Cours

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Séquence 6 : Logarithme népérien

En 1614, Neper définit le premier les logarithmes.

Le mot logarithme est construit sur les mots grecs logos dans le sens de rapport et arithmos, nombre.

I) Définition du logarithme népérien

Définition :

Soitbun nombre réel strictement positif.

L’unique solution de l’équatione^x=b, d’inconnuex, s’appelle le logarithme népérien deb, et se notel n(b).

On a alorsx=l n(b).

Remarque :

Pour toutx∈]0;+∞[ ,l og(a)= l n(a) l n(10) Exemples :

a)e^x=100 .

La solution de l’équation est x=l n(100)≈4.6052

b)e^x=600 .

c)e^x=5 .

Remarque :

Soitbun réel négatif. L’équatione^x =bn’a pas de solution.

Par exemple, l’équatione^x =−16 n’a pas de solution.

Propriétés :

Soitbun réel strictement positif.

(1)l n(e^b)=b (2)e^{l n(b)}=b

Remarques :

l n(e⁰) =l n(1) = 0 l n(e¹) =l n(e) = 1

Exemples : a)l n¡

e⁹¢

=9 b)l n¡ e^4.5¢

=4.5 c)e^{l n(3)}=3 d)e^{l n(0.7)}=0.7

(2)

II) Étude de la fonction logarithme népérien

1) Définition de la fonction logarithme népérien Définition :

La fonction logarithme népérien notéel nest la fonction qui , à tout réelx> 0 associel n(x) . Écrit autrement, on a :

l n : ]0;+∞[ → R

x 7→ l n(x)

2) Dérivabilité

Propriété (admise) :

La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0;+∞[.

Pour tout réelx>0, sif(x) =l n(x) alors f^′(x)= 1 x. Exemples :

a) Soitf une fonction définie sur ]0;+∞[ parf(x)=6x+l n(x)+4.

Donner la dérivée de f puis donner son tableau de variation.

Résolution :

f est dérivable sur ]0;+∞[ comme somme de fonctions dérivables. Pour toutxde ]0;+∞[ on a : f^′(x)=6+1

x f^′(x)=6x

x +1 x f^′(x)=6x+1

x Déterminons le tableau de variation de la fonctionf.

0 est la valeur interdite

6x+1=0

⇔6x= −1

⇔x=−1 6

x Signe de

6x+1 Signe de x Signe de f^′(x) Variation

de f

0 +∞

+ + +

b) Soitg une fonction définie sur ]0;+∞[ parg(x)=l n(x)(3x+5). Donner la dérivée deg. Résolution :

g est dérivable sur ]0;+∞[ comme produit de fonctions dérivables. Pour toutxde ]0;+∞[ on a : u(x)=l n(x)

u^′(x)=1 x

v(x)=3x+5 v^′(x)=3 g^′(x)=1

x×(3x+5)+l n(x)×3 g^′(x) 3x+5

3l n(x)

(3)

3) Sens de variation et signe

Propriété admise :

La fonction logarithme népérienx7→l n(x) est strictement croissante sur ]0;+∞[

Exemples : Comparaison de nombres a) Comparerl n(4) etl n(5).

On sait que 4<5 doncl n(4)<l n(5) puisque la fonctionl nest strictement croissante sur ]0;+∞[.

b) Comparerl n¡p 14¢

etl n¡p 3¢

. On sait quep

3<p

14 doncl n¡p 3¢

<l n¡p 14¢

puisque la fonctionl nest strictement croissante sur ]0;+∞[.

Six∈]0;1[ alorsl n(x)<0.

Six∈[1;+∞[ alorsl n(x)>_0.

Tableau de signes :

x signe de

l n(x)

0 1 +∞

− 0 +

Exemples :

a)l n(0.5)≈ −0.6931<0 car 0.5∈]0;1[ b)l og(1.5)≈0.4055>0 car 1.5∈]1;+∞[ 4) Limites

Propriété (admise) :

xlim→0l n(x)= −∞ lim

x→+∞l n(x)= +∞

(4)

III) Propriétés algébriques du logarithme népérien

Pour tous nombres réels strictement positifsaetb,

l n(a×b) =l n(a)+l n(b)

Exemples :

a)l n(6)=l n(3×2)=l n(3)+l n(2) b)l n(5)+l n(2)=l n(5×2)=l n(10)

Propriétés :

aetbsont deux réels strictement positifs etnest un entier relatif.

l n(aⁿ)=nl n(a) l n

µ1 a

¶

= −l n(a) l n³a

b

´

=l n(a)−l n(b)

2⁶¢

=6l n(2) b)l n

µ1 5

¶

=−l n(5) c)l n

µ3 7

¶

=l n(3)−l n(7)

Exemples : Simplifier les expressions suivantes : d)l n¡

2³×10⁴¢

=l n¡ 2³¢

+l n¡ 10⁴¢

= 3l n(2) +l n¡ 10⁴¢

= 3l og(2) + 4l n(10)

e)l n(12)−l n(4)+7l n(3)

=l n µ12

4

¶

+7l n(3)

=l n(3)+7l n(3)

= 8l og(3)

f) Soitxstrictement positif.

l n(11x) +l n µ1

x

¶ +l n¡

3x¹²¢

−l n(3)

=l n(11)+l n(x)+l n µ1

x

¶ +l n¡

3x¹²¢

−l n(3)

=l n(11)+l n(x)−l n(x) +l n¡ 3x¹²¢

−l n(3)

=l n(11)+l n¡ 3x¹²¢

−l n(3)

=l n(11)+l n µ3x¹²

3

¶

=l n(11)+l n¡ x¹²¢

=l n(11)+12l n(x)

(5)

Soitaun nombre réel strictement positif. Pour tout nombre réelx: l n(a^x)=xl n(a)

17^1.5¢

=1.5l n(17) b)Exprimer l’expression suivante

en fonction del n(7) etl n(2) l n¡

7^8.8¢

+l n(14)

=8.8l n(7)+l n(14)

=8.8l n(7)+l n(7×2)

=8.8l n(7)+l n(7)+l n(2)

=9.8l n(7)+l n(2)

IV) Résolutions d’équations et d’inéquations

Propriétés admises :

1) Pour tout réelbstrictement positif et tout réela,

l n(b)=a⇔b=e^a l n(b)<a⇔b<e^a

2) Pour tous réelsaetbstrictement positifs.

l n(a)=l n(b)⇔a=b l n(a)<l n(b)⇔a<b

Exemples : Résoudre des équations de la formea^x=betx^a=b: 8^x=24

⇔l n(8^x)=l n(24)

⇔xl n(8)=l n(24)

⇔x=l n(24) l n(8)

2×3^x=34

⇔3^x=34 2

⇔3^x=17

⇔l n(3^x)=l n(17)

⇔xl n(3)=l n(17)

⇔x=l n(17) l n(3)

x⁴=18

⇔l n¡ x⁴¢

=l n(18)

⇔4l n(x)=l n(18)

⇔l n(x)=l n(18) 4

⇔e^{l n(x)}=e^{l n(18)}⁴

⇔x=e^{l n(18)}⁴ Exemples : Résoudre des équations de la formea^x<betx^a<b:

15^x<30

⇔l n(15^x)<l n(30)

⇔xl n(15)<l n(30)

⇔x<l n(30) l n(15) S =

¸

−∞; l n(30) l n(15)

·

0.65^x6₇₈₆₀

⇔l n(0.65^x)6_{l n(7860)}

⇔xl n(0.65)6l n(7860) Attention :l n(0.65)<0

⇔x>^{l n(7860)} l n(0.65)

S =

·l n(7860) l n(0.65) ;+∞

·

x^5.76₄₅₆

⇔l n¡ x^5.7¢

6_{l n(456)}

⇔5.7l n(x)6l n(456)

⇔l n(x)6^{l n(456)} 5.7

⇔e^{l n(x)}6e^{l n(456)}^5.7

⇔x6e^{l n(456)}^5.7 S =

i0 ;e^{l n(456)}^5.7 i

(6)

Exemples : Résoudre des équations de la formee^x=b: e^x=3

⇔l n(e^x)=l n(3)

⇔x=l n(3) S ={l n(3)}

e^2x⁺⁸=8

⇔l n(e^2x⁺⁸)=l n(8)

⇔2x+8=l n(8)

⇔2x=l n(8)−8

⇔x=l n(8)−8 2 S =

½l n(8)−8 2

¾

Exemples : Résoudre des inéquations de la formee^x<b: e⁻^6x⁺⁴<14

⇔l n(e⁻^6x⁺⁴)<l n(14)

⇔ −6x+4<l n(14)

⇔ −6x<l n(14)−4

⇔x>l n(14)−4

−6 S =

¸l n(14)−4

−6 ;+∞

·

e^3x⁺¹6163

⇔l n(e^3x⁺¹)6l n(163)

⇔3x+16_{l n(163)}

⇔3x6_{l n(163)}₋₁

⇔x6^{l n(163)}⁻¹ 3 S =

¸

−∞; l n(163)−1 3

·

Exemples : Résoudre des équations de la formel n(x)=b: l n(x)=7

⇔e^{l n(x)}=e⁷

⇔x=e⁷ S ={e⁷}

2l n(x)=98

⇔l n(x)=98 2

⇔l n(x)=49

⇔e^{l n(x)}=e⁴⁹

⇔x=e⁴⁹ S ={e⁴⁹}

Exemples : Résoudre des équations de la formel n(x)<b: Résolvons l’inéquationl n(x)−1<24 sur ]0;+∞[

l n(x)−1<24

⇔l n(x)<24+1

⇔l n(x)<25

⇔e^{l n(x)}<e²⁵

⇔x<e²⁵ S =¤

0 ;e²⁵£

Résolvons l’inéquation−8l n(x)+56253 sur ]0;+∞[

−8l n(x)+56₂₅₃

⇔ −8l n(x)6₂₅₃₋₅

⇔ −8l n(x)6₂₄₈

⇔l n(x)6²⁴⁸

−8

⇔l n(x)>₋31

⇔e^{l n(x)}>e⁻³¹

⇔x>e⁻³¹ S =£

e⁻³¹;+∞£