ECE2 TD n ◦ 8 : Int´ egrales impropres
Exercice 1. ´Etude de la convergence `a l’aide de la d´efinition
Etudier la convergence, et en cas de convergence, pr´´ eciser la valeur des int´egrales : I1=
Z +∞
0
1
(2t+ 3)2 dt I2= Z +∞
0
1
2t dt I3= Z +∞
2
1 t√
t dt I4= Z +∞
1
lnt
t2 dt I5= Z +∞
1
t2 t+ 1 dt Exercice 2. Utilisation des crit`eres de comparaison
Etudier la convergence des int´´ egrales : I1=
Z +∞
1
ln
1 + 1
√t
dt I2=
Z +∞
1
tlnt
(1 +t2)2 dt I3= Z +∞
1
exp
− 1
√t
dt
Exercice 3. Fonction d´efinie par une int´egrale (Edhec 2007) On consid`ere la fonction f d´efinie par :
f(t) = lnt
t−lnt sit >0 et f(0) =−1 1. (a) Montrer quef est d´efinie et continue sur [0,+∞[.
(b) D´eterminer le signe def sur [0,+∞[.
2. On consid`ere la fonctionF d´efinie sur [0,+∞[ par : F(x) = Z x
0
f(t) dt
(a) Montrer queF est de classeC1 sur [0,+∞[, puis ´etudier ses variations.
(b) D´eterminer lim
x→+∞
Z x 1
lnt t dt.
(c) En d´eduire lim
x→+∞
Z x 1
lnt
t−lnt dt puis lim
x→+∞F(x).
(d) Donner l’allure de la courbe repr´esentative deF. Exercice 4. Ecricome 1997 (suite)
Soitαun r´eel tel queα >1. Pour toutn∈N, on pose : un(α) = n!
n
Y
k=0
(α+k) On a vu dans le TD no4 que : un(α)−−−−−−→
n→+∞ 0. Le but de l’exercice est d’´etudier la nature de la s´erie de terme g´en´eralun(α) pourα >1 (on avait que pourα≤1 cette s´erie diverge).
Pour cela, on pose pour tout entier natureln: In(α) = Z +∞
0
e−αt 1−e−tn dt 1. (a) ´Etudier la convergence de l’int´egrale g´en´eralis´eeIn(α) et calculerI0(α).
(b) Soit un r´eelxstrictement positif. Int´egrer par parties : Z x
0
e−αt(1−e−t)ndt
et en d´eduire une relation simple entreIn(α) etIn−1(α+ 1), pour toutnentier naturel non nul.
(c) En d´eduire : ∀n∈N, In(α) =un(α) 2. (a) Montrer que, pour toutN entier naturel :
N
X
n=0
In(α) = 1
α−1 −IN+1(α−1)
(b) En d´eduire que la s´erie de terme g´en´eral un(α) converge et donner en fonction deαla valeur de
+∞
X
n=0
un(α).
Exercice 5. Calculs d’int´egrales 1. Justifier l’existence puis calculer :
(a) Z 1
0
1
2 +t dt (b) Z 1
0
√
tdt (c) Z 1
0
te−t2dt (d) Z e
1
lnt
t dt (e) Z 4
2
1 3t dt
2. Justifier l’existence puis calculer Z 1
0
t3
√
1 +t2 dt.
3. Justifier l’existence puis calculer Z 1
0
√t−t
√t+ 1 dt. (On pourra poseru=√ t+ 1.)
Exercice 6. Extensions
1. ´Etudier la convergence, et en cas de convergence, pr´eciser la valeur des int´egrales : I1=
Z +∞
−∞
e−tdt I2=
Z +∞
−∞
te−t2dt 2. Mˆeme question avec :
I1= Z 1
0
√ 1
1−t dt I2= Z 1/e
0
1
t(lnt)2 dt I3= Z 1
0
lnt
√t dt I4= Z 1
−1
√ t
1−t2 dt 3. (a) En effectuant le changement de variableu= 1−t, ´etudier la convergence de l’int´egraleI1=
Z 1 0
ln(1 +t)
√
1−t2 dt.
(b) En effectuant le changement de variableu= 1
1−t, ´etudier la convergence de l’int´egraleI3= Z 1
0
exp 1
t−1
dt.
Exercice 7. Changement de variable, int´egration par parties (Ecricome 1999) On admet que l’int´egrale g´en´eralis´ee
Z +∞
0
e−u2duconverge et vaut
√π
2 . Soitαun r´eel strictement positif. Si xest un ´el´ement deR+, on pose :
I(x) = Z x
0
2u2e−u2du et J(x) = Z x
0
t2e−(t/α)2dt
1. A l’aide d’un changement de variable, exprimer, pour tout ´el´ementxdeR+, J(x) en fonction deI x
α
. 2. A l’aide d’une int´egration par parties, montrer que, pour tout ´el´ementxdeR+ :
I(x) = Z x
0
e−u2du−xe−x2
3. En d´eduire que l’int´egrale g´en´eralis´ee Z +∞
0
t2e−(t/α)2dt converge et vaut α3√ π 4 . Exercice 8. Fonction continue par morceaux (Ecricome 2010)
On consid`ere l’applicationϕd´efinie surR∗+ par : ∀x∈R∗+, ϕ(x) = ln(x)−ln(x+ 1) + 1 x 1. On rappelle que ln(2)≈0,7 et ln(3)≈1,1.
Montrer que l’´equationϕ(x) = 1 poss`ede une unique solution not´eeαet que : 1
3 < α < 1 2 2. On consid`ere la fonctionf d´efinie surRpar :
f(x) = 1
x2(x+ 1) si x > α f(x) = 0 si x6α (a) Montrer quef est continue par morceaux sur R.
(b) Montrer que l’int´egrale Z +∞
−∞
f(t) dtconverge et donner sa valeur.
(c) Montrer que l’int´egrale Z +∞
−∞
tf(t) dt converge absolument. On note alorsE= Z +∞
−∞
tf(t) dt.
(d) D´emontrer que pour toutt > α: tf(t) =ϕ0(t) + 1 t2
En d´eduire la valeur deE, puis donner un encadrement deE par deux entiers cons´ecutifs.
(e) L’int´egrale Z +∞
−∞
t2f(t) dt converge-t-elle ?
