Séquence 5 : Logarithme décimal
En 1614, Neper définit le premier les logarithmes.
Le mot logarithme est construit sur les mots grecs logos dans le sens de rapport et arithmos, nombre.
I) Fonction logarithme décimal
A) Définition du logarithme décimal
Définition :
Soitbun nombre réel strictement positif.
L’unique solution de l’équation 10x=b, d’inconnuex, s’appelle le logarithme décimal deb, et se notel og(b).
On a alorsx=l og(b).
Exemples : a) 10x=100 .
La solution de l’équation est x=l og(100) =l og(102) = 2
b) 10x=600 .
La solution de l’équation est x=l og(600)≈2.7782
c) 10x=5 .
La solution de l’équation est x=l og(5)≈0.699
Remarque :
Soitbun réel négatif. L’équation 10x =bn’a pas de solution.
Par exemple, l’équation 10x=−16 n’a pas de solution.
Propriétés :
Soitbun réel strictement positif.
(1)l og(10b)=b (2) 10l og(b)=b
Exemples : a)l og¡
109¢
=9 b)l og¡ 104.5¢
=4.5 c) 10l og(3)=3 d) 10l og(0.7)=0.7
Définition :
La fonction logarithme décimal notéel og est la fonction qui , à tout réelx> 0 associel og(x) . Écrit autrement, on a :
l og : ]0;+∞[ → R x 7→ l og(x)
1
B) Sens de variation et signe
Propriété admise :
La fonction logarithme décimalx7→l og(x) est strictement croissante sur ]0;+∞]
Exemples : Comparaison de nombres a) Comparerl og(4) etl og(5).
On sait que 4<5 doncl og(4)<l og(5) puisque la fonctionl og est strictement croissante sur ]0;+∞[.
b) Comparerl og¡p 14¢
etl og¡p 3¢
. On sait quep
3<p
14 doncl og¡p 3¢
<l og¡p 14¢
puisque la fonctionl og est strictement croissante sur ]0;+∞[.
Propriété admise :
Six∈]0;1[ alorsl og(x)<0.
Six∈[1;+∞[ alorsl og(x)>0.
Tableau de signes :
x signe de
l og(x)
0 1 +∞
− 0 +
Exemples :
a)l og(0.5)≈ −0.301<0 car 0.5∈]0;1[ b)l og(1.5)≈0.1761>0 car 1.5∈]1;+∞[
2
II) Propriétés algébriques du logarithme décimal
Propriété admise :
Pour tous nombres réels strictement positifsaetb,
l og(a×b) =l og(a)+l og(b)
Exemples :
a)l og(6)=l og(3×2)=l og(3)+l og(2) b)l og¡p 11−3¢
+l og¡p 11+3¢
=l og¡¡p 11−3¢
סp
11+3¢¢
=l og¡p
112−32¢
=l og(11−9)
=l og(2)
Propriétés :
aetbsont deux réels strictement positifs etnest un entier relatif.
l og(an)=nl og(a) l og µ1
a
¶
= −l og(a) l og
³a b
´
=l og(a)−l og(b)
Exemples : a)l og¡
26¢
=6l og(2) b)l og
µ1 5
¶
=−l og(5) c)l og
µ3 7
¶
=l og(3)−l og(7)
Exemples : Simplifier les expressions suivantes : d)l og¡
23×104¢
=l og¡ 23¢
+l og¡ 104¢
= 3l og(2) +l og¡ 104¢
= 3l og(2) + 4
e)l og(12)−l og(4)+7l og(3)
=l og µ12
4
¶
+7l og(3)
=l og(3)+7l og(3)
= 8l og(3)
f) Soitxstrictement positif.
l og(11x) +l og µ1
x
¶
+l og¡ 3x12¢
−l og(3)
=l og(11)+l og(x)+l og µ1
x
¶
+l og¡ 3x12¢
−l og(3)
=l og(11)+l og(x)−l og(x) +l og¡ 3x12¢
−l og(3)
=l og(11)+l og¡ 3x12¢
−l og(3)
=l og(11)+l og µ3x12
3
¶
=l og(11)+l og¡ x12¢
=l og(11)+12l og(x)
3
Propriété admise :
Soitaun nombre réel strictement positif. Pour tout nombre réelx: l og(ax)=xl og(a)
Exemples : a)l og¡
171.5¢
=1.5l og(17) b)Exprimer l’expression suivante
en fonction del og(7) etl og(2) l og¡
78.8¢
+l og(14)
=8.8l og(7)+l og(14)
=8.8l og(7)+l og(7×2)
=8.8l og(7)+l og(7)+l og(2)
=9.8l og(7)+l og(2)
III) Résolutions d’équations et d’inéquations
Propriétés admises :
1) Pour tout réelbstrictement positif et tout réela,
l og(b)=a⇔b=10a l og(b)<a⇔b<10a 2) Pour tous réelsaetbstrictement positifs.
l og(a)=l og(b)⇔a=b l og(a)<l og(b)⇔a<b
Exemples : Résoudre des équations de la formeax=betxa=b: 8x=24
⇔l og(8x)=l og(24)
⇔xl og(8)=l og(24)
⇔x=l og(24) l og(8)
2×3x=34
⇔3x=34 2
⇔3x=17
⇔l og(3x)=l og(17)
⇔xl og(3)=l og(17)
⇔x=l og(17) l og(3)
x4=18
⇔l og¡ x4¢
=l og(18)
⇔4l og(x)=l og(18)
⇔l og(x)=l og(18) 4
⇔10l og(x)= 10l og(18)4
⇔x= 10l og(18)4 Exemples : Résoudre des équations de la formeax<betxa<b:
15x<30
⇔l og(15x)<l og(30)
⇔xl og(15)<l og(30)
⇔x<l og(30) l og(15) S =
¸
−∞; l og(30) l og(15)
·
0.65x67860
⇔l og(0.65x)6l og(7860)
⇔xl og(0.65)6l og(7860) Attention :l og(0.65)<0
⇔x>l og(7860) l og(0.65) S =
·l og(7860) l og(0.65) ;+∞
·
x5.76456
⇔l og¡ x5.7¢
6l og(456)
⇔5.7l og(x)6l og(456)
⇔l og(x)6l og(456) 5.7
⇔10l og(x)610l og(456)5.7
⇔x610l og(456)5.7 S =
i0 ; 10l og(456)5.7 h
4
