Intégrales généralisées

Cours Intégration sur un intervalle quelconque PC Cadre :  désigne  ou . ^{   }



^,



I Intégrales impropres (ou généralisée)

Définition 1 :

 Soient a, b , avec a <b +, et f : [a,b[ une fonction continue par morceaux. On dit que l’intégrale impropre



_a^b

^{f t dt}  

est convergente si ^lim_xb



_a^x

^{f t dt}  

existe dans .

Dans ce cas on note



_a^b

^{f t dt}  

cette limite. Dans le cas contraire l’intégrale impropre est dite divergente.

 Soient a , b, avec  a <b, et f : ]a,b] une fonction continue par morceaux. On dit que l’intégrale impropre



_a^b

^{f t dt}  

est convergente si ^lim _x^b

 

x a

f t dt





existe dans .

Dans ce cas on note



_a^b

^{f t dt}  

cette limite. Dans le cas contraire l’intégrale impropre est dite divergente.

Proposition 1 : Soient a, b, tels que a < b et f : [a,b[ une fonction continue par morceaux.

Si ^lim_xb^{f x}

 

existe dans  alors l’intégrale impropre



_a^b

^{f t dt}  

est convergente.

Remarque : Le fait que l’intervalle [a,b[ soit borné est essentiel.

Proposition 2 : Soient a et b , deux réels tels que a < b et f : [a,b[ une fonction continue par morceaux et c[a,b[.

Alors les intégrales impropres



_a^b

^{f t dt}  

^et



c^b

f t dt ^{ }

sont de même nature.

De plus, si elles convergent on a :



_a^b

^{f t dt}  

⁼



a^c

f t dt ^{ }

⁺



c^b

f t dt ^{ }

Remarque : Résultat analogue pour f : ]a,b]

Proposition 3 : Soient a  et b tels que  a < b+ et f : ]a,b[ une fonction continue par morceaux et c]a,b[ tel que les intégrales impropres



_a^c

^{f t dt}  

^et



c^b

f t dt ^{ }

convergent.

Alors, pour tout d]a,b[ , les intégrales impropres



_a^d

^{f t dt}  

^et



d^b

f t dt ^{ }

convergent et :

 

c a

f t dt



⁺



c^b

f t dt ^{ }

⁼



a^d

f t dt ^{ }

⁺



d^b

f t dt ^{ }

Définition 2 (Intégrale impropre aux deux bornes) :

Soient a  et b tels que   a < b+ et f : ]a,b[ une fonction continue par morceaux. On dit que l’intégrale doublement impropre



_a^b

^{f t dt}  

est convergente s’il existe c]a,b[ tel que les intégrales impropres

 

c a

f t dt



^et



c^b

f t dt ^{ }

convergent.

Dans ce cas on pose :



_a^b

^{f t dt}  

⁼



a^c

f t dt ^{ }

⁺



c^b

f t dt ^{ }

Remarque : l’intégrale doublement impropre



_a^{bf t dt}

 

est convergente si, et seulement si, la fonction de deux variables

   

:] , [2

, ^Y

X

a b

X Y f t dt

 



admet une limite finie lorsque le couple (X,Y) tend vers (a, b)

Proposition 4 : Soient a  et b tels que  a < b+ . I un intervalle d’extrémités a et b.

 f : I une fonction continue par morceaux. L’intégrale



_a^b

^{f t dt}  

est convergente si, et seulement si, les deux intégrales



_a^bRe



^{f t}

   ^dt

^et



a^bIm

^

f t

^{  } dt

convergent et dans ce cas :



_a^b

^{f t dt}  

⁼



a^bRe

^

f t

^{  } dt

⁺ⁱ



a^bIm

^

f t

^{  } dt

 L’ensemble des fonctions appartenant à



^{I ,}



telles que



_a^b

^{f t dt}  

converge est un sous-espace vectoriel de



^{I ,}



et l’application ^f



_a^b

^{f t dt}  

est une forme linéaire.

Question : Qu’en est-il du produit ? Proposition 5 : Intégrales de références

 Soit  un réel. L’intégrale

1

0

dt t^



 est convergente si, et seulement si, <1 (exemple de Riemann)

 Soit  un réel. L’intégrale

1

dt t^



 est convergente si, et seulement si,  >1 (exemple de Riemann)

 ¹

0lnt dt



est convergente.  Soit  un réel,

0 tdt

e

^



 est convergente si, et seulement si ,  < 0

Question : Quelle est la nature de

0

dt t^





Proposition 6 : Changement de variable

 <  et a < b des réels finis ou infinis. Soit f : ]a,b[  , continue par morceaux Soit  : ],[  ]a,b[ une bijection strictement monotone, de classe C¹. Alors ^



^fo

   

^{u ' u du}

  



est convergente si, et seulement si ^b

 

a f t dt



est convergente et dans le cas de la convergence, elle sont égales, C’est-à-dire ;

      

^'

b

a

f t dt fo u u du





 

 

 

 

Question : Etudier la nature des intégrales

1 dt

t^







 et ⁰

e

^tdt



 ^et 1

01 dt

t^





 ( un réel)

Exemples de changements de variables

II Cas des fonctions à valeurs réelles positives

Proposition 7: Soient a  et b tels que a < b+ et f : [a,b[+ une fonction continue par morceaux

 L’intégrale



_a^b

^{f t dt}  

est convergente si, et seulement si, la fonction ^x



_a^x

^{f t dt}  

est majorée sur [a,b[.

 Si l’intégrale



_a^b

^{f t dt}  

est convergente alors :



_a^b

^{f t dt}  

⁼_x^sup_{[ , [a b} a^x

f t dt ^{ }





 Si l’intégrale



_a^b

^{f t dt}  

est divergente alors : ^lim _a^x

 

x b

f t dt





 

Théorème 8: (de comparaison) Soient a  et b tels que a < b+ et f , g: [a,b[+ deux fonctions continues par morceaux et positives.

1. On suppose qu’il existe c]a,b[ tel que  t [c,b[, f(t)  g(t)

 Si l’intégrale



_a^bg

  ^{t dt}

converge alors



_a^b

^{f t dt}  

^converge

 Si l’intégrale



_a^b

^{f t dt}  

diverge alors



_a^bg

  ^{t dt}

^diverge

2. Si f = O(g) au voisinage de b^ et si l’intégrale



_a^bg

  ^{t dt}

converge alors



_a^b

^{f t dt}  

converge.

3. Si f ~ g au voisinage de b^ alors les intégrales impropres



_a^b

^{f t dt}  

^et



a^bg

^{ } t dt

sont de même nature.

Corollaire 9 (intervalle borné) :

f : ]0,1]+ une fonction continue par morceaux (à valeurs réelles positives)

 On suppose qu’il existe  > 0 et  un réel tels que f (t) ~ t^

 au voisinage de 0.

 

1 0f t dt



converge si, et seulement si,  <1

 Si  <1 et ^{f t}

 

^{O 1}

t^

 

   au voisinage de 0 alors, l’intégrale



₀¹f

 

t dt converge.

 S’il existe  > 0 et  1 tels que ^{f t}

 

t^

 au voisinage de 0 , alors ¹

 

0

f

t dt



^diverge.

Corollaire 10 (intervalle non borné) :

 On suppose qu’il existe  > 0 et  un réel tels que f (t) ~ t^

 au voisinage de +.

1^

f  

t dt



converge si, et seulement si,  >1

 Si  >1 et ^{f t}

 

^{O 1}

t^

 

   au voisinage de + alors, l’intégrale



₁^

^f  

^{t dt} converge.

 S’il existe  > 0 et  1 tels que f t

 

t^

 au voisinage de +, alors

 

1^

f

t dt



^diverge.

III Intégrales absolument convergentes

Dans ce paragraphe, a  et b avec a < b et I un intervalle d’extrémités a et b qui n’est pas un segment.

Définition 3 : Soit f :I une fonction continue par morceaux. On dit que l’intégrale impropre



_a^b

^{f t dt}  

^est

absolument convergente ou converge absolument si l’intégrale impropre



_a^{b f t}

  ^dt

est convergente.

Proposition 11 :

 f : I une fonction continue par morceaux. L’intégrale



_a^b

^{f t dt}  

converge absolument si, et seulement si, les deux intégrales



_a^bRe



^{f t}

   ^dt

^et



a^bIm

^

f t

^{  } dt

convergent absolument

 L’ensemble des fonctions appartenant à



^{I ,}



telles que



_a^b

^{f t dt}  

converge absolument est un sous-espace vectoriel de



^{I ,}



^.

Théorème 12 : Une intégrale impropre absolument convergente est convergente.

Définition 4 : Une intégrale impropre convergente mais non absolument convergente est dite semi-convergente.

IV Fonctions intégrables sur un intervalle quelconque

Définition 5 : Soit une fonction f : I , continue par morceaux sur un intervalle I de  d’extrémités a et b dans avec a < b.

On dit que f est intégrable sur I si, et seulement si, l’intégrale impropre



_a^b

^{f t dt}  

est absolument convergente.

Définition 6 : Soit une fonction f : I , continue par morceaux et intégrable sur un intervalle I de .

On appelle intégrale de f sur I, qu’on note

I f



^:

 L’intégrale de f sur I, si I est un segment ([a,b])

 L’intégrale impropre de f sur I, si I n’est pas un segment.

Proposition 13: L’ensemble E des fonctions f : I , continue par morceaux et intégrables sur un intervalle I de  est un sous-espace vectoriel de



^{I ,}



^.

L’application

f



I f est une forme linéaire sur E.

Définition 7: si f : I , continue par morceaux et intégrable sur un intervalle I de  d’extrémités a < b

On note :



_b^a

^{f t dt}  

⁼



a^b

f t dt ^{ }

Proposition 14 (relation de Chasles)

Soit f : I , continue par morceaux et intégrable sur un intervalle I de .

 Soient I1 et I2 deux intervalles inclus dans I dont la réunion est un intervalle et dont l’intersection est vide ou réduite à un point. Alors :

1 2

I I f



 ⁼



I1 f ⁺



I2 f

 Soient a, b et c trois points distincts de , éléments de I ou extrémités de I. Alors :

 

b a

f t dt



⁼



a^c

f t dt ^{ }

⁺



c^b

f t dt ^{ }

Proposition 15

Soit f : I , continue par morceaux et intégrable sur un intervalle I de . On a :

I f I f

 