

i

sont des constantes de couplage. La fonction de partition du syst` eme global est donc : Z =

Z

Dq(τ ) Y

i

Dχ

_i

(τ ) e

^{−S[q;{χi}]}

o` u S[q, {χ

_i

}] = Z

t

0

dτ (L

sys

+ L

env

+ L

int

) (19) o` u l’int´ egrale fonctionnelle porte sur les fonctions p´ eriodiques sur [0, t].

1/ Quelle modification de la fonction de partition permettrait d’´ etudier les propri´ et´ es de q ? 2/ Montrer que l’int´ egration sur les variables de l’environnement conduit ` a la forme :

Z = Z

q(0)=q(t)

Dq(τ ) e

^−Seff[q]

(20)

o` u

S

eff

[q] = Z

t

0

dτ L

sys

− 1 2

Z

t

0

dτ dτ

⁰

q(τ ) α(τ − τ

⁰

) q(τ

⁰

) (21) Donner l’expression de la fonction α(τ ) en terme de la fonction de Green calcul´ ee dans l’exer- cice 3.

3/ D´ eduire l’´ equation du mouvement

^δS_δq^eff

= 0. En admettant que la fonction α(τ ) est ´ etroite devant les autres temps gouvernant la dynamique, comment interpr´ eter le terme en d´ ependant ?

Une variante assez courante du mod` ele consiste ` a choisir le couplage en proc´ edant ` a la substitution χ

_i

→ χ

_i

−

^gi

ω_i²

q dans L

_env

. L’int´ erˆ et de cette forme (qui contient un terme q

²

suppl´ ementaire par rapport au mod` ele discut´ e dans l’exercice) est que l’action L

env

+ L

int

= P

i

[

¹₂

χ ˙

²_i

+

¹₂

ω

²_i

(χ

_i

−

^gi

ω_i²

q)

²

] peut ˆ etre rendue invariante par translation pour le choix de couplage g

_i

= ω

²_i

. L’action effective prend la forme S

_eff

[q] = R

t

0

dτ L

_sys

+

¹₄

R

t

0

dτ dτ

⁰

α(τ −τ

⁰

) (q(τ ) −q(τ

⁰

))

²

. Bien que l’´ etude d’un syst` eme coupl´ e ` a un bain d’oscillateurs est plus ancien, ce mod` ele est appel´ e mod` ele de Caldeira-Leggett. A. O. Caldeira & A. J. Leggett, Quantum tunnelling in a dissipative system, Ann. Phys. (N.Y.) 149 (1983) 374. On peut en trouver une analyse dans cet article et dans de nombreux ouvrages

²

.

2On trouvera une pr´esentation tr`es claire dans G.-L. Ingold,Path integrals and their application to dissipative quantum systems, in Coherent Evolution in Noisy Environments, A. Buchleitner & K. Hornberger (eds.), Lecture Notes in Physics, Vol. 611, Springer, 2002 (also available as preprint cond-mat/0208026).