Universit´e Pierre & Marie Curie Licence de Math´ematiques L3 LM367 – Analyse complexe 1
TD3. Logarithme. Int´ egrales sur des chemins.
On notera iciLog et√
. les d´eterminations principales du logarithme et de la racine carr´ee.
Exercice 1. Soientj=e2iπ/3 etT ={tjk/t∈]− ∞,1], k= 0,1,2}.
(a) Montrer que la formulef(z) = Log(p
z3−1) d´efinit bien une fonctionf ∈ O(C\T).
(b) Calculerf(i).
Exercice 2.
(a) A-t-on Log(ab) = Log(a) + Log(b) pour tousa, b∈C\R− tels queab∈C\R− ? (b) A-t-on Log(1/z) =−Log(z) pour toutzdansC\R− ?
(c) Etant donn´e un nombre r´eel α, on note Dα la demi-droite{rei(π−α)/r ≥0} et Lα : z7→Log(eiαz)−iα. Montrer que c’est une d´etermination continue du logarithme sur C\Dα.
(d) Exprimer les d´eterminations continues du logarithme sur le disqueD(z0, r)⊂C∗sous forme de s´eries enti`eres (enz−z0).
Exercice 3. Soit U = {z ∈ C/|Re(z)| < 1}. Montrer qu’il existe exactement deux fonctionsf ∈ O(U) telles que, pour toutz∈U,f(z)2=z2−1.
Exercice 4. Soitf une fonction holomorphe sur un ouvert Ω deC. Montrer, sans calcul, que ln|f|est une fonction harmonique sur l’ouvert Ω0={z∈Ω/f(z)6= 0}.
Exercice 5.
(a) Montrer que la fonction tan = sin/cos est bien d´efinie et holomorphe sur C\A, o`u A=π/2 +πZ.
(b) SoientB={it/t∈R,|t| ≥1} etU =C\B. Montrer que la formule ϕ(z) =1 +iz
1−iz
d´efinit un biholomorphismeϕentreU et C\R−. Calculer sa r´eciproque.
(c) Montrer que la fonctionf :U →Cd´efinie par f(z) = 1
2iLog
1 +iz 1−iz
v´erifie tan◦f =idU. En d´eduire que f est une extension holomorphe de la fonction arctangente usuellement d´efinie surR.
(d) Expliquer le rayon de convergence de la s´erie de Taylor de la fonction arctangente en 0.
1
2
Exercice 6. Soitγ le chemint7→eit, o`u td´ecrit [0, π/2]. Calculer Z
γ
√dz z.
Exercice 7. On consid`ere une fonction continuef :D(0,1)→C. Montrer que si f est C−d´erivable en 0, alors
r→0lim 1 r2
Z
∂D(0,r)
f(z)dz= 0.
Exercice 8. Pour tout r´eel strictement positifA, on note γA le bord (orient´e positive- ment) du triangle d´efini par les points 0,A,A(1 +i).
(a) Calculer Z
γA
e−z2dz.
(b) En faisant tendre A vers +∞, en d´eduire l’existence et la valeur des int´egrales de Fresnel :
Z +∞
0
cost2dtet Z +∞
0
sint2dt.
Exercice 9. Soit f une fonction enti`ere born´ee (on va prouver que f est forc´ement constante : c’est le th´eor`eme de Liouville).
(a) On se donne deux nombres complexes distincts a et b et on choisit un r´eel R >
max(|a|,|b|). CalculerI(R) = Z
∂D(0,R)
f(z)dz
(z−a)(z−b) (indication : ´el´ements simples).
(b) En faisant tendreRvers +∞, montrer quef est constante.
