I. Définition des intégrales impropres

(1)

CH XVI : Intégrales impropres

I. Définition des intégrales impropres

Définition Soit (a, b)∈R².

• Soit f : [a,+∞[→Rune fonction continue sur [a,+∞[.

× On dit que l’objet Z +∞

a

f(t) dt est uneintégrale impropre en +∞.

× On dit que Z +∞

a

f(t) dtest convergentesi la fonction

F : [a,+∞[ 7→ R

x →

Z x a

f(t) dt admet une limite finie lorsque xtend vers +∞.

Si c’est le cas, la valeur de Z +∞

a

f(t) dt est donnée par : Z +∞

a

f(t)dt = lim

x→+∞

Z x a

f(t) dt

× Dans le cas contraire, on dit que Z +∞

a

f(t) dtdiverge.

• Soit f :]− ∞, b]→Rune fonction continue sur ]− ∞, b].

× On dit que l’objet Z b

−∞

f(t) dt est uneintégrale impropre en −∞.

× On dit que Z b

−∞

f(t) dt convergesi la fonction F : ]− ∞, b] 7→ R

x →

Z b x

f(t)dt admet une limite finie lorsque xtend vers −∞.

Si c’est le cas, la valeur de Z b

−∞

f(t) dtest donnée par : Z b

−∞

f(t) dt = lim

x→−∞

Z b x

f(t) dt

× Dans le cas contraire, on dit que Z b

−∞

f(t) dt diverge.

• Soit f :]− ∞,+∞[→Rune fonction continue sur ]− ∞,+∞[.

× On dit que l’objet Z +∞

−∞

f(t)dtest uneintégrale impropre à la fois en −∞ et +∞.

× On dit Z +∞

−∞

f(t)dtconvergelorsqu’il existec∈Rtel que Z c

−∞

f(t)dt et

Z +∞

c

f(t) dt sont toutes deux convergentes.

Si c’est le cas, la valeur de Z +∞

−∞

f(t) dt est donnée par : Z +∞

−∞

f(t) dt = Z c

−∞

f(t)dt + Z +∞

c

f(t) dt

(2)

× Dans le cas contraire,i.e. si l’une des intégrales impropres Z c

−∞

f(t) dt ou

Z +∞

c

f(t)dt diverge, on dit que Z +∞

−∞

f(t) dt diverge.

Remarque

• MÉTHODO : étude de l’objet Z +∞

a

f(t) dt.

× On introduit Z x

a

f(t) dt qui est une intégrale sur le segment[a, x].

(la fonction f est supposée continue sur [a,+∞[ donc est notamment continue sur[a, x])

× On étudie si Z x

a

f(t)dt admet une limite finie lorsque x→+∞.

• Ainsi, les propriétés des intégrales impropres (étudiées dans ce chapitre) sont déduites des propriétés des intégrales sur un segment (étudiées dans le chapitre précédent) à l’aide, lorsqu’il est légitime, d’un passage à la limite.

Exemple

• L’intégrale impropre Z +∞

1

t dtdiverge.

× Six>1, on a : Z x

1

t dt = t²

2 ^x

1

= x² 2 −1

2 .

× Or x² 2 −→

x→+∞+∞.

0

1 dtdiverge.

0

1 dt = [t]^x

0 = x .

× Orx −→

x→+∞+∞.

1

dt

t diverge.

1

dt

t = [ lnt]^x

1 = lnx .

× Orlnx −→

x→+∞+∞.

1

dt t√

t converge et vaut2.

1

dt t√

t =

"

t⁻¹²

−¹₂

#^x

1

= −2 1

√x + 2 .

× Comme 1

√x −→

x→+∞0, on a : Z +∞

1

dt t√

t = 2.

Penser à faire apparaître les quantités comme des puissances : 1

t√

t =t⁻³²

1

dt

t² converge et vaut1.

× Six>1, on a : Z _x

1

dt t² =

−1 t

^x

1

= −1 x + 1 .

× Comme 1 x −→

x→+∞0, on a : Z +∞

1

dt t² = 1

1

e^−t dt converge et vaut 1 e.

1

e^−t dt =

−e^−t ^x

1 = −e^−x+e⁻¹ .

× Comme e^−x −→

x→+∞0, on a : Z +∞

1

e^−t dt = 1 e

(3)

Remarque

• Considéronsf :R→Rune fonction continue surRtelle que Z +∞

1

f(t)dt converge. Qu’en est-il de

Z +∞

2

f(t) dt? de Z +∞

0

f(t) dt? ou encore de Z +∞

a

f(t) dt avec a∈R?

Toutes ces intégrales sont convergentes. En effet, d’après la relation de Chasles du chapitre intégration sur un segment, on a, pour tout x∈R:

Z x 1

f(t)dt = Z a

1

f(t)dt + Z x

a

f(t) dt

et donc Z x

a

f(t)dt = Z x

1

f(t) dt − Z a

1

f(t) dt

Par hypothèse, Z x

1

f(t) dt admet une limite finie en+∞.

On en déduit que Z x

a

f(t) dt admet aussi une limite finie en +∞ et que cette limite vérifie :

Z +∞

a

f(t)dt = Z +∞

1

f(t) dt − Z a

1

f(t) dt

• Ainsi, la convergence de l’intégrale impropre Z +∞

1

f(t) dt implique la convergence de

Z +∞

a

f(t) dt pour touta∈R.

• La convergence de l’intégrale impropre Z +∞

−∞

f(t) dt ne dépend donc pas de l’élément c apparaissant dans la définition.

II. Calcul des intégrales impropres

On se pose la question ici de savoir comment utiliser les techniques de calcul du chapitre « Intégration sur un segment » dans le but de :

× démontrer qu’une intégrale impropre est convergente,

× la calculer lorsque c’est le cas.

II.1. Primitive à vue : un exemple Exemple

Déterminer la nature de l’intégrale impropre Z +∞

0

e^t

(1 +e^t)² dt.

La fonctionf :t7→ e^t

(1 +e^t)² est continue (notamment) sur[0,+∞[.

On peut donc considérer la fonction :

F : [0,+∞[ → R

x 7→

Z _x

0

f(t) dt primitive sur [0,+∞[de la fonctionf qui s’annule en0.

On fait apparaître une primitive classique en remarquant que pour toutt>0, on a :f(t) =e^t (1 +e^t)⁻². Ainsi :

Z x 0

e^t

(1 +e^t)² dt = Z x

0

e^t (1 +e^t)⁻² dt=

(1 +e^t)⁻¹

−1 ^x

0

= −

(1 +e^t)⁻¹ ^x

0 = 1

2− 1 1 +e^x Or : 1

1 +e^x −→

x→+∞0. On en conclut que Z +∞

0

e^t

(1 +e^t)² dt convergente et : Z +∞

0

f(t) dt = lim

x→+∞

Z x 0

e^t (1 +e^t)² dt

= 1 2

(4)

II.2. Intégration par parties : un exemple Exemple

1

e¹^t t³ dt.

La fonction f :t7→ e¹^t

t³ est continue (notamment) sur [1,+∞[.

F : [1,+∞[ → R

x 7→

Z _x

1

f(t) dt primitive sur [1,+∞[de la fonction f qui s’annule en1.

On procède alors par IPP pour calculer F(x) :

u= 1

t u⁰ =−1 t² v⁰= 1

t² e¹^t v=−e¹^t . On obtient alors :

Z x 1

e¹^t

t³ dt =

"

−e¹^t t

#^x

1

− Z x

1

e¹^t t² dt

= e¹− e¹^x x

!

− h

−e¹^t i^x

1

= e¹−e^x¹ x

!

−

e¹−e¹^x

= e¹^x − e¹^x x Or e^x¹ −→

x→+∞e⁰ = 1. On en conclut que Z +∞

1

f(t) dt est convergente et : Z +∞

1

f(t) dt = lim

x→+∞

Z _x

1

e¹^t t² dt

!

= 1

II.3. Changement de variable : un exemple Exemple

0

dt e^t+ 1. La fonctionf :t7→ 1

e^t+ 1 est continue (notamment) sur [0,+∞[.

F : [0,+∞[ → R

x 7→

Z x 0

f(t) dt primitive sur [0,+∞[de la fonctionf qui s’annule en0.

Posons le changement de variable u=e^t :

u=e^t donc du=e^t dt et dt= du

e^t = du u

• Sit= 0 alorsu=e⁰ = 1

• Sit=x alorsu=e^x Z x

0

dt e^t+ 1 =

Z e^x

1

du u(u+ 1)

= Z e^x

1

1 u − 1

u+ 1

du = Z e^x

1

du u −

Z e^x

1

du u+ 1

= [ lnu ]^e

x

1 −[ ln(u+ 1) ]^e

x

1 = ln

e^x e^x+ 1

+ ln 2

Or e^x

e^x+ 1 = e^x e^x

1

1 +e^−x −→

x→+∞1. Ainsi, Z +∞

0

f(t) dt est convergente et : Z +∞

0

f(t)dt = lim

x→+∞

Z x 0

dt e^t+ 1 dt

= ln 2

(5)

III. Intégrales classiques

Théorème 1.

Soit α∈R. 1)

Z +∞

1

dt

t^α converge ⇔ α >1 (Critère de Riemann)

2)

Z +∞

0

e^−αt dt converge ⇔ α >0

Démonstration.

1) Soit x>1.

Siα= 1 : Z x

1

dt

t = [ lnt ]^x

1 = lnx Comme lnx −→

x→+∞+∞, l’intégrale Z +∞

1

dt

t^α diverge.

Siα6= 1 : Z x

1

dt t^α =

Z x 1

t^−α dt=

t^−α+1

−α+ 1 ^x

1

= x^−α+1

−α+ 1− 1

−α+ 1 Enfin si−α+ 1<0alorsx^−α+1 −→

x→+∞0, et si −α+ 1>0 alorsx^−α+1 −→

x→+∞+∞.

2) Soit x>0.

Siα= 0 : Z x

0

1 dt= [t]^x

0 =x

Comme x −→

x→+∞+∞, l’intégrale Z +∞

0

e^−αt dt diverge.

Siα6= 0 : Z x

0

e^−αt dt= e^−αt

−α ^x

0

=− e^−αx

α − 1 α

= 1

α −e^−αx α Enfin siα >0alors e^−αx −→

x→+∞0, et si α <0 alors e^−αx −→

x→+∞+∞.

Remarque

• La démonstration nous permet de connaître la valeur de ces intégrales (lorsqu’elles convergent) :

Siα >1 alors Z +∞

1

dt t^α = 1

α−1

Siα >0 alors Z +∞

0

e^−αt dt= 1 α

• On peut en déduire un résultat similaire pour la convergence des intégrales impropres

Z +∞

a

dt

t^α pour tout a >0.

• Ainsi qu’un résultat pour la convergence de Z +∞

a

e^−αtdtpour touta∈R.

• La condition importante lorsque l’on change une borne d’un intégrale impropre est de vérifier que la fonction à intégrer reste continue sur le nouvel intervalle d’étude ([a,+∞[en l’occurrence).

(6)

IV. Propriétés des intégrales impropres

On écrira les propriétés suivantes pour les intégrales impropres de type

Z +∞

a

f(t) dt.Évidemment on peut écrire des résultats similaires pour les autres cas.

IV.1. Relation de Chasles Théorème 2.

Soient a∈R etf : [a,+∞[→Rcontinue sur [a,+∞[.

Supposons de plus que : Z +∞

a

f(t) dt converge.

Soit c∈[a,+∞[. Alors on a : 1)

Z +∞

c

f(t) dt converge.

2) De plus, on a :

Z +∞

a

f(t) dt = Z _c

a

f(t) dt + Z +∞

c

f(t) dt

Démonstration.

La démonstration a déjà été faite (cf deuxième remarque du chapitre).

Soitc>aetx>c: Z x

a

f(t) dt = Z c

a

f(t) dt + Z x

c

f(t) dt

et donc Z x

c

f(t) dt = Z x

a

f(t) dt − Z c

a

f(t) dt

Par hypothèse, Z x

a

f(t) dt admet une limite finie en+∞.

On en déduit que Z _x

c

f(t) dt admet aussi une limite finie en+∞ et que : Z +∞

c

f(t) dt = Z +∞

a

f(t) dt − Z c

a

f(t)dt

Remarque

L’hypothèse c > a est importante. Comme f est continue sur [a,+∞[ et c >a, alors f est continue sur le segment [a, c]. Ceci assure que l’intégrale Z c

a

f(t)dt est bien définie.

IV.2. Linéarité Théorème 3.

Soient a∈R etf, g: [a,+∞[→R continues sur [a,+∞[.

Soit (λ, µ)∈R².

a

f(t) dt et Z +∞

a

g(t) dt convergent.

1) Alors : Z +∞

a

(λf+µg)(t) dt converge.

2) De plus, on a : Z +∞

a

(λf+µg)(t) dt = λ Z +∞

a

f(t) dt + µ Z +∞

a

g(t) dt

Démonstration.

On se ramène (encore et toujours !) au cas des intégrales sur un segment.

Soitx>a, alors on a, par linéarité de l’intégrale sur un segment : Z x

a

(λf+µg)(t) dt = λ Z x

a

f(t) dt + µ Z x

a

g(t)dt

Comme F et G admettent des limites en +∞, on en déduit que l’intégrale impropre

Z +∞

a

(λf+g)(t) dt est convergente. Par passage à la limite dans cette égalité, on a de plus :

Z +∞

a

(λf+g)(t)dt = λ Z +∞

a

f(t)dt + µ Z +∞

a

g(t) dt

(7)

IV.3. Positivité Théorème 4.

a

f(t) dt converge.

Et supposons enfin : ∀x∈[a,+∞[, f(x)>0.

1)

Z +∞

a

f(t) dt > 0

2) f > 0 sur [a,+∞[ ⇒

Z +∞

a

f(t) dt > 0

3)

Z +∞

a

f(t) dt = 0 ⇒ f = 0 sur [a,+∞[

Démonstration.

Soitx>a.

1) Par positivité de l’intégrale sur un segment : F(x) = Z x

a

f(t) dt>0.

Il suffit alors de passer à la limite dans cette égalité.

2) Sif 6= 0, alorsF(x) = Z x

a

f(t) dt >0. Le passage à la limite dans cette inégalité ne permet pas de conclure ici (l’inégalité stricte devient large).

Il faut donc être plus précis. Soit c > a. La relation de Chasles fournit : Z +∞

a

f(t) dt =

Z c a

f(t) dt +

Z +∞

c

f(t) dt

                             

>0 >0

La stricte positivité est une nouvelle fois un résultat du chapitre « Inté- gration sur un segment ».

IV.4. Technique de majoration Théorème 5.

Soient a∈R etf, g: [a,+∞[→R continues sur [a,+∞[.

a

f(t) dt et Z +∞

a

g(t) dt convergent.

Et supposons enfin : ∀x∈[a,+∞[, f(x) 6 g(x).

Alors on a :

Z +∞

a

f(t) dt 6 Z +∞

a

g(t) dt

Démonstration.

Soitx>a. Alors on a : F(x) =

Z x a

f(t) dt 6 Z x

a

g(t) dt=G(x)

Et comme F etG admettent une limite en +∞, on peut passer à la limite dans cette inégalité.

IV.5. Convergence absolue Définition

Soit a∈Retf : [a,+∞[→Rcontinue sur[a,+∞[.

• On dit que l’intégrale impropre Z +∞

a

f(t) dt est absolument convergentesi l’intégrale impropre

Z +∞

a

|f(t) | dt converge.

(8)

Théorème 6.

Z +∞

a

f(t) dt est absolument convergente

⇒

Z +∞

a

f(t) dt est convergente

Démonstration.

Notons f⁺ = |f|+f

2 etf⁻ = |f| −f 2 .

× f⁺:x7→max(f(x),0)est la partie positive def.

× f⁻:x7→ −min(f(x),0) = max(−f(x),0)est la partie négative def. Supposons

Z +∞

a

f(t) dt absolument convergente.

• On a : ∀t>a, 0 6 f⁺(t) 6 |f(t)|.

Or Z +∞

a

|f(t)|dtest convergente. Donc, d’après le théorème8, l’intégral impropre

Z +∞

a

f⁺(t) dt est aussi convergente.

• On a : ∀t>a, 0 6 f⁻(t) 6 |f(t)|.

Or Z +∞

a

|f(t)|dtest convergente. Donc, d’après le théorème8, l’intégral impropre

Z +∞

a

f⁻(t) dt est aussi convergente.

Enfin, on a : f = f⁺ −f⁻. On en conclut, par linéarité, que l’intégrale impropre

Z +∞

a

f(t)dt est convergente.

Remarque

Ce résultat n’est pas une équivalence : il existe des intégrales impropres convergentes mais non absolument convergentes. Dans ce cas, on parle parfois de semi-convergence.

• Pour construire un exemple d’intégrale semi-convergente, l’idée est de choi- sir une fonction successivement positive puis négative de sorte qu’un phé- nomène de compensation s’opère :

× sur un intervalle où f est positive, l’aire est comptée positivement.

× sur l’intervalle « suivant », f est négative, l’aire est comptée négative- ment et réduit l’aire précédente.

Représentation graphique d’une intégrale semi-convergente.

0

y=f(x)

1

L’intégrale Z +∞

1

f(t) dt est convergente.

0

y=|f(x)|

1 L’intégrale

Z +∞

1

|f(t)|dtn’est pas convergente.

(9)

IV.6. Inégalité triangulaire Théorème 7.

a

f(t) dt est absolument convergente.

1) Alors : Z +∞

a

f(t) dt est convergente.

2)

Z +∞

a

f(t) dt 6

Z +∞

a

|f(t) | dt

Démonstration.

1) C’est le résultat du théorème 6.

2) On se ramène (encore et toujours !) au cas des intégrales sur un segment.

Soit x>a. Alors on a :

|F(x)| =

Z x a

f(t) dt 6

Z x a

|f(t) | dt

La quantité de droite converge, par hypothèse, vers Z +∞

a

|f(t)|dt.

D’autre part (théorème de composition des limites), on a :

x→+∞lim |F(x)| = | lim

x→+∞F(x)| =

Z +∞

a

f(t) dt (on rappelle que F admet une limite finie en +∞ d’après1))

L’inégalité souhaitée est donc vérifiée par passage à la limite dans l’in- égalité précédente.

Remarque

Globalement, on obtient les mêmes propriétés que sur les intégrales sur un segment. Cependant, notez qu’on supposeTOUJOURSde la convergence pour pouvoir écrire ces propriétés dans le cas des intégrales impropres.

V. Le cas des fonctions continues positives

Remarque préliminaire

• L’intérêt des fonctions continues positives a été souligné dans le chapitre

« Intégration sur un segment ». Lorsque la fonctionf est continue et positive, l’intégrale

Z x a

f(t) dt est l’aire sous la courbeCf entreaetx.

• L’aire sous la courbe entreaet+∞est donc définie comme limite, quand x→+∞, de l’aire sous la courbe de Cf entreaetx.

Représentation graphique des exemples précédents.

0

y= 1 x

1 0

y= 1 x√

x

1

=+∞ = 2

0

y= 1 x²

1 0

y=e^−x

1

=1 = 1

e

(10)

Propriété

Soit a∈R etf : [a,+∞[→Rune fonction continue sur [a,+∞[.

Notons F :x7→

Z x a

f(t)dt.

Supposons de plus :∀x∈[a,+∞[, f(x)>0.

1)

Z +∞

a

f(t) dt converge ⇔ F est majorée 2) SiF est non majorée, lim

x→+∞F(x) = +∞.

Démonstration.

F⁰ = f >0 donc F est croissante sur [a,+∞[. En vertu du théorème de la limite monotone, F admet donc une limite (finie ou non) en+∞. De plus :

× cette limite est finie siF est majorée.

× cette limite est+∞si F non majorée.

Théorème 8.

Soient a∈R etf, g: [a,+∞[→Rdeux fonctions continues sur [a,+∞[.

Supposons de plus : ∀t∈[a,+∞[, 0 6 f(t) 6 g(t).

1) Alors on a : a.

Z +∞

a

g(t) dt converge ⇒

Z +∞

a

f(t) dt converge

b.

Z +∞

a

f(t) dt diverge ⇒

Z +∞

a

g(t) dt diverge 2) De plus, dans le cas de la convergence, on a :

0 6 Z +∞

a

f(t) dt 6 Z +∞

a

g(t) dt

Démonstration.

1) Comme06f 6g, on a (technique de majoration du chapitre précédent) pour tout x>a:

0 6 Z x

a

f(t) dt 6 Z x

a

g(t) dt

q q

0 6 F(x) 6 G(x)

a. Comme Z +∞

a

g(t) dtconverge, la propriété précédente énonce queG est majorée : il existe M ∈Rtel que pour tout x>a, G(x)6M. Et donc, pour toutx>a, on a :

0 6 F(x) 6 G(x) 6 M

La fonction F est elle aussi majorée par M, ce qui démontre que Z +∞

a

g(t) dt converge.

b. Dans ce cas,F(x) −→

x→+∞+∞et ainsiG(x) −→

x→+∞+∞.

2) Inégalité obtenue par passage à la limite dans l’inégalité précédente.

Remarque

• On a démontré précédemment que : Z +∞

1

dt

t² est convergente (et vaut1).

D’autre part, pour tout α>2, on a :∀t∈[1,+∞[, 0 6 1 t^α 6 1

t². Ainsi, pour tout α>2, l’intégrale impropre

Z +∞

1

dt

t^α converge.

• De même, siβ 61, on a :∀t∈[1,+∞[, 0 6 1 t 6 1

t^β. Ainsi, pour tout β61, l’intégrale impropre

Z +∞

1

dt

t^β diverge.

• On démontre ainsi une partie du théorème sur les intégrales de Riemann.

• On retiendra la méthode : on compare f à des fonctions de référence.

(11)

Exercice

Donner la nature des intégrales impropres suivantes.

a) Z +∞

1

t t+√

t dt b)

Z +∞

1

dt e^t+e^−t c)

Z +∞

2

t² ln

t²−1 t²

dt

VI. Conclusion

• Ce chapitre a été présenté hors du chapitre « Intégration sur un segment » : les intégrales impropres ne sont pas des intégrales sur un segment !

• Cependant, le lien entre ces deux chapitres est fort puisque les intégrales impropres se définissent à l’aide des intégrales sur un segment.

• Un exercice portant sur les intégrales impropres peut donc TOUJOURS se ramener à un exercice sur les intégrales sur un segment !

Remarque

Que dire de l’intégrale : Z 1

0

lnt dt?

La fonction t7→lnt est continue sur ]0,1](pas en 0!). On définit ainsi une intégrale impropre en 0. On pourrait définir de même la convergence de ce type d’intégrales. Mais ce type d’objet n’est pas au programme . . .