Classe de TS6 4 d´ecembre 2010
Devoir Math´ ematiques N
o4 (2 heures)
Exercice 1 : (4 points)
Etudier les limites suivantes `a l’endroit indiqu´e.
f1(x) = xex1 en 0.
f2(x) = e2x
x2+ 4 en +∞.
f3(x) = xln(cos2x+ 2) en +∞. f4(x) = e(x3)−e(x2) en +∞.
Exercice 2 : (3 points)
R´esoudre les in´equations suivantes :
(E1) : 2e3x−4e2x−6ex≥0. (E2) : x√2> x2.
Exercice 3 : (1,5 points)
D´eterminer les primitives des fonctions suivantes sur l’intervalle indiqu´e.
f1(x) = xe(x2)
e(x2)+ 3 surI=R. f2(x) = e√x
√x surI=R⋆+.
Exercice 4 : (pour les non sp´ ecialistes) (2 points)
Soitf d´efinie surR+ par
f(x) =
esinx−1
√x six6= 0
0 sinon
1. Etablir que lim
x→0
esinx−1 x = 1.
2. f est-elle continue surR+? 3. f est-elle d´erivable sur R+?
Exercice 5 : (sp´ ecialistes) (2 points)
1. D´eterminer suivant les valeurs den∈Zle reste da la division den2par 8.
2. D´eduire de la question pr´ec´edente les solutions dansZdes ´equations suivantes : a)
(n+ 4)2−4≡0 (8) b)
(3n2+ 2n+ 1)2−19 = 0 (8)
Exercice 6 : (2 points)
Soitf la fonction d´efinie surRpar f(x) = ex−x−1
et soit (C) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonormal du plan. La droite (D) d’´equationy =
−x−1 est asymptote `a (C). On a repr´esent´e ci-joint la courbe (C) et la droite (D).
1. Soit a un nombre r´eel. ´Ecrire, en fonction de a, une ´equation de la tangente (T) `a (C) au pointM d’abscissea.
2. Cette tangente (T) coupe la droite (D) au point N d’abscisseb. V´erifier queb−a=−1.
3. En d´eduire une construction, `a effectuer ci-joint, de la tangente (T) `a (C) au point M d’abscisse 1,5. On fera apparaˆıtre le pointN correspondant.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
1 2
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4 O
(C)
(D)
Exercice 7 : (7,5 points)
On d´esigne paraun r´eel strictement positif et diff´erent de 1.
On se propose de rechercher, dans l’intervalle ]0 ; +∞[, les solutions de l’´equation Ea: xa =ax.
I - ´ Etude de quelques cas particuliers
1. V´erifier que les nombres 2 et 4 sont solutions de l’´equationE2. 2. V´erifier que le nombreaest toujours solution de l’´equationEa.
3. On se propose de d´emontrer que e est la seule solution de l’´equationEe. On notehla fonction d´efinie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ parh(x) =x−e lnx.
a) D´eterminer les limites dehen 0 et +∞.
b) ´Etudier les variations dehsur l’intervalle ]0 ; +∞[.
c) Dresser le tableau des variations dehet conclure quant aux solutions de l’´equationEe.
II - R´ esolution de l’´ equation E
a1. Soitxun r´eel strictement positif. Montrer quexest solution de l’´equationEasi et seulement sixest solution de l’´equation : lnx
x =lna a .
2. On consid`ere la fonctionf d´efinie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :f(x) = lnx x .
a) D´eterminer les limites def en 0 et +∞. Donner une interpr´etation graphique de ces deux limites.
b) Etudier les variations def sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
c) Dresser le tableau des variations de la fonctionf.
d) Tracer la courbeC repr´esentative de la fonctionf dans un rep`ere orthonormal (O;#–ı ,#–). (Unit´e : 2 cm).
3. Justifier `a l’aide des r´esultats pr´ec´edents les propositions (P1) et (P2) suivantes : (P1) : sia∈]0 ; 1], alorsEa admet l’unique solutiona;
(P2) : si a∈]1 ; e[ ∪ ]e ; +∞[, alorsEa admet deux solutions aet b, l’une appartenant `a l’intervalle ]1 ; e[ et l’autre appartenant `a l’intervalle ]e ; +∞[.
