2 Existence et unicité de la solution de l’équation de Stokes

Problème de Stokes et condition de convergence

Laetitia Giraldi

giraldi@cmap.polytechnique.fr 18 novembre 2011

1 Equation de Stokes

L’équation de Navier-Stokes est couramment utilisée pour modéliser les fluides Newtoniens im- compressibles (par exemple l’eau). Celle-ci s’écrit, dans le cas où la pesanteur est la seule force extérieure :

ρ(^∂u_∂t + (u5)u)− 5p+µ4u = ρgez,

div u = 0, (1)

oùρreprésente la densité du fluide,µsa viscosité etgla constante gravitationnelle. Les inconnus uet preprésentent la vitesse et la pression du fluide.

Cette équation aux dérivées partielles provient de l’écriture du principe fondamental de la dy- namique dans lequel l’accélération (premier terme de l’équation) écrite dans le repère mobile avec le fluide, est précisément égale aux forces qui s’appliquent sur une portion de fluide Fext. La se- conde équation rend simplement compte du fait que le milieu considéré est incompressible et doit se déformer en préservant son volume.

Question 1 : Mise sous forme adimensionnée de l’équation Soit u solution de l’équation 1.

En posant u_∗ = _U^u, où U (en ms⁻¹) est de l’ordre de la solution u, x_∗ = _L^x, où L est l’échelle spatiale (enm), ett_∗=_T^t, où T est l’echelle de temps qui nous intéresse (ens), réecrire l’équation de Navier-Stokes (1) sous la forme d’une équation enu_∗ et p_∗ :

Sr(^∂u_∂t^∗

∗ + (u_∗ 5_∗)u_∗)− 5_∗p_∗+_Re¹ 4_∗u_∗ = _{F r}¹2ez,

div_∗u_∗ = 0,

où :

– p_∗=_ρU^p₂

– S_r le nombre de Strouhal – R_ele nombre de Reynolds – F_rle nombre de Froude en fonction deL,U,T, ρ,µ, pet g.

En sachant que la viscosité de l’eau est de l’ordre de 10⁻³P a.s, la constante gravitationnelle de l’ordre de10m³kg⁻¹s⁻²et la densité de l’eau est de l’ordre de1donner l’ordre de grandeur des nombresRe,Sret Fr lorsque l’on s’interesse à des objets de longueurL∼1µm, se déplaçant à la vitesseU ∼1^µm_s sur des périodes de temps de l’ordre de la seconde(remarque :T =_U^L).

Pourquoi dans ce cas peut-on se ramener à une équation linéaire ?

Donner deux cadres physiques dans lesquelles on peut faire cette approximation.

2 Existence et unicité de la solution de l’équation de Stokes

SoitΩun ouvert borné connexe deR^d. Typiquement,d= 2oud= 3.

NotonsB(0, r)la boule de centre 0et de rayon r.

On cherche une fonction vectorielleu= (u1, . . . , ud)et une fonction scalaireptelles que :







µ∆u− 5p =f dans Ω, div u = 0 dans Ω,

u = 0 dans∂Ω.

(2)

Question 2 :

Donner une formulation variationnelle du problème (2) : Trouver(u, p)∈H₀¹(Ω)×L²₀(Ω) tel que :

a(u, v) +b(p, v) =l(v) ∀v∈H₀¹(Ω),

b(w, u) = 0 ∀w∈L²₀(Ω). (3)

oùaetb sont des formes bilinéaires,l est une forme linéaire que l’on prendra soin d’expliciter.

Question 3 :

On introduitV ={v∈H₀¹(Ω);div(v) = 0}.

Réecrire la formulation variationnelle (3) sous la forme : Trouveru∈V tel que :

a(u, v) =l(v) ∀v∈V .

Montrer que cette formulation variationnelle admet une unique solution.

Question 4 :

Rappelons queV^⊥est un sous espace deH₀¹défini par :V^⊥={v∈H₀¹;< v, w >_H¹

0= 0∀w∈V}.

Nous admettrons que l’opérateur divergence définit un isomorphisme deV^⊥ surL²₀. Soit T son inverse. (Cette affirmation est une conséquence du théorème de Rham.)

Soitu∈V, notons F(v) =a(u, v)−l(v).

Monter qu’il existe un uniquep∈L²₀ tel queF s’écrive sous la formev7→R

Ωp div v.

Question 5 : Conclure.

3 La condition de Ladyzenskaia-Babushka-Brezzi (LBB)

Définition :SoitX etM deux espaces de Hilbert muni des normesk kX respectivementk kM. Soit b une forme bilinéaire continue surXxM :

On dira que la forme b vérifie la condition LBB si et seulement si il existeβ >0 tel que :

p∈Minf sup

v∈X

b(v, p) kvkXkpkM

≥β

Notons X_h ⊆X et M_h⊆M les espaces de dimensions finis d’approximation des solutions. Le but de cette partie est de comprendre que pour obtenir une bonne approximation de la solution par la méthode des éléments finis il faut avoir :

p∈Minfh

sup

v∈Xh

b(vh, ph) kvhkXkphkM

≥βh≥β_∗

Question 6 :

On notera X⁰ et M⁰ les espaces duaux deX etM. Expliciter les espacesX etM pour le problème 2.

Montrer que b induit une application linéaire B de X versM⁰ et expliciter B⁰ :M →X⁰ son application duale.

Question 7 :

Notons, V =ker Bet V⁰=

f ∈X⁰;f(v) = 0 ∀v∈V .

Montrer que, sous la condition LBB,B⁰ est injective et d’image fermée dansX⁰. Indication : On pourra montrer que

kB⁰pkX⁰ ≥ kpkM

Grace à la question6 et en appliquant le théorème de l’image fermée de Banach, on a que : Im(B⁰) =V⁰

donc on obtient que B⁰ est un isomorphisme de M dans V⁰. Puis par dualité, que B est un isomorphisme deV^⊥ dansM⁰.

Question 8 :

Montrer que si B est un isomorphisme de V^⊥ dansM⁰ alors la condition LBB est vérifiée.

Question 9 :

Montrer que sous la condition LBB, le problème 2 admet une unique solution (u, p)∈V ×L²₀.

Soient Xh ⊆X et Mh ⊆M les espaces de dimension finie d’approximation de la solution. On cherche à trouver(uh, ph)∈Xh×Mh tel que :

a(u_h, v_h) +b(p_h, v_h) =l(v_h) ∀vh∈V X_h,

b(w_h, u_h) = 0 ∀wh∈M_h. (4)

Question 10 :

Montrer que le problème 4 est équivalent à la recherche des vecteursUhet Ph tels que : A_hU_h+B^t_hP_h =L_h

B_hU_h = 0

Définition :

On dira que la forme b vérifie la condition LBB discrète si et seulement si il existeβ_h >0tel que :

p∈Minfh

sup

v∈Xh

b(vh, ph)

kv_hk_Xkp_hk_M ≥βh

Question 11 :

Donner une condition pour que le problème 4 ait une unique solution dansXh×Mh.

Question 12 :(Question difficile, on pourra admettre le résultat pour la suite).

Montrer que sous cette condition, la solution du problème 4 vérifie l’estimation : ku−u_hk_X+|p−p_h|_M ≤C( inf

v_h∈X_hku−v_hk+ inf

q_h∈M_hkp−q_hk) OùC =max(^C_α^b + (1 +^C_β^b

h),^C_α^a + (1 +^C_β^b

h)(1 + ^C_α^a))avecC_a, respectivementC_b, la constante de continuité de a, respectivement de b et α, respectivement β, est la constante de coercivité de a, respectivement deb.

Question 13 :

Quelle est la limite de C lorsqueβh tend vers0 Que peut-on en conclure ?

4 Applications

Dans cette partie on se place dansR².

4.1 Comparaison des flots

Question 14 :

Voici un flot avec obstacle :

!"#$%&'()%'%(&*+,+%-.)#/+(%0#,12"'3

Re = 0 Re > 250

25

Ravello course on motility at microscopic scales. Antonio DeSimone, SISSA (Trieste, ITALY)

Drag = 6 ! µ R V (Stokes, 1851)

Tracer, En utilisant Freefem++, le flot visqueux (i.e. la solution u) qui correspond à l’équation suivante :



















∆u− 5p= 0 dans Ω,

div u= 0 dans Ω,

u= 0 sur∂B,R2,R4,

u=

y(1−y) 0

surR1, (Condition de Neumann surR3),

(5)

où le domaine Ωest défini par le dessin suivant :

-10 10

5

-5

R1

R2

R3

R4 B

Comparez votre résultat. Conclure ?

4.2 Comparaison des espaces d’approximation

Question 15 : Dans cette section, on pose que l’erreur entre les fonctionsu= (u1,· · ·, un) et v= (v1,· · ·, vn)est le réel suivant :

e(u, v) =

n

X

i=1

kui−vik_L2

Soient : – Ω =B(0,1)

– u(x, y) = (2xe + 2y+ 3y²,−2y+ 2x−3x²) – p(x, y) = 3xe ²y−6x

Calculerf pour que(eu,p)e soit solution du problème de Stokes suivant :







∆u− 5p =f dans Ω, div u = 0 dans Ω, u = ˜u_|∂Ω sur∂Ω.

(6)

Question 16 :

En utilisant FREEFEM++, calculer l’erreur de l’approximation en faisant varier la discrétisation de l’espace, dans les cas suivant :

1. lorsqueXh=P²et Mh=P¹ 2. lorsqueX_h=P¹et M_h=P² 3. lorsqueXh=P¹b etMh=P¹ 4. lorsqueX_h=P¹et M_h=P⁰ Que peut-on en conclure ?

Question 17 :Pour chaque cas, tracer en Scilab la courbe d’erreur de l’approximation en faisant varier la discrétisation de l’espace ?

Question 18 : On se place dans le domaine bornée deR² suivant :Ω =RrB(0,1)où R est un rectangle suivant :

On considère le problème de Stokes suivant :











∆u− 5p = 0 dans Ω, div u = 0 dans Ω, u = (1,0) sur∂B(0,1),

u = 0 sur∂R .

(7)

Résoudre avec Freefem ce problème en faisant varier la discrétisation de l’espace, de manière à stocker la solution provenant de la discrétisation la plus fine et calculer l’erreur entre cette solution et celles provenant des discrétisations plus grossières. (Faire au moins 4 résolutions à discrétisation distinctes)

Faire cette étude en utilisant comme espace d’approximation – Xh=P² et Mh=P¹

– Xh=P¹ et Mh=P²

Enfin, comparer les solutions provenant de la discrétisation la plus fine lorsque l’espace d’ap- proximation varie.