I nt egrales impropres ´

M ath ematiques ´ - ECS1

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I nt egrales impropres ´

Lyc´eeLaBruyere` 30avenue deParis 78000 Versailles

2013, Polycopié du cours de mathématiques de première année.c

27.1 Objectifs

Intégration sur un intervalle semi-ouvert.

Convergence de l’intégrale d’une fonction continue sur [a,b[ (−∞<a<b6+∞).

On dira que Z b

a

f(t) dtconverge si lim

x→b

Z x a

f(t) dt existe et est finie.

On pose alors Z b

a

f(t)dt=lim

x7→b

Z x a

f(t)dt.

Règles de calcul sur les intégrales convergentes, li- néarité, relation de Chasles, positivité, inégalités.

Cas d’une fonction continue, positive sur [a,b[ et d’intégrale nulle.

Les techniques de calcul (intégration par parties, changement de variables non affine) seront prati- quées sur des intégrales sur un segment.

Cas des fonctions positives. L’intégrale

Z b a

f(t) dtconverge si et seulement si x7→

Z x a

f(t) dtest majorée sur [a,b[.

Théorèmes de convergence pour f etg positives au voisinage deb, dans les cas où f 6get f ∼_bg.

Théorèmes admis.

Définition de la convergence absolue.

La convergence absolue implique la convergence. On remarquera que toute fonction continue est la différence de deux fonctions continues positives.

Théorèmes de convergence dans le cas f =o(g) avec gpositive au voisinage deb.

Théorème admis.

Extension des notions précédentes aux intégrales sur un intervalle quelconque.

Brève extension aux fonctions définies et conti- nues sur ]a₁,a₂[∪]a₂,a₃[∪ · · · ∪]ap−1,a_p[.

Convergence des intégrales Z ₊∞

1

dt t^α,

Z b a

dt (t−a)^α et Z ₊∞

0

e^−αtdt.

27.2 Rappels d’intégration

Primitives usuelles.

Notation: si f est continue sur un intervalleI alors Z

f(t) dtdésigne la valeur ent de l’une quelconque des primitives de f. La lettreCdésigne une constante arbitraire.

2

27.2 Rappels d’intégration ³

Z

e^αt dt = e^αt

α +C (α,0) I=R

Z

t^α dt = t^α+1

α+1 +C (α,−1) I=]0,+∞[

Z 1

1+t² dt = Arctant +C I=R

Z

cos(αt) dt = sin(αt)

α +C (α,0) I=R

Z

sin(αt) dt = −cos(αt)

α +C (α,0) I=R

Z 1

cos²t dt = tant +C I=

−π 2 +kπ,π

2 +kπ ,k∈Z Z

tant dt = −ln|cost| +C I=

−π 2 +kπ,π

2 +kπ ,k∈Z Z 1

t dt = ln|t| +C I=]− ∞,0[ ou ]0,+∞[

Z 1

1−t² dt = ¹₂ln

1+t 1−t

+C I=]− ∞,−1[ ou ]−1,1[ ou ]1,+∞[

Z

lntdt = tlnt−t +C I=]0,+∞[

Formes usuelles à connaître.

Z

u⁰(t)u(t)ⁿ dt = u(t)ⁿ⁺¹

n+1 +C (n,−1)

Z u⁰(t)

u(t)² dt = − 1

u(t) +C

Z u⁰(t)

u(t) dt = ln(|u(t)|) +C

Z u⁰(t)

u(t)ⁿ dt = − 1

(n−1)u(t)ⁿ⁻¹ +C (n,1) Z u⁰(t)

2√

u(t) dt = √

u(t) +C

Z

u⁰(t) cos(u(t)) dt = sin(u(t)) +C Z

u⁰(t) sin(u(t)) dt = −cos(u(t)) +C Z

u⁰(t) e^u(t) dt = e^u(t) +C Z u⁰(t)

1+u(t)² dt = Arctan u(t) +C Z

u⁰(t)f(u(t)) dt = F(u(t)) +C Fest une primitive de f

27.3 Intégrales impropres

27.3.1 Cas des fonctions définies sur un intervalle semi-ouvert

Définition 1. Soitaun réel et f une fonction continue sur un intervalle [a,b[ oùbest soit un réel strictement plus grand quea, soit+∞.

On dit que l’intégrale de f est convergente sur [a,b[ si Z x

a

f(t) dtpossède une limite finie lorsquextend versbpar valeurs inférieurs.

Dans ce cas, on pose Z b

a

f(t) dt=lim

x→b

Z x a

f(t) dt.

Lorsque Z x

a

f(t) dt ne possède pas de limite finie lorsque x tend vers b, on dit que l’intégrale de f est divergente.

L’intégrale Z b

a

f(t) dtest appelée intégrale impropre et le pointbest dit point d’impro- priété.

Remarque1.La définition de la convergence de l’intégrale Z b

a

f(t) dtest analogue dans le cas où la fonction f est continue sur l’intervalle semi-ouvert]a,b].

27.3 Intégrales impropres ⁵

Exemple 1.

Z ₊∞ 1

1

t⁴ dt Exemple 2.

Z ₊∞ 1

lnt t dt Exemple 3.

Z ₊∞ 0

1

1+t² dt Exemple 4.

Z ₊∞ 0

t 1+t² dt Exemple 5.

Z ^π₂

0

tan²xdt Exemple 6.

Z ₊∞ 0

e^−tdt

Proposition 1. Soitλ∈R. L’intégrale

Z ₊∞ 0

e^−λtdt converge si et seulement siλ >0.

Proposition 2. On suppose que f est continue sur un intervalle[a,b[avecune extrémité b finieet que f possède une limite finie en b. La fonction f se prolonge par continuité en une fonction f continue surˆ [a,b].

L’intégrale Z b

a

f(t) dt est alors convergente sur[a,b[et on a l’égalité Z b

a

f(t) dt=Z b a

fˆ(t) dt

On dit alors quel’intégrale Z b

a

f(t) dt est faussement impropre.

Exemple 7.

Z 1 0

sint

t dt Exemple 8.

Z 2 1

t−1 lnt dt Convergence des intégrales de Riemann .Soitα∈R.

(1) L’intégrale Z ₊∞

1

1

t^α dt converge si et seulement siα >1 (2) L’intégrale

Z b a

1

(t−a)^α dt converge si et seulement siα <1 (3) L’intégrale

Z b a

1

(t−b)^α dt converge si et seulement siα <1 (4) L’intégrale

Z −1

−∞

1

|t|^α dt converge si et seulement siα >1

En particulier, l’intégrale Z 1

0

1

t^α dtconverge si et seulement siα <1

Remarque2.Contrairement au cas des séries, il n’est pas nécessaire que f tende vers0en +∞pour que l’intégrale

Z ₊∞

f(t) dtconverge.

De même, le fait que la fonction f ne tende pas vers0en+∞ne suffit pas pour affirmer la divergence de l’intégrale

Z ₊∞

f(t) dt.

Reste d’une intégrale convergente .Soit f une fonction continue sur un intervalle [a,b[telle que l’intégrale

Z b a

f(t) dt soit convergente.

L’intégrale (convergente) Z b

x

f(t) dt est appelée reste de l’intégrale Z b

a

f(t) dt.

Proposition 3. Soit f une fonction continue sur un intervalle[a,b[telle que l’intégrale Z b

a

f(t) dt soit convergente. Alors : limx→b

Z b x

f(t) dt=0

Proposition 4. Soit f une fonction continue sur un intervalle[a,b[et F une primitive de f sur[a,b[.

L’intégrale Z b

a

f(t) dt converge si et seulement si F possède une limite finie en b et dans ce cas

Z b a

f(t) dt=lim

x→bF(x)−F(a)

Remarque3.Tous ces résultats s’adaptent, bien entendu, au cas des fonctions continues sur un intervalle de la forme]a,b].

Exercice1.Nature (et valeur si possible) de l’intégrale Z 1

0

lntdt.

Exercice2.Nature (et valeur si possible ) de l’intégrale Z 2

1

1 tlnt dt.

27.3.2 Cas des fonctions définies sur un intervalle ouvert

Définition 2. Soita,b,ctrois réels tels quea <c <bet f une fonction continue sur ]a,b[.

On dit que l’intégrale de f est convergente sur ]a,b[ si les intégrales Z b

c

f(t) dt et Z c

a

f(t) dtsont simultanément convergentes.

On pose alors Z b

a

f(t) dt=Z c a

f(t) dt+Z b c

f(t) dt

27.4 Propriétés ⁷

Remarque4.La définition précédente ne dépend pas du choix du pointcentreaetb.

Proposition 5. Soit f une fonction continue sur un intervalle]a,b[et F une primitive de f sur]a,b[.

L’intégrale Z b

a

f(t) dt converge si et seulement si F possède des limites finies en a et b et dans ce cas

Z b a

f(t) dt=lim

x→bF(x)−lim

x→aF(x)

Exemple 9.

Z ₊∞

−∞

1 1+t² dt

27.3.3 Cas des fonctions définies sur une union d’intervalles ouverts

Définition 3. Soit f une fonction continue sur une union d’intervalles de la forme ]a,a1[∪]a1,a2[∪ · · · ∪]an−2,an−1[∪]an−1,b[ où−∞ 6 a = a0 < a1· · · < an−1 < b = an6+∞.

On dit que l’intégrale Z b

a

f(t) dtest convergente si chacune des intégrales Z a_k+1

a_k

f(t) dt est convergente. Dans ce cas, on pose

Z b a

f(t) dt=

n−1

X

k=1

Z a_k+1 a_k

f(t) dt

Exemple 10. Nature de l’intégrale Z +∞

0

lnt t²−1 dt.

27.4 Propriétés 27.4.1 Linéarité

Proposition 6. On suppose que−∞6a <b 6+∞et que f et g sont deux fonctions continues sur l’intervalle[a,b]privé d’un nombre fini de points.

Si les intégrales Z b

a

f(t) dt et Z b

a

g(t) dt sont convergentes alors quelque soient les réels λetµ, on a

Z b a

(λf(t)+µg(t)) dt=λZ b a

f(t) dt+µZ b a

g(t)) dt

Remarque5.Si parmi les intégrales Z b

a

f(t) dtet Z b

a

g(t) dt, l’une est convergente et l’autre est divergente alors l’intégrale

Z b a

(f(t)+g(t)) dtest divergente.

Remarque6.Si les intégrales Z b

a

f(t) dtet Z b

a

g(t) dtsont divergentes alors on ne peut rien dire quant à la nature de l’intégrale

Z b a

(f(t)+g(t)) dt.

Corollaire 7. L’ensemble des fonctions f continues sur un intervalle]a,b[privé d’un nombre fini de points telles que l’intégrale

Z b a

f(t) dt soit convergente est unR-espace vectoriel et l’application f 7→

Z b a

f(t) dt est une forme linéaire sur cet espace.

27.4.2 Relation de Chasles

Proposition 8. On suppose que−∞6a<b6+∞et que f une fonction continue sur l’intervalle]a,b[privé d’un nombre fini de points et c∈]a,b[.

Si l’intégrale Z b

a

f(t) dt est convergente alors il en va de même des intégrales Z c

a

f(t) dt et Z b

c

f(t) dt et de plus Z b

a

f(t) dt=Z c a

f(t) dt+Z b c

f(t) dt

Remarque7.Attention à l’hypothèsec∈]a,b[, nécessaire pour obtenir la convergence des deux intégrales.

27.4.3 Positivité et stricte-positivité

Proposition 9. On suppose que−∞6a<b6+∞et que f est une fonction continue sur l’ intervalle]a,b[privé d’un nombre fini de points telle que l’intégrale

Z b a

f(t) dt converge.

Si f est positive sur l’intervalle]a,b[privé d’un nombre fini de points alors Z b

a

f(t) dt>

0.

Corollaire 10. On suppose que−∞ 6a <b 6+∞et que f et g sont deux fonctions continues sur l’intervalle]a,b[privé d’un nombre fini de points telles que les intégrales Z b

a

f(t) dt et Z b

a

g(t) dt soient convergentes.

Si f 6 g sur ]a,b[ sauf peut-être en un nombre fini de points alors Z b

a

f(t) dt 6 Z b

a

g(t) dt

27.5 Critères de convergences pour les fonctions positives ⁹

Proposition 11. On suppose que−∞6a<b6+∞et que f est une fonction continue sur l’ intervalle]a,b[privé d’un nombre fini de points a1,a2, . . . ,antelle que l’intégrale Z b

a

f(t) dt converge.

Si f est positive sur l’intervalle]a,b[privé des points a1,a2, . . . ,anet si Z b

a

f(t) dt=0 alors f est nulle sur l’intervalle]a,b[privé des points a1,a2, . . . ,an.

27.5 Critères de convergences pour les fonctions positives

Les critères ci-dessous sont énoncés pour des fonctions continues sur un intervalle de la forme [a,b[ donc pour des intégrales admettant une seule impropriété enb.

Il est aisé d’étendre ces critères aux intégrales admettant une impropriété en leur borne inférieure, puis aux intégrales admettant un nombre fini d’impropriété.

Théorème .Soit f une fonction continue etpositivesur un intervalle[a,b[.

L’intégrale Z b

a

f(t) dt converge si et seulement si x7→

Z x a

f(t) dt est majorée sur[a,b[.

27.5.1 Critère de convergence par inégalité

Proposition 12. Soient f et g deux fonctions continues sur l’intervalle[a,b[telles que 06 f 6g sur[a,b[.

(1) Si Z b

a

f(t) dt diverge alors Z b

a

g(t) dt diverge.

(2) Si Z b

a

g(t) dt converge alors Z b

a

f(t) dt converge.

Exemple 11.

Z ₊∞ 1

cos²t

t² dt Exemple 12.

Z ₊∞ 0

√ 1

1+ e^t dt Exemple 13.

Z ^π₂

0

1

sint dt Exemple 14.

Z ₊∞ 0

e^−t2dt

27.5.2 Critère de convergence par équivalents

Proposition 13. Soient f et g deux fonctions continues etpositivessur l’intervalle[a,b[.

Si f(x)∼

(b)g(x)alors les intégrales Z b

a

f(t) dt et Z b

a

g(t) dt sont de même nature.

Remarque8.Si f etgsont continues sur une union de la forme[a,b[∪]b,c]alors la com- paraison doit être faite en étudiant séparément les comportements à gauche et à droite de b.

Exemple 15.

Z ^π₂

0

ln(sint) dt Exemple 16.

Z 2 0

√ 1

|x(x−1)|dt

27.6 Cas des fonctions de signe quelconque

Définition 4. Soit f une fonction continue sur un intervalle ]a,b[ privé d’un nombre fini de points.

On dit que l’intégrale Z b

a

f(t) dt converge absolument si l’intégrale Z b

a

|f(t)|dt est convergente

Théorème .Si l’intégrale Z b

a

f(t) dt converge absolument alors Z b

a

f(t) dt converge.

Proposition 14. Si l’intégrale Z b

a

f(t) dt converge absolument alors

Z b

a

f(t) dt 6

Z b a

|f(t)|dt

Exemple 17.

Z ₊∞ 1

cost t² dt

Remarque9.Il existe des intégrales convergentes non absolument convergentes. Par exemple : Z ₊∞

0

sint t dt

Exercice3.Extrait EML 2003.

(1) (a) Montrer, pour tout réelx∈[1;+∞[:

x

Z

1

sint

t dt=cos 1−cosx

x −

x

Z

1

cost t² dt.

(b) En déduire que l’intégrale Z ₊∞

0

sint

t dtest convergente.

(2) (a) Montrer, pour tout réelt∈[0;+∞[: |sint|>sin²t=1

2(1−cos(2t)).

(b) Montrer que l’intégrale

+∞

Z

1

cos(2t)

2t dtconverge.

(c) Déduire des deux questions précédentes que l’intégrale Z ₊∞

0

sint

t dtn’est pas absolument convergente.

27.7 Techniques de calcul ¹¹

27.6.1 Critère de convergence paro

Proposition 15. Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle[a,b[.

On suppose que g est positive au voisinage de b et que f =o(g)au voisinage de b.

Si Z b

a

g(t) dt converge alors Z b

a

f(t) dt converge (absolument).

Exercice 4.Montrer que pour tout entiern ∈ N, l’intégrale Z ₊∞

0

tⁿe^−tdtest conver- gente.

27.7 Techniques de calcul 27.7.1 Intégration par parties

Pour calculer une intégrale impropre Z b

a

f(t)g⁰(t) dton peut réaliser une intégration par parties sur le segment [a,x] (en revenant à des intégrales définies), puis étudier les limites quand on fait tendrexversb.

Proposition 16. Soit f et g deux fonctions de classeC¹sur un intervalle[a,b[.

On suppose que f(x)g(x)possède une limitefinieen b. Alors les intégrales impropres Z b

a

f(t)g⁰(t) dt et Z b

a

f⁰(t)g(t) dt sont de même nature, et en cas de convergence, on a Z b

a

f(t)g⁰(t) dt=lim

x→bf(x)g(x)− f(a)g(a)− Z b

a

f⁰(t)g(t) dt.

Exercice5.Pour tout entiern∈N, on poseΓ(n)=Z ₊∞ 0

tⁿe^−tdt.

Montrer queΓ(n+1)=nΓ(n)puisΓ(n)=!

Exercice6.A l’aide d’une intégration parties, montrer que l’intégrale suivante I=Z 1

0

ln(1−x²) x² dx converge et calculer sa valeur.

Exercice7.Pourn∈Neta>0on pose In(a)=Z ₊∞

0

e^−ax(sinx)ⁿdx.

Etablir une relation de récurrence entreIn(a)etIn−2(a).

En déduire le calculIn(a).

Exercice8.Extrait EML, 2006

(1) Justifier, pour toutn∈N: tⁿe^−t2 = o

(+∞)

1 t²

. (2) Montrer que, pour toutn∈N, l’intégrale

Z ₊∞

−∞

tⁿe^−t2dtest convergente.

(3) En déduire que, pour tout polynôme P de R[X], l’intégrale Z ₊∞

−∞

P(t) e^−t2dt converge.

On admet dans tout le problème : Z ₊∞

−∞

e^−t2dt= √ π.

On note, dans tout le problème, pour toutn∈N:In=Z ₊∞

−∞

tⁿe^−t2dt.

(4) Établir, à l’aide d’une intégration par parties, pour toutn∈N: In+2= n+1 2 In. (5) Montrer, pour toutp∈N: I2p+1=0.

Montrer, pour toutp∈N: I2p= (2p)!

2^2pp!

√π.

27.7.2 Changement de variable

Proposition 17. Soit f :]a,b[−→ R une fonction continue etϕ :]α, β[−→]a,b[ une fonction de classeC¹bijective.

Les intégrales Z b

a

f(t) dt et Z β

α f(ϕ(t))ϕ⁰(t) dt sont de même nature et en cas de conver- gence :

• Z b

a

f(t) dt=Z β

α f(ϕ(t))ϕ⁰(t) dt siϕest strictement croissante,

• Z b

a

f(t) dt=− Z β

α f(ϕ(t))ϕ⁰(t) dt siϕest strictement décroissante.

Exercice 9.A l’aide d’un changement de variable, montrer que les intégrales I = Z ₊∞

0

1

1+x⁴ dxetJ=Z ₊∞ 0

x²

1+x⁴ dxsont égales et les calculer grace au changement de variablex= e^t.

27.8 Exercices.

Utilisation de la définition

27.8 Exercices. ¹³

Exercice10. Etudier la nature des intégrales impropres suivantes et calculer la valeur de celles dont vous êtes assuré de leur convergence.

(a) Z ^π₂

0

1 cos²x dx (b)

Z ₊∞ 0

x 1+x² dx (c)

Z ^π₂

−^π₂

sinx

√cosx dx (d)

Z ₊∞ 2

1 x−1 dx (e)

Z 2 1

1

x(lnx)ⁿ dxoùn∈N^∗ (f)

Z ₊∞ 1

(lnx)ⁿ

x dxoùn∈N^∗ (g)

Z ₊∞ 0

1

(x+1)(x+2) dx

(h) Z ^π₂

0

1 sinxcosxdx (i)

Z 1 0

√1

1−xdx (j)

Z 1 0

lnxdx (k)

Z ^π₂

0

tanxdx (l)

Z ₊∞ 0

1 x²−x+1 dx (m)

Z ₊∞ 0

e⁻

√x

√ x dx (n)

Z ₊∞ 0

xe^−x2dx

Utilisation des critères de comparaison

Exercice11. Etudier la nature des intégrales impropres suivantes en utilisant les critères de comparaison (on ne demande pas la valeur des intégrales) :

(a) Z ₊∞

0

e⁻

√xdx

(b) Z 2

1

x (x−1)¹³ dx (c)

Z ₊∞ 1

sin(lnx) dx (d)

Z ₊∞ 0

lnx x²−1 dx (e)

Z ₊∞ 0

xsinx x²+x+xdx (f)

Z ₊∞ 0

xlnx−sinx 1+x² dx (g)

Z ₊∞ 0

√x e^1x

dx (h)

Z ₊∞ 0

1 ln²xdx (i)

Z ₊∞

−∞

ln(1+x²) 1+x² dx

(j) Z 1

0

√x ln(1−x) dx (k)

Z ₊∞ 0

ln(x+x²) (1+x²)√

xdx (l)

Z 1 0

|lnx|^α 1−x² dx (m)

Z ₊∞ 0

x² lnx dx (n)

Z 1 0

ln(sinx)

x dx

(o) Z ₊∞

0

lnx (1+x)√

xdx (p)

Z ₊∞ 0

ln²x

√x dx (q)

Z 1 0

1− e^1−x lnx dx (r)

Exercice12. Pour quelles valeurs dea, l’intégrale Z ₊∞

0

1

1+x^a dxconverge-t-elle ?

Exercice13. Pour quelles valeurs dea, l’intégrale Z ₊∞

0

x^ae^−xdxconverge-t-elle ?

Exercice14. Pour quelles valeurs dea, l’intégrale Z ₊∞

−∞

e^−ax

1+ e^x dxconverge-t-elle ?

Utilisation des formules d’intégration par parties et du changement de variable

Exercice15. A l’aide d’un intégration parties, établir la convergence et calculer la valeur de l’intégrale

I=Z ₊∞ 0

ln 1+ 1 x²

! dx

Exercice 16. A l’aide du changement de variablet = tanx, montrer que l’intégrale Z ^π₂

0

√

tanxdxconverge.

Exercice 17. A l’aide d’une intégration parties, établir la convergence et calculer la valeur de l’intégrale

I=Z 1 0

ln(1−x²) x² dx

Exercice18. Etablir la convergence et calculer la valeur de l’intégrale I=Z ₊∞

0

1 (1+x²)² dx.

On pourra commencer par écrire la trivialité 1=1+x²−x².

Exercice 19. A l’aide du changement de variable 2− x = u², calculer l’intégrale Z 2

0

lnx

√

4−2xdxaprès avoir établi sa convergence.

Exercice20. Montrer que l’intégraleI =Z 1 1

√ 1

(x+1)(x−1) dxconverge et la calcu- ler.

27.8 Exercices. ¹⁵

En déduire l’intégraleI=Z b a

√ 1

(x−a)(x−b)dx

Exercice21. Montrer que les intégrales Z ^π₂

0

ln(sinx) dxet Z ^π₂

0

ln(cosx) dxsont conver- gentes et les comparer.

Montrer que 2I=Z ^π₂

0

ln sin 2x 2

!

dxet en déduire la valeur deI

Exercice22. Pour tout couple (p,q) d’entiers naturels, on poseI(p,q)=Z 1 0

x^pln^qxdx.

Montrer queI(p,q) est convergente puis, en utilisant une intégration parties, déterminer une relation entreI(p,q) etI(p,q−1) et calculerI(p,q).

Exercice23. On se propose de calculer la valeur de Z ₊∞

0

1 1+x³ dx.

(a) Montrer que Z ₊∞

0

1

1+x³ dxconverge (b) Déterminera,b,ctels que pour toutu,−1,

1

1+u³ = a

1+u + bu+c u²−u+1 (c) Calculer la valeur de

Z ₊∞ 0

1 1+x³ dx.

Exercice24. On se propose de calculer la valeur de Z ₊∞

1

x³lnx (1+x⁴)³ dx.

(a) Déterminera,b,ctels que pour toutu<{−1,0}, 1

u(1+u)² = a u+ b

1+u+ c (1+u)²

(b) A l’aide d’une intégration par parties et d’un changement de variable, montrer que l’intégrale

Z ₊∞ 1

x³lnx

(1+x⁴)³ dxconverge et calculer sa valeur.

Exercice25. On se propose de calculer la valeur de Z ^π₄

0

cosxln(tanx) dx.

(a) Déterminera,btels que pour toutu<{−1,1}, 1

1−u² = a

1−u + b 1+u

(b) A l’aide du changement de variableu=sinx, calculer l’intégrale Z ^π₄

0

1 cosxdx.

(c) Etablir la convergence et la valeur de l’intégrale Z ^π₄

0

cosxln(tanx) dx.

Exercice 26. L’intégrale Z ₊∞

0

lnx (1+x)√

xdx est convergente. En comparant les intégrales

Z ₊∞ 1

lnx (1+x)√

xdx et Z 1

0

lnx (1+x)√

xdx, déterminer la valeur de Z ₊∞

0

lnx (1+x)√

xdx.

Exercice27. On posef(x)=Z x 0

ln(cost) dt.

(a) Montrer que :∀u∈]0,1[, |lnu|6 1

√u (b) En déduire que f(x) est défini pour 06x6 π

2. (c) Etablir la continuité de f sur

0,π 2

et montrer qu’elle est de classeC¹sur 0,π

2

(d) Démontrer que pour toutx∈ 0,π

2

, f(x)=xln 2+2f(π

4 +x

2)−2f(π 4 −x

2) (e) En déduire la valeur de

Z ^π₂

0

ln(cost) dt.

Exercice28. Pour toutn∈N^∗, on poseu_n=Z (n+1)π nπ

|sint|

t dt.

(a) Déterminer limun, puis donner un équivalent deun

(b) Etudier la nature de l’intégrale Z ₊∞

0

|sint|

t dt.

(c) Montrer néanmons que l’intégrale Z ₊∞

0

sint

t dtconverge (on pourra s’aider d’une intégration par parties).

Exercice29. Etudier la nature de l’intégrale Z ₊∞

0

sin( e^x) dx. On pourra utiliser le chan- gement de variableu= e^xet utiliser l’exercice précédent.

27.8 Exercices. ¹⁷

Exercice30. Pour toutn∈N^∗, on poseun=Z 1 0

xⁿlnx

xⁿ−1 dx. Déterminer limun.

Exercice31. Pour toutn∈N^∗, on poseIn=Z +∞ 0

xⁿe^−x

2 2 dx.

(a) Montrer que l’intégraleInest bien définie.

(b) Pour toutn∈N, calculerI_2netI_2n+1. (c) Montrer que, pour toutn∈N^∗:

(i) Z ₊∞

0

xⁿ⁺¹e^−nx

2

2 dx=Z ₊∞

0

xⁿ⁻¹e^−nx

2

2 dx,

(ii) In+1

√nⁿ⁺² − In

√nⁿ⁺¹ = 1 2

Z ₊∞ 0

xⁿ x+1 x−2

! e^−nx

2 2 dx, (iii) et en déduire que 0< √

nI_n <I_n+1. (d) Montrer que pour toutn∈N^∗: 1− 1

2n < √ nπ

_2n

n

4ⁿ <1.

(e) Conclure.

Exercice 32. Cet exercice a pour objet d’établir la valeur de l’intégrale de Gauss : Z +∞

0

e^−t2dt=

√π 2 .

Pour toutx∈Ret toutt∈[0,1], on poseh_t(x)= e^−x2(t2+1)etg(x)=Z 1 0

ht(x) 1+t² dt (a) Montrer que pour toutx∈Ret toutt∈[0,1],|h⁰⁰_t(x)|64(4x²+1) e^−x2616 e⁻³⁴. (b) A l’aide de la formule de Taylor avec reste intégral, montrer que

limu→0

g(x+u)−g(x)

u −

Z 1 0

h⁰_t(x) 1+t² dt

=0 et en déduire quegest dérivable etg⁰(x)=Z 1

0

h⁰_t(x) 1+t² dt.

(c) On pose pour toutx∈R, f(x)= Z x 0

e^−t2dt

!2

. Montrer que f est dérivable surR et que f⁰(x)+g⁰(x)=0.

(d) En déduire la valeur de f(x)+g(x).

(e) Calculer la limite lim

x→+∞g(x) et en déduire que Z ₊∞

0

e^−t2dt=

√π 2

Exercices divers.

Exercice33. Soitb∈R. On poseϕ(x)=(x+b) e^−x.On cherche les fonctions f conti- nues surR⁺solutions du problème :

f(x)=ϕ(x)+Z ∞ 0

ϕ(x+t)f(t) dt.

(a) On poseF1(x) = e^−xetF2(x)= xe^−x. Montrer que (F1,F2) est une famille libre dans l’espace vectoriel des fonctions continues surR⁺.

(b) On noteEl’espace vectoriel engendré parF1etF2etΦ : f ∈E 7→ goùg : x7→

R∞

0 ϕ(x+t)f(t) dt. Montrer queΦest bien définie, puis que c’est un automorphisme deE. On pourra exprimer sa matrice dans la base (F1,F2).

(c) Montrer que si f est continue surR⁺et est solution du problème alors f ∈E.

(d) Déterminer les solutions du problème.

Exercice34. Dans tout l’exercice,f désigne une fonction continue et bornée deR⁺dans Ret (a_n)n∈Nune suite à valeurs dansR^+∗qui converge vers 0.

SoitA∈R⁺; pour toutn∈N, on note :In(A)=Z ₊∞ A

anf(x) a²_n+x² dx.

(a) Etablir l’existence deI_n(A) pour toutn∈N. (b) Pourn∈N, calculer :

Z +∞ 0

an

a²_n+x² dx.

(c) On suppose dans cette question queA>0. Montrer que lim

n→∞I_n(A)=0.

(d) On suppose dans cette question que f(0)=0.

Soitε >0. Montrer qu’il existeA>0 tel que, pour toutn∈N:

Z A 0

anf(x) a²_n+x² dx

6ε En déduire que lim

n→+∞In(0)=0.

(e) On ne suppose plus que f(0)=0. Montrer que l’on a : lim

n→+∞I_n(0)= π 2f(0).

(f) Déterminer la limite de la suite de terme généralun=Z ₊∞ 0

ne⁻

√ t

1+n²t² dt.