5 : Int´ egrales impropres, cas g´ en´ eral

MAT232 : s´eries et int´egrales g´en´eralis´ees Universit´e Joseph Fourier

2013-2014 Grenoble

TD n

5 : Int´ egrales impropres, cas g´ en´ eral

Exercice 1 : R+∞ π

|sin(t)|

t dt n’est pas absolument convergente Pour tout n≥1, on pose :

u_n =

Z _(n+1)π

nπ

|sin(t)| t dt .

1. D´eterminer un r´eel a >0 tel que pour tout x∈[nπ+^π₄, nπ+^3π₄ ], |sin(x)| ≥a.

2. En d´eduire un r´eel b >0 tel que u_n ≥ _n+1^b pour toutn ≥1.

3. En d´eduire que R_+∞

π

|sin(t)|

t dt est divergente.

Exercice 2 : Nature d’int´egrales impropres

D´eterminer la nature de chacune des int´egrales impropres suivantes.

1.

Z _∞

2

cosx ln(x)dx; 2.

Z _∞

1

sin(x−1) ln(x) dx; 3.

Z _∞

1

sinx x+e^−xdx; 4.

Z _∞

1

e^ix

x^1/2+x^1/4sin(x)dx;

5.

Z ₁

0

cos²_x x dx; 6.

Z _∞

1

sin³(x)

√x+ 2dx;

7.

Z +∞

−∞

sin²(x)

x(1−x²) ln|x|dx;

Exercice 3 : R_+∞

0 f(t^α)dt pour une fonction p´eriodique de moyenne nulle Soitf une fonction continue surR, p´eriodique, de p´eriode 1, et telle queR1

0 f(t)dt = 0. On rappelle qu’une fonction continue sur un intervalle compact est born´ee sur cet intervalle.

1. Montrer que la fonction f est born´ee sur R, et en d´eduire que la fonction F d´efinie par F(x) =Rx

0 f(t)dt est born´ee sur R. 2. Montrer que R+∞

0 f(t)

t^a dt converge pour tout a∈]0,1[.

3. En d´eduire que R+∞

0 f(t^α)dt converge pour tout α >1.

4. Montrer que R+∞ 0 sin(√

t)dt est divergente.