Montrer que|f(a

Licence, Analyse Complexe, 2007

Fonctions holomorphes 1.

Exercice 1.

(1) Calculer

|z|=1

dz

zⁿ(e^z−1) pour n = 0,1,2. Indication: Consid´erer le prolongement par continuit´e de z→ z

e^z−1. (2) Calculerk_n=

|z|=¹₂

dz

zⁿ(1 +z)(2−z). Exercice 2.

(1) Soit a∈D(0,1). Montrer que 1

1− |a|² = 1 2iπ

C(0,1)

dz

z|z−a|². (Indication: Montrer que z|z−a|²= (z−a)(1−z¯a) le long du cercle unit´e)

(2) Soit f ∈ O(D(0,1) de module born´ee parM >0. Montrer que|f(a)| ≤ M 1− |a|².

Exercice 3. (Une preuve du th´eor`eme de Liouville). Soitf enti`ere born´ee. Soienta=b deux nombres complexes et R > max(|a|,|b|). Calculer I(R) =

C(0,R)

f(z)dz (z−a)(z−b) (d´ecomposer en ´el´ements simples).

(1) MajorerI(R) et conclure.

Exercice 4. Montrer qu’une fonction enti`eref telle quef(z+1) =f(z) etf(z+i) =f(z) est constante.

Exercice 5. Soitf continue sur le disque ferm´eD(a, r), a∈Cet r >0. Montrer que f ∈ O(D(a, r)) ssi∀z ∈D(a, r), f(z) = 1

2iπ

C(a,r)

f(ζ)

ζ−zdζ. En d´eduire le th´eor`eme de Weierstrass.

Exercice 6. (Lemme de Schwarz)

(1) Soitf ∈ O(D(0,1)) nulle en 0 et born´ee en module parM ≥0. Montrer que|f(z)| ≤M|z|

sur le disque D(0,1) et que l’in´egalit´e est une ´egalit´e en un point z₀ ∈ D(0,1)\ {0} ssi f(z) =λzavecλ∈C.

(2) Donner un lemme analogue lorsque 0 est un zero def d’ordrek >0.

Exercice 7. (une application du lemme de Schwarz)

(1) Soit f holomorphe au voisinage deD(a, r),r >0 et born´ee parM sur le bord du disque.

On suppose f(a) = 0. Montrer que le nombre de zeros (compt´es avec multiplicit´e) de f dans le disque|z−a| ≤ R

3 est inf´erieur `a 1

log 2log( M f(a)).

Indications: Supposer a = 0, puis diviser f par des facteurs du type (1− z

z_k) avec z_k les z´eros de f dans |z| ≤ R

3 (r´ep´et´es suivant la multiplicit´e). Appliquer le principe du maximum et ´evaluer en 0.

Exercice 8. L’in´egalit´e de Jensen (On affine le r´esultat pr´ec´edent).

(1) Soit a∈D(0,1). Montrer quef_a :z→f_a(z) = z−a

1−¯az est un biholomorphisme du disque unit´e d’inversef_−a.

1

(2) Soit f ∈ O(D(0, r)), born´ee parM sur le disque. Siz₁, . . . , z_k sont les z´eros def (r´ep´et´es suivant la multiplicit´e) dansD(0, r)\ {0}, montrer que r^k|f(0)|

|z1. . . z_n| ≤M.

(3) Soitf une fonction enti`ere telle que|f(z)| ≤e<sup>c|z|</sup>pour|z|assez grand, avec 0≤c <1. On suppose quef(n) = 0, n∈ N. Montrer quef est nulle. (Indications: On peut supposer f(0)= 0. Puis on ´ecrit la formule de Jensen avecr=n, on prend la racinen−i`eme).

Exercice 9. SoitPun polynˆome de degr´enet de coefficient dominant 1 tel que|P(z)|= 1 sur le cercle unit´e. Montrer queP(z) =zⁿ. (Indication: Utiliser la transformationz→ 1

z) Exercice 10. Soit f holomoprhe sur P₊ le demiplan sup´erieur Imz > 0, continue et born´ee sur Imz≥0. SoitM =f∞,∂P+.

(1) Supposant quef tend vers 0 `a l’infini, montrer quef∞,P+≤M. (2) Dans le cas g´en´eral consid´ererg:z→ fⁿ(z)

i+z (oug(z) = f(z)

(i+z) avec une d´et`ermination de la puissance >0 choisie) .

(3) Peut-on appliquer ce qui pr´ec`ede `az→e^−z2?

(4) Consid´erant un biholomorphisme rationnel du demi-plan sur le disque unit´e, retrouver le r´esultat pr´ec´edent.

Exercice 11.

(1) Montrer qu’une fonction continue sur Imz≥0, holomorphe sur {Imz >0}=P₊, born´ee, suppos´ee de plus r´eelle sur l’axe r´eelle, est constante.

(2) G´en´eraliser le r´esultat ci-dessus afin d’obtenir une description des f ∈ O(P₊)∩C⁰(P₊) suppos´ees de croissance au plus polynomiale et r´eelles sur l’axe r´eel.

Exercice 12. SoitF :C\R⁻→Cd´efinie parF(z) = Logz

z²−1 siz= 1 etf(1) = 1

2. Soient 0 < < R et K(, R) ={z ∈C, ≤ |z| ≤R,0≤argz ≤ π

2}. Calculer

∂K(,R)f(z)dz.

Faisant→0 etR→+∞, montrer que

_+∞

0

logx

x²−1dx=π² 4 . Exercice 13. Extrait du partiel de 2001

Soit l’ouvertB ={z∈C0<Rez <1}.

(1) Quelle est la fronti`ere∂B deB dansC(on ne demande pas de d´emonstration).

(2) Soit > 0. On consid`ere la fonctionG(z) = exp(z(z−1)). Calculer pour tout y ∈ R, sup

x∈[0,1]|G(x+iy)|.

(3) Soit F : B →C une fonction continue, holomorphe sur B. On suppose que |F(z)| ≤1 pour toutz ∈∂B et qu’il existeA > 0 et C > 0 tels que |F(z)| ≤ Aexp (C|Imz|) pour toutz∈B.

Montrer que |F(z)| ≤ 1 pour toutz ∈ B (Indications On pourra consid´erer la fonction F(z)G(z) et appliquer le principe du maximum).

Exercice 14.

(1) Soit f ∈ O((D(0,1)), f(z) =

n∈N

a_nzⁿ. Montrer que |a_n| ≤M =⇒ |f(z)| ≤ M 1− |z| et

|f(z)| ≤ M (1− |z|)².

(2) Supposantf born´ee sur le disque , montrer que|a_n| ≤ f_∞et |f(z)| ≤ M 1− |z|