TD3 - Int´ egrales impropres : premiers exemples

PC Maths Analyse III 2018-2019

TD3 - Int´ egrales impropres : premiers exemples

Exercice 1.

Les int´egrales impropres suivantes sont-elles convergentes? Si oui, les calculer.

1. R^π₂

0 cost

√sintdt 2. R1

0 lnt dt.

3. R+∞

1 sint dt 4. R0

−∞e^tdt

Exercice 2.

Mˆeme question 1. R+∞

−∞

1 1+t²dt 2. R+∞

−∞ t dt

Exercice 3.

Les int´egrales suivantes sont-elles convergentes?

1. R1

0 ln(t)²dt 2. R^π₂

0 (tant)^αdt (on discutera suivant la valeur de α ∈R).

Exercice 4.

Mˆeme question 1. R+∞

0 e^−αtdt (on discutera suivant la valeur de α∈R).

2. R+∞

−∞ e^−t2dt 3. R+∞

1 t^αe^−tdt 4. R+∞

1 ln(^t_t²2⁺¹−1)dt

1

Exercice 5.

Soit une fonction f : [1,+∞) →R continue telle que f tend vers une limite l 6= 0 en +∞. Montrer que l’int´egraleR+∞

1 f(t)dt diverge.

Exercice 6.

Soient I =R+∞

0 1

t⁴+1dt, J =R+∞

0 t²

t⁴+1dt et K =R+∞

0

dt (t⁴+1)². 1. Montrer que ces int´egrales sont bien d´efinies.

2. Montrer que I =J.

3. Calculer I en posant t=e^u. 4. Calculer K.

Exercice 7.

Soit f : [0,+∞[→R une fonction continue par morceaux. On suppose queR∞ 0 f(t)dt converge.

1. D´eterminer

x→+∞lim Z x

x 2

f(t)dt.

2. On suppose de plus que f est positive et d´ecroissante. Montrer que f(x) = o(¹_x) au voisinage de +∞.

3. Donner un exemple de fonction f telle que R∞

0 f(t)dt converge mais tf(t) n’est pas born´e lorsque t→+∞.

2/2