ECE1-B 2015-2016
Feuille d’exercices n°16 : Intégrales impropres
Calcul de la valeur d’intégrales impropres Exercice 1. (☀☀)
Déterminer la nature et la valeur (lorsqu’elles convergent !) des intégrales impropres suivantes.
a) Z +∞
1
lnt (1 +t)2 dt b)
Z +∞
1
t t+√
t dt c)
Z +∞
1
lnt t dt d)
Z +∞
0
ln(t+ 1)dt
e) Z +∞
0
t2e−t dt
f ) Z +∞
1
tlnt dt
g) Z +∞
3
dt (t−1)(t+ 2) h)
Z +∞
1
lnt
√t dt
i) Z +∞
1
dt et+e−t
j) Z +∞
2
t2 ln
t2−1 t2
dt
Exercice 2. (☀) (Intégrales de Bertrand) a. Quelle est la nature de l’intégrale
Z +∞
e
dt t lnt? b. Soit β >1. Démontrer que l’intégrale
Z +∞
e
dt
t(lnt)β est convergente.
Calculer sa valeur.
Intégrales impropres et parité
Exercice 3. (☀)
Soitf :R→Rune fonction continue surRtelle que Z +∞
0
f(t)dtconverge.
1. Supposonsf paire.
a) Montrer que l’intégrale Z +∞
−∞
f(t) dt converge.
b) Montrer que : Z +∞
−∞
f(t) dt= 2 Z +∞
0
f(t)dt.
2. Supposons maintenantf impaire.
a) Montrer que l’intégrale Z +∞
−∞
f(t) dt converge.
b) Montrer que : Z +∞
−∞
f(t) dt= 0.
Exercice 4. (☀☀)
On considère la fonction f :x7→ ex (1 +ex)2. 1. a) Étudier la parité de f.
b) Écrire la primitive de f surR qui s’annule en0sous forme intégrale.
c) Justifier la convergence de l’intégrale impropre Z +∞
0
ex
(1 +ex)2 dxet calculer sa valeur.
d) En déduire la convergence et la valeur de Z +∞
−∞
ex
(1 +ex)2 dx.
2. a) Démontrer que : Z +∞
0
x ex
(1 +ex)2 dx= ln 2.
(penser à une IPP)
b) En déduire la convergence et la valeur de Z +∞
−∞
x ex (1 +ex)2 dx.
1
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Relation de récurrence pour In(x) = Z x
0
fn(t) dt par IPP
Exercice 5. (☀☀)
Pour tout entier naturel n∈N, etx>0 on note :
In(x) = Z x
0
tne−t dt et Jn= Z +∞
0
tne−t dt
1. Soit x>0.
a) CalculerI0(x).
b) En déduire queJ0 est une intégrale convergente et calculer sa valeur.
c) Pour toutn∈N, trouver une relation entreIn+1(x) etIn(x).
2. a. Déduire des questions précédentes queJn est convergente.
(on pourra effectuer une récurrence) b. Quelle relation lieJn+1 etJn?
c. En déduire la valeur deJn en fonction de n.
3. Soit n ∈ N. Par un changement de variable, montrer que l’intégrale Z +∞
0
tne−2t dt est convergente et calculer sa valeur.
2
