Soit T un nombre réel strictement positif et a une fonction continue et T -périodique c'est à dire vériant :

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Soit T un nombre réel strictement positif et a une fonction continue et T -périodique c'est à dire vériant :

∀t ∈ R : a(t + T ) = a(t)

On note A une primitive

de a et on considère l'équation diérentielle où l'inconnue y est une fonction à valeurs réelles

y

+ ay = 0 (1)

1. Montrer que pour tout réel t ,

A(t + T ) − A(t) = A(T ) − A(0)

2. Montrer qu'il existe une unique solution (notée y

) de (1) prenant en 0 la valeur 1 . 3. Théorème de Floquet à l'ordre 1 .

Montrer qu'il existe un unique nombre réel K et une unique fonction T -périodique p tels que

∀t ∈ R : y

(t) = p(t)e

Préciser l'expression de K .

4. Montrer que toute solution z de (1) est de la forme t → z(0)p(t)e

Si K < 0 , que peut-on en déduire pour le comportement de z en +∞ ?

1dans cet exercice, il est inutile d'utiliser des intégrales

Corrigé

1. Considérons l'application ϕ dénie dans R par

ϕ(t) = A(t + T ) − A(t) Elle est dérivable avec

ϕ

(t) = A

(t + T ) − A

(t) = a(t + T ) − a(t) = 0 car a est T -périodique. On en déduit que ϕ est constante d'où

∀t ∈ R : A(t + T) − a(t) = ϕ(t) = ϕ(0) = A(T ) − A(0)

2. L'existence et l'unicité demandée sont une application résultat de cours sur l'unicité d'une solution à un problème de Cauchy pour une équation linéaire du premier ordre.

3. On procède par analyse-synthèse.

Analyse-Unicité. Si y

de se décompose en

∀t ∈ R : y

(t) = p(t)e

avec K nombre réel et p fonction T -périodique. En prenant la valeur en 0 et en T , il vient :

1 = p(0) et e

= p(T )e

p(0) = p(T ) ⇒e

= e

D'après l'injectivité de l'exponentielle réelle, on obtient

K = − 1

T (A(T) − A(0))

Ceci assure l'unicité de K mais aussi de la fonction p , car on doit avoir :

∀t ∈ R : p(t) = y

(t)e

Synthèse-Existence. Dénissons un nombre K et une fonction p par : K = − 1

T (A(T ) − A(0)) ∀t ∈ R : p(t) = y

(t)e

= e

alors par dénition même, on a bien

∀t ∈ R : y

(t) = p(t)e

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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Le seul point à vérier, c'est la périodicité de p . Pour tout réel t : p(t + T ) = e

= e

en utilisant la dénition de K . On utilise alors la question 1. :

A(t + T ) − A(t) = A(T) − A(0) ⇒ −A(t + T ) + A(T ) = −A(t) + A(0)

⇒ p(t + T ) = e

= p(t) 4. D'après le cours, pour toute solution z de (1) , il existe un réel λ tel que

∀t ∈ R : z(t) = λy

(t) En particulier pour t = 0 , on obtient λ = z(0) .

Lorsque K < 0 , comme toute fonction continue périodique est bornée, la fonction exponentielle fait tendre vers 0 en +∞ . Toute solution de (1) converge vers 0 en +∞ . On peut noter que K est l'opposée de la valeur moyenne de la fonction périodique a .

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