Feuille 1 de TD. Intégrales généralisées (impropres)

L2 UCBL 2016–2017 Maths 4

Feuille 1 de TD. Intégrales généralisées (impropres)

1. En utilisant la définition, calculer les intégrales suivantes : Z ₁

0 ln x dx, Z ₁

0 e ^°4x dx, Z ₁

0 x ² e ^°x dx.

2. Quelle est la nature (convergentes, divergentes, n’existe pas) des intégrales suivantes ? Z ₁

0 e ^°x

dx, Z ₁

0 x ³ e ^°x dx, Z ₁

1

x ⁵ (x ⁴ + 1) p

x dx, Z _º

0 ln (sin x) dx, Z ₁

2

µ 1 ° cos

µ 1 x

∂∂

dx, Z ₂

0 ln x dx, Z ₁

0 sin µ 1

x

∂

dx, Z ₂

°2

p 1

4 ° x ² dx, Z ₁

2/º ln µ

cos µ 1

x

∂∂

dx, Z ₁

1

dx x ^a , Z ₁

°1

dx ( x ² + 1) ⁿ , Z ₁

0 e ^°ax sin bx dx, Z ₁

0 e ^°ax cos bx dx, Z ₁

0

sin ax

x e ^°x dx.

3. Intégrales de Bertrand. Étudier la nature de Z ₁

2

1

x ^a ln ^b x dx et de Z _1/2

0

1

x ^a | ln | ^b x dx .

4. Aire signée et intégrale. a) Montrer la convergence des intégrales suivantes : Z ₁

0

sin x x dx, Z ₁

0 sin x ² dx.

b) Montrer que l’aire signée déterminée par les graphes des fonctions sin x

x et sin x ² , 0 < x < 1 , n’a pas de sens.

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