Feuille d'exercices 21. Intégrales généralisées

Feuille d'exercices 21. Intégrales généralisées

Exercice I.

Etudier la convergence, et, si possible, calculer les intégrales suivantes : 1. Z +∞

0

e^tdt 2. Z 0

−∞

e^tdt 3. Z +∞

−∞

e^tdt 4. Z 1

−∞

e^2tdt

5. Z +∞

0

e^−tdt 6. Z 0

−∞

e^−tdt 7. Z +∞

−∞

e^−tdt 8. Z +∞

1

e^−2tdt

9. Z +∞

0

tdt 10. Z +∞

1

2dt 11. Z +∞

1

t (1 +t²)²dt 12. Z +∞

1

dt t

13. Z +∞

2

ln(t)dt 14. Z +∞

2

tln(t)dt 15. Z +∞

2

te^t2dt 16. Z +∞

2

te^−t

2 2dt

Exercice II.

Etudier, suivant la valeur du paramètre réelα, la convergence des intégrales suivantes : 1. Z +∞

1

dt

t^α 2. Z +∞

0

e^−αtdt

Exercice III.

Etudier la nature des intégrales impropres suivantes (leur calcul n'est pas demandé) : 1. Z +∞

2

√ dt t³−1 2. Z +∞

1

1 + 1

t²

dt

3. Z +∞

0

t²e^−t2dt

4. Z +∞

1

(ln(t))²dt

5. Z +∞

1

dt t^t

6. Z +∞

1

ln(t)

√t dt

7. Z +∞

2

t⁻³²ln(t)dt

8. Z +∞

1

tln(t) 1 +t²+t⁴dt

Exercice IV.

Justier la convergence de l'intégrale Z +∞

0

e⁻

√xdx, et la calculer.

Exercice V.

1. Justier la convergence de l'intégrale I= Z +∞

1

2tln(t) (1 +t²)²dt. 2. Trouver les réelsa,bet ctels que ∀t≥1, 1

t(1 +t²) = a

t +bt+c 1 +t².

3. Calculer l'intégraleI. (On utilisera notamment une intégration par parties, ainsi que la décomposition précédente.)

Exercice VI.

1. Justier la convergence de l'intégrale impropre Z +∞

−∞

e^−x2dx. 2. On admet que Z +∞

−∞

e^−x2dx=√ π.

3. En déduire la convergence et la valeur de l'intégrale Z +∞

−∞

e^−x

2 2 dx. 4. Calculer, si possible, Z +∞

−∞

x²e^−x

2 2 dx.

1

Exercice VII.

Calculer les intégrales impropres : 1. Z +∞

0

λe^−λxdx 2. Z +∞

0

xλe^−λxdx 3. Z +∞

0

x²λe^−λxdx

Exercice VIII.

On pose, pourn∈N, I_n= Z +∞

0

xⁿe^−xdx. 1. Montrer que la suite(In)_n∈Nest bien dénie.

2. Etablir que ∀n∈N, In+1= (n+ 1)In.

3. En déduire la valeur deIn, pour tout entier natureln.

Exercice IX.

Soit la fonctionf dénie par f(x) = Z +∞

1

t^−x 1 +tdt. 1. Déterminer l'ensemble de dénition def.

2. Montrer quef est monotone surDf, et déterminer son sens de variation.

3. a. Montrer que si0< x≤y, alors 0≤f(y)−f(x)≤1 y −1

x. b. En déduire la continuité def surDf.

4. a. Pourx >0, calculerf(x) +f(x+ 1).

b. En déduire les limites def aux bornes de son ensemble de dénition.

Exercice X.

On considère la fonctionΓdénie par Γ(x) = Z +∞

0

e^−tt^x−1dt. 1. Déterminer l'ensemble de dénition deΓ.

2. Montrer que ∀x >0, Γ(x+ 1) =xΓ(x).

3. En déduireΓ(n), pour tout entier naturel non nuln.

Exercice XI.

Suivant la valeur dea∈R, étudier la nature de l'intégrale Z +∞

0

dt 1 +e^at.

2