∫∫∫ Exercices sur les intégrales multiples

Exercices sur les intégrales multiples

0. Intégrales multiples avec Maple.

1. Intégrales doubles.

2. Application des intégrales doubles aux intégrales simples.

3. Intégrales triples.

4. Applications au calcul d’aires et de volumes.

5. Applications au calcul de probabilités.

6. Intégrales n-uples.

7. Intégrales multiples impropres.

8. Contre-exemples.

9. Centres de gravité, moments d’inertie.

10. Intégrales curvilignes, formule de Riemann-Green.

Pierre-Jean Hormière __________

Or, Mrs Evangélina Scorbitt  bien que le moindre calcul lui donnât la migraine  avait du goût pour les mathématiciens, si elle n’en avait pas pour les mathématiques : Elle les considérait comme des êtres d’une espèce particulière et supérieure. Songez donc ! Des têtes où les x ballottent comme des noix dans un sac, des cerveaux qui se jouent avec les signes algébriques, des mains qui jonglent avec les intégrales triples, comme un équilibriste avec des verres et ses bouteilles, des intelligences qui comprennent quelque chose à des formules de ce genre :

∫∫∫

_ϕ (x, y, z ) dx dy dz

Oui ! Ces savants lui paraissent dignes de toutes les admirations et bien faits pour qu’une femme se sentît attirée vers eux proportionnellement aux masses et en raison inverse du carré des distances. Et précisément, J.-T.

Maston était assez corpulent pour exercer sur elle une attraction irrésistible, et, quant à la distance, elle serait absolument nulle, s’ils pouvaient jamais être l’un à l’autre.

Jules Verne, Sans dessus dessous Voilà, pour des jeunes gens pleins de fougue, une ardente motivation pour étudier les intégrales doubles et triples : qui les maîtrise est assuré d’exercer un puissant attrait sur le sexe opposé ! J’ai presque toujours indiqué les réponses. Certains exercices sont corrigés à la fin de mon fascicule d’exercices corrigés sur les fonctions de plusieurs variables.

0. Intégrales multiples avec Maple.

Le package Student[MultivariateCalculus] de Maple 13 permet de calculer des intégrales multiples.

On peut faire des calculs en polaires, cylindriques ou sphériques.

J’ai préféré ici le package Student de Maple 7, plus sommaire, mais de présentation plus agréable.

> with(student);

D Diff Doubleint Int Limit Lineint Product Sum Tripleint changevar, , , , , , , , , , [

completesquare distance equate integrand intercept intparts leftbox leftsum, , , , , , , , makeproc middlebox middlesum midpoint powsubs rightbox rightsum, , , , , , , showtangent simpson slope summand trapezoid, , , , ]

> Doubleint(x+y,y=-x..1,x=-1..1);value(%);

⌠ d

⌡



-1 1

⌠ d

⌡



−x 1

+ x y y x

> Doubleint(abs(x+y),y=-1..1,x=-1..1);value(%);

⌠ d

⌡



-1 1

⌠ d

⌡



-1 1

+

x y y x

> Doubleint(1/(1+x+y),x=0..1,y=0..1);value(%);

d

⌠

⌡





0 1

d

⌠

⌡





0 1

1 + +

1 x y x y

> Doubleint(1/(1+x+y),y=x..1,x=0..1);value(%);

d

⌠

⌡





0 1

d

⌠

⌡





x 1

1 + + 1 x y y x

> Doubleint(1/(1+x+y),y=0..1-x,x=0..1);value(%);

d

⌠

⌡





0 1

d

⌠

⌡





0

− + x 1

1 + + 1 x y y x

> Doubleint(sqrt(1-r^2)*r*cos(t)*sin(t)/(1+cos(t)^2),r=0..1,t=0..Pi/2);

value(%);

d

⌠

⌡







0 / 1 2π

d

⌠

⌡







0 1

−

1 r²rcos t( )sin t( ) +

1 cos t( )² r t

> Doubleint(r^3*cos(2*t),r=0..2*cos(t),t=-Pi/2..Pi/2);value(%);

⌠ d

⌡



−1 2/ π / 1 2π

⌠ d

⌡



0 2cos t( )

r³cos 2 t( ) r t

> Tripleint(sin(x+y+z),x=0..Pi/2,y=0..Pi/2,z=0..Pi/2);value(%);

⌠ d

⌡



0 / 1 2π

⌠ d

⌡



0 / 1 2π

⌠ d

⌡



0 / 1 2π

( )

sin x + + y z x y z

> Tripleint(x*y*z,z=0..1-x-y,y=0..1-x,x=0..1);value(%);

⌠ d

⌡



0 1

⌠ d

⌡



0

− + x 1

⌠ d

⌡



0 − − 1 x y

x y z z y x

> Tripleint(x^2*y^3*z^4*(1-x-y-z)^5,z=0..1-x-y,y=0..1-x,x=0..1);value(%);

⌠ d

⌡



0 1

⌠ d

⌡



0

− + x 1

⌠ d

⌡



0 − − 1 x y

x²y³z⁴(1 − − − x y z)⁵ z y x

1. Intégrales doubles.

Exercice 1 : 1) Calculer

∫∫

_T

^{( x}

⁺

^{y ). dxdy}

, où T = { (x, y) ; x ≤ 1 , y ≤ 1 et x + y ≥ 0 }.

2) Calculer

∫∫

_C

^x

⁺

^{y . dxdy}

, où C = [−1, +1]×[−1, +1]

[

Réponses :

3 4

_,

3 8 ]

Exercice 2 : Soit C = [a, b]². Calculer

4 3

8 3

−4ln 2( ) + 3ln 3( )

3 −

2ln 3( ) 2ln 2( )

−ln 2( ) + 1

1 720 2

1 10291881600 1

6ln 2( )

π

)² ( 1

b−a

∫∫

_C^{(x+y).dxdy ,}_(b−¹_a)²

∫∫

_C^x−y.dxdy, _(b−¹_a)²

∫∫

_C^{max(x ).,y dxdy ,} _(b−¹_a)²

∫∫

_C^{min(x ).,y dxdy.}

Interprétation probabiliste.

[

Réponses : a + b ,

3 a b−

_,

3 2b a+

_,

3

2 a+ b

; cf. § 5. ] Exercice 3 : Calculer

∫∫

_K1^dx_+x^.dy_+y ^et

∫∫

_K(1^dx_+x^.₊^dy_y)² ^{pour :}

K = [0, 1]² , resp. K = { (x, y) ; 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 }, K = { (x, y) ∈ R₊² ; x + y ≤ 1 }.

[

Réponses : 1^ère intégrale : ln

16 27

_,

2 1

_ln

16

27

_{, 1 − ln 2 ; 2}^ème intégrale : ln

3 4

_,

2 1

_.ln

3 4

_{, −}

2

1

_{+ ln 2.}

]

Exercice 4 : Calculer

∫∫

_D

^{( 1}

⁺

^{xy). dxdy}

, où D = { (x, y) ; x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1 }. [ Rép. : 24 13 _] Exercice 5 : Soit K = { (x, y) ∈ R² ; x ≥ 0, y² + 2x ≤ 1 }. Calculer

∫∫

_K

^{( x ²}

⁺

^{y ²). dx . dy}

. [ Rép. :

35 6

_]

Exercice 6 : Calculer

∫∫

_K(1+^dx_x²^.₊^dy_y²)² pour K = { (x, y) ∈ R+

2 ; x ≤ x² + y² ≤ 1 } , K = { (x, y) ∈ R² ; x ≤ x² + y² ≤ 1 }, puis K limité par y² = 2x , y = ax , y > 0 ( a > 0 ).

[ Réponses : 1)

( 2 1 )

8

−

π

₂₎

4 π 2

_.]

Exercice 7 : Soit K = { (x, y) ∈ R² ; ( x − 1 )² + y²≤ 1 }. Calculer

∫∫

_K

^{( x ²}

⁻

^{y ²). dx . dy}

^{. [ Rép. : π ]}

Exercice 8 : Soit D = { (x, y) ∈ R² ; 2

2 _{( x − y ) ≤ x}² _{+ y}²_≤ 1 }. Calculer

∫∫

_D

^{( x}

³⁺

^y

³

^{). dx . dy}

^.

Exercice 9 : Soit a > 0, K = { (x, y) ; x² + y² ≤ 2ax et x² + y² ≤ 2ay }. Calculer

∫∫

_K

^{( x ²}

⁺

^{y ²). dx . dy}

^.

Soient a et b > 0, D = { (x, y) ; x² + y²≤ 2ax et x² + y²≤ 2by }. Calculer

∫∫

_D

^{( x ²}

⁺

^{y ²). dxdy}

^.

[ Rép. : ex. 8 : 0 ; ex. 9 : ( 4

3π _{− 2 ).a}⁴ _et 4 3π _a⁴ ₊

2

3_{( b}⁴ _{– a}⁴ _).Arctan

b a

_{− ab}

²)

² ( 2

3

²

² 2

3 ^{4 4}

b a

b b a a

+ +

+ . ]

Exercice 10 : Soit K = { (x, y) ∈ R+

2 ; 1 ≤ x + y , x² + y² ≤ 1 }. Calculer

∫∫

_K

^{x ² y . dx . dy}

, directement et en polaires.

Exercice 11 : Soit K = { (x, y) ∈ R₊² ; x² + y²≥ 2y , x² + y²≤ 1 }. Calculer

∫∫

_K

^{x ²}

⁺

^{y ² . dx . dy}

^.

Exercice 12 : Soit K = { (x, y) ∈ R+

2 ; x² + y² ≤ 1 }. Calculer

∫∫

_K ¹₂⁻_x^x_²+^²−_y^y_²^².xy.dx.dy.

Exercice 13 : Soit D = { (x, y) ∈ R+

2 ; x² + y² ≤ 1 ≤ x+

y

}. Calculer

∫∫

_D

^{( x}

⁺

^{y ). dx . dy}

^.

[ Réponses : ex. 10 : 20

1 ; ex. 11 :

18 π

_{+ 3 −}

9

16

; ex. 12 :

6

2

ln

; ex. 13 :

5 3

_.] Exercice 14 : Soit K = { (x, y) ∈ R₊² ; x + y ≤ 1 }, a et b > 0. Calculer

∫∫

_K

^a

^x

^{. b}

^y

^{. dx . dy}

^.

[ Rép. :

) ln .(ln ln . ln

ln ).

1 ( ln ).

1 (

b a b a

a b b a− − −−

si 1, a, b distincts ;

)² (ln ln 1

aa a a+

− si a = b ≠ 1, etc. ]

Exercice 15 : Soit K = { (x, y) ∈ R² ; x² + xy + y² ≤ 1 }. Calculer

∫∫

_K

^exp

⁻

^{( x ²}

⁺

^{y ²}

⁺

^{xy ). dx . dy}

^.

Aire et excentricité de l’ellipse correspondante. [ Rép. :

( 1 ) 3

2 π

−e−1 _{, Aire =}

3 2 π

_{, e =}

3

2

_.]

Exercice 16 : Soient T le triangle plein ABC, f la forme affine valant 1 en A, 0 en B et C.

Montrer que

∫∫

_T

^{f ( x , y ). dx . dy}

⁼ ₃^1Aire(T).

Exercice 17 : 1) Calculer

∫∫

_T

⁽ _MA ¹

⁺

_MB ¹

⁺

_MC ^{1 ). dx . dy}

, où T est le triangle équilatéral ABC.

2) Calculer

∫∫

_K

⁽ _MA ¹

⁺

_MB ¹

⁺

_MC ¹

⁺

_MD ^{1 ). dx . dy}

, où K est le carré ABCD.

[ Réponses : 1)

ln 3 2

3

3a

; 2) 8a.ln(

2

₋ 1 ), en notant a le côté du triangle, resp. du carré. ]

Exercice 18 : Soient E l’ellipse d’équation

²

² a x

₊

²

² b

y = 1, F et F’ ses foyers, D l’intérieur de E.

Calculer

∫∫

_D

^{x ². dx . dy}

^,

∫∫

_D

^{( x ²}

⁺

^{y ²). dx . dy}

^,

∫∫

_D⁽_a^x_²^²+_b^y_²^{²).dx.dy ,}

∫∫

_D

^{( MF}

⁺

^{MF ' ). dx . dy}

^,

∫∫

_D

^{( MF}

⁺

^{MF ' )}

ⁿ

^{. dx . dy}

^et

∫∫

_D

^{( MF}

^×

^{MF ' ). dx . dy}

^.

[ Réponses : 1) .a³b

π4 _{; 2) . .( ² ²)} 4 ab a +b

π _{; 3)}

π2_{ab ; 4) 2π a}² _{b −}

.

³

3 2 π b

_]

Exercice 19 : Montrer que

∫∫

_[0,1]²^xyexy.dxdy = e – 1 −

∑

^+∞

=1 1. !

n nn ^.

Exercice 20 : Soient U un ouvert de R², f : U → R une fonction de classe C², R = [a, b]×[c, d] un pavé inclus dans U. Calculer

∫∫

_R∂^∂_x^²_∂^f_y^(x,y).dxdy.

[ Réponse : f(b, d) – f(b, c) – f(a, d) + f(a, b).]

Exercice 21 : Soient I et J deux intervalles de R, (a, b) ∈ I×J, et f une fonction continue : I×J → R.

Propriétés de F(x, y) =

∫∫

_[a,x]×[b,y]^f(s,t).ds.dt. Calculer y x

F∂

∂∂ .

² _et x y

F∂

∂∂ .

² _.

Exercice 22 : Soit f ∈ C⁴([0, 1]², R). On suppose ∀(x, y) ∈ [0, 1]²

|

( , )

²

²

4

y y x x

f

∂

∂∂

|

≤ M, et f nulle sur le bord du carré. Montrer que :

| ∫∫

_[0,1]²^f(x,y).dx.dy

^|

^≤ ₁₄₄^M . [ Oral X 1989, RMS n° 80 ] Exercice 23 : Equivalent en +∞ de la somme double S_n =

∑

≤

≤_{pq n}p+q pq

, 1

[ pls. méthodes possibles.] [ Réponse : S_n ∼

3

2( 1 – ln 2 ).n³ ; cf. mes exercices corrigés sur les séries numériques. ]

Exercice 24 : Le problème de Bâle. 1) Soit D = { (x, y) ; 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 }. Calculer I =

∫∫

_D^dx₁₊^._xy^{dy au}

moyen du changement de variables u = 2 x−y

, v = 2 x+y

. 2) Montrer que I =

∑

≥ −

0

. ) 1 (

n

n

a

n, où a_n =

∫∫

_D

^x

ⁿ

^y

ⁿ

^{. dxdy}

. 3) En déduire

∑

≥

− − 1

1

² ) 1 (

n n

n ^et

∑

≥11²

n n ^. [ Réponse : 1) I = … =

∫

₀^1/2 ₋

² 1

2

u [Arctan

u

+

u

1 1

− _{– Arctan}

² 1 u

u

− ^{].du = 24}π^² ( poser u = cos θ ). ]

Exercice 25 : Pour tout n ∈ N, on pose I_n =

∫∫

_[0,1]²1+^dx_x^n.dy_+y^{n .} Déterminer la limite de la suite (I_n).

[ Réponse : I_n tend vers 1, et 1 – I_n∼ n2_. ]

Exercice 26 : Soit R un rectangle, et une partition¹ de ce rectangle en un nombre fini de rectangles de côtés parallèles à ceux de R. On suppose que chaque rectangle de la partition a au moins un côté entier. Montrer que R a au moins un côté entier.

[

Indication : considérer

∫∫

_R

^e

^2iπ(x+y)

^{. dx . dy}

^.

^]

2. Application des intégrales doubles aux intégrales simples.

Exercice 1 : En considérant l’intégrale

∫∫

_[0,1]²(1+x^x_²).(^.dx.₁^dy_+x.y), calculer l’intégrale I = dt t

t.

² 1

) 1 ln(

1

∫

0 ₊^{+ .}

Exercice 2 : Soit a ∈ [0, 1]. On se propose de calculer I(a) =

∫

₀^π/2ln(1+_cos^a.cos_x ^x).dx.

1) Calculer I(a) en considérant

∫∫

_{[0,π/2]×[0,a]1+}^dx_y.^._cos^dy_x^.

2) Retrouver ce résultat par développement en série entière, ou autrement.

[ Réponses : ex. 1 :

π 8

ln 2 ; ex. 2 : I(a) =

8 π ²

₋

2

1_{(Arccos a)}²_. ] Exercice 3 : Soit D = { (x, y) ; 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 }.

1) Calculer

∫∫

_[0,1]²(1+x^dx_²).(^.dy_1+y²) et en déduire J =

∫∫

_D(1+x^dx_²).(^.dy_1+y²)^.

2) En posant x = r.cos θ, y = r.sin θ, puis r² = u, montrer que J = ^π

θ θ

_.d

θ

) 2 cos(

2

)

² cos 2 ln(

4 /

∫

0 ^.

3) On pose K = ^π

θ θ

_.d

θ

) 2 cos(

2

)

² sin 2 ln(

4 /

∫

0 ^{et I =}

∫

₀¹₁^ln_−t^{t .}_²^dt . Exprimer J + K et J – K en fonction de I.

En déduire la valeur de I. Retrouver cette valeur par développement en série.

Exercice 4 : Inégalités de Cauchy-Schwarz.

1) Soient f , g ∈ C([a, b], R). En considérant l’intégrale double

∫∫

_[a,b]²^{[f(x).g(y)−f(y).g(x)]².dx.dy,}

démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Cas d’égalité ? 2) Soient (a₁, …, a_n) et (b₁, …, b_n) deux suites réelles.

Montrer que

( ∑

= n

k k kb a

1

.

)

²≤

∑

= n

k

ak 1

)2

( .

∑

= n

k

bk 1

)2

( . Cas d’égalité ? Exercice 5 : Inégalités de Tchebychev.

1) Soient f et g deux fonctions continues [a, b] → R toutes deux croissantes, ou toutes deux décroissantes. Montrer que

(

_b−¹_a^.

∫

_a^bf

⁾

^.

⁽

_b−¹_a^.

∫

_a^bg

⁾

^≤ _b−¹_a^.

∫

_a^bf.g . Cas d’égalité ?

2) Soient (a₁, …, a_n) et (b₁, …, b_n) deux suites réelles toutes deux croissantes, ou décroissantes.

Montrer que

(

n

1 ∑

= n

k

ak 1

)

.

(

n

1 ∑

= n

k

bk 1

)

≤

n

1 ∑

= n

k k kb a

1

. . Cas d’égalité ?

[ Ind. : Considérer l’intégrale double de h(x, y) = (f(x)−f(y)).(g(x)−g(y)) ; méthode analogue en 2. ] Exercice 6 : Soit E = KKKK(R, C) l’espace vectoriel des fonctions continues à support compact.

Si (f, g) ∈ E², on définit leur convolée h = f * ^{g par (∀}x) h(x) =

∫

₋^+∞_∞

^{f ( x}

⁻

^{t ). g ( t ). dt}

^.

1 Il s’agit d’une partition au sens imagé du terme, d’un découpage. La méthode ici proposée consiste à introduire une fonction additive de découpage convenable. Pour des approches combinatoires, cf. F.-X.

Vialard, RMS mars 2006, et F. Gabriel, RMS, mars 2007.

Montrer que * est une loi interne, bilinéaire, commutative, associative, sans élément neutre.

Exercice 7 : En considérant l’intégrale double

∫∫

_[0,A]²^{(sinx).e−xy.dxdy}, montrer que :

∫

₀^Asin_x^{x(1−e−xA).dx =}

∫

₀^{A1−e−Ay(cos}₁₊^A_y⁺_² ^y.sinA).dy. En déduire

∫

₀^{+∞sin dx}_x^{x. , puis}

∫

₀^+∞sin_x^²x.dx.

3. Intégrales triples.

Exercice 1 : Soit C = [a, b]³. Calculer : ₃

) ( 1

b− a ∫∫∫

_C

^{( x}

⁺

^y

⁺

^{z ). dxdydz}

)

3

( 1

b− a ∫∫∫

_C

^{max( x , y , z ). dxdydz}

^,

_{( b−} ¹ _{a )}

³

∫∫∫

_C

^{mil ( x , y , z ). dxdydz}

^,

_{( b−} ¹ _{a )}

³

∫∫∫

_C

^{min( x , y , z ). dxdydz}

^.

[ Réponses : 2

3( a + b ) , 8

1( a + 3b ) , 2

1 ( a + b ) , 8

1( 3a + b ) . ]

Exercice 2 : Calculer

∫∫∫

_K

^{sin( x}

⁺

^y

⁺

^{z ). dx . dy . dz}

^{, où K =}

^[

^0,

^π ₂ ^]

^{3 .}

Exercice 3 : Calculer

∫∫∫

_K^{(ax+by+cz)².dx.dy.dz et}

∫∫∫

_K

^{( ax}

⁺

^by

⁺

^{cz )}

ⁿ

^{. dx . dy . dz}

Où K = { (x, y, z) ; x² + y² + z²≤ 1 }.

[ Réponses : ex 2 : 2 ; ex 3 :

15

4 π

_{( a}² _{+ b}² _{+ c}² _{) ,}

) 3 )(

1 (

²)

²

² (

4 ^/2

+ ++ +

n n

c b

a ⁿ

π si n pair , 0 si n impair.]

Exercice 4 : Calculer

∫∫∫

_K^{(2x+3y+6z)².dx.dy.dz, où K = {}

₉ ^x _a ^² _²

⁺ ₄^y_a^²_² ⁺ _a^z²_² ^{≤ 1}.}

Exercice 5 : Calculer

∫∫∫

_K

^{x . y . z . dx . dy . dz}

, où K = { (x, y, z) ∈ R+

3 ; x + y + z ≤ 1 } Exercice 6 : Calculer

∫∫∫

_K^xyz.(1−_a^x−_b^y−_c^z).dx.dy.dz, où K = { (x, y, z) ∈ R₊³ ;

a x

₊ b

y +

cz _{≤ 1 }} avec a, b et c > 0.

[

Réponses : ex 4 :

5

864

_πa⁵ ; ex 5 :

720

1

; ex 6 :

5040 ² c b ² ² a ]

.

Exercice 7 : Calculer

∫∫∫

_K(1+^dx_x^.₊^dy_y^.₊^dz_z)³ pour K = [0, 1]³, K = { (x, y, z) ; 0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 1 }, puis K = { (x, y, z)∈R+

3 ; x + y + z ≤ 1 }.

[

Réponses : 1)

2

3 ln . 3 2 ln .

5

− _{; 2)}

12 3 ln . 3 2 ln .

5

− _{; 3)}

16 5 2

2 ln

− .

]

Exercice 8 : Calculer

∫∫∫

_Dx²+^dx_y²^.₊^dy₂^._z^dz_²+a² , où D = { (x, y, z) ; x² + y² + 2.z² ≤ a² }.

[ Réponse : 2aπ

2

( 1 − π4 _{). ]}

Exercice 9 : Calculer

∫∫∫

_K

^{x . dx . dy . dz}

, K = { (x, y, z) ; x + z ≤ 1, z ≥ 0, x ≥ y² , y ≥ 0 }.

[

Rép. :

35

4

_.

]

Exercice 10 : Soient f continue : [0, 1] → R, et K = { (x, y, z) ∈ R³ ; 0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 1 }.

Montrer que

∫∫∫

_K

^{f ( x ). f ( y ). f ( z ). dx . dy . dz}

⁼

₆ ^{1 (} ∫

₀¹

^{f ( dt t ). )}

^{3 .}

Exercice 11 : Calculer

∫∫∫

_{K + +}

z y x

dz dy dx

²

²

² .

. pour K = { (x, y, z) ; a² ≤ x² + y² + z² ≤ b² } , K = { (x, y, z) ; x² + y² ≤ z² , a ≤ z ≤ b } (0 < a < b), K = { (x, y, z) ; x² + y² + z² ≤ 2Ry }.

[

Réponses : 1) 2π( b²− a² ) ; 2) π( b²− a² )(

2

₋ 1 ) ; 3)

² 3 4 R π ]

. Exercice 12 : Soit A ∈ S3

++(R), K = { X ∈ R³ ; ^tX.A.X ≤ 1 }. Calculer

∫∫∫

_K^{e±tX.A.X dx.dy.dz.}

[ Réponse :

A det

4 π ∫

₀¹

^r

²

^e

^±r²

^.dr

^{. ]}

Exercice 13 : Soit K = { (x, y, z) ∈ R₊³ ; x + y + z ≤ 1 } , w = 1 − x − y − z.

Calculer

∫∫∫

_K

^x

^a

^{. y}

^b

^{. z}

^c

^{. w}

^d

^{. dx . dy . dz}

, où ( a, b, c, d ) ∈ N⁴ .

[

Réponse :

)!

3 (

!

!

!

! + + + +b c d a

d c b

a _.

]

Exercice 14 : Soient U un ouvert de R³, f : U → R une fonction de classe C³, R = [a, b]×[c, d]×[p, q]

un pavé inclus dans U. Calculer

∫∫

_R∂x^∂_∂³_y^f_∂z^{(x,y,z).dxdydz.}

4. Applications au calcul d’aires et de volumes.

Exercice 1 : L’aile et la lentille.

Démontrer que dans la figure ci-dessous l’aile (délimitée par les trois arcs de cercles rouges) et la lentille (délimitée par les deux arcs de cercles verts) ont même aire.

Exercice 2 : Arbelos d’Archimède.

Démontrer avec le minimum de calculs que dans les deux figures ci-dessous, l’aire de l’arbelos (région délimitée par les trois demi-cercles) est égale à l’aire délimitée par le cercle bleu.

Exercice 3 : On considère les domaines

²

² a x

₊

²

² b

y ≤ 1 et

²

² b x

₊

²

² a

y ≤ 1. Aire de leur intersection.

[ Réponse : 4ab Arcsin

²

² b a

b

+ ^.]

Exercice 4 : Soient C un carré de centre O et de frontière ∂C, K = { M ; OM ≤ d(M, ∂C) }.

Dessiner K. Calculer l’aire de K. [ Réponse : si a est le côté du carré,

( 4 2 3 ²

a

_{− 5 ). ]}

Exercice 5 : Aire de D = { (x, y) ; x +

y

_≥ 1, 1−x +

1

−

y

_≥ 1 } . Exercice 6 : Aire délimitée par la cardioïde r = a ( 1 + cos θ ) . Exercice 7 : Aire délimitée par l’astroïde : x = a.cos³ t , y = a.sin³ t . Exercice 8 : Aire de la boucle du folium de Descartes : x = ₃

1 . 3

t t

+a ^{, y =} 1 ³

² . 3

t t a+ ^.

Exercice 9 : Aire délimitée par la boucle de la strophoïde x ( x² + y² ) – a ( x²− y² ) = 0 ( a > 0 ).

Exercice 10 : Aire intérieure à la lemniscate de Bernoulli ( x² + y² )² = a² ( x²− y² ).

[ Réponses : ex. 3 : 3

2 ; ex. 4 : ²

23 aπ ; ex. 5 :

²

8 3 a π

; ex. 6 :

²

2 3a

; ex. 7 : ( 2 −

π2_{) a}² ; ex. 8 : a². ] Exercice 11 : Aire délimitée par x ≥ 0, y ≥ 0 et la courbe d’équation x^2/λ + y^2/µ = 1 ( λ et µ > 0 ).

Cas où λ = µ = 1, 2, 2, 4 ? [ Réponse : A =

) ( 2

λ λµ µ

+ ^B(

λ

2_, 2

µ

_{) ,}

π

4_, 2 1_,

32 3 π

_,

6 1_. ]

Exercice 12 : Soient PPPP un plan de vecteur unitaire normal n, K un domaine simple de ce plan.

Soient S l’aire de K, S’ , S’’ et S’’’ les aires des projections de K sur les plans xOy, yOz et zOx.

Montrer que S² = S’² + S’’² + S’’’² . [ Concours général 2006 ] Exercice 13 : On considère les quatre solides ( a , b , h > 0 ) :

C₁ = { (x, y, z) ; x² + y²≤ R² , 0 ≤ z ≤ h }

C₂ = { (x, y, z) ; ( x – az )² + ( y – bz ) ² ≤ R² , 0 ≤ z ≤ h } C₃ = { (x, y, z) ; x² + ( y – sin z )² ≤ R² , 0 ≤ z ≤ h }

C₄ = { (x, y, z) ; ( x – cos z )² + ( y – sin z )² ≤ R² , 0 ≤ z ≤ h } Représentez-les. Calculer et comparez leurs volumes. Généraliser.

[ Réponse : les quatre colonnes, droite, oblique, torsadées, ont même volume, π R² h ... ] Exercice 14 : Evaluer le volume intérieur du Turning Torso de Santiago Calatrava à Malmö.

Exercice 15 : Volume et aire de la sphère euclidienne de rayon R.

En déduire que le volume de cette sphère est les deux tiers du volume du cylindre de révolution qui la contient (théorème d’Archimède).

Aire et volume du secteur de cette sphère compris entre les plans parallèles z = z₀ et z = z₁. Aire et volume d’une calotte de demi-angle au sommet α.

[ Rép. : ₃⁴

π

^{R3, 4}πR², 2πR(z₁–z₀) , πR²(z₁–z₀) −

π 3

_(z1³_−z0³_{) , 2πR}²_{(1 – cos α), 3}²

π

^{R3(1 – cos} α) ] Exercice 16 : L’espace euclidien E est rapporté à un repère orthonormé Oxyz.

Natures des quadriques d’équation x² + z² = r² , y² + z² = r² . Etudier leur intersection Γ ? Volume de K = { (x, y, z) ; x² + z²≤ r² , y² + z²≤ r² }.

[ Réponse : Γ = { (x, y, z) ; x² + z² = r² , y = ± x } est réunion de deux ellipses. V = ³

16r 3

.] Exercice 17 : Aire et volume de l’ellipsoïde de révolution

²

²

² a

y x +

+

²

² c z

_{= 1.}

[ Réponses : V =

3

4 π

_a² c ; S = 2π ( a² +

b ac²

_ln

c b

a+

₎ si a > c , b = a² c− ², S = 2π ( a² +

b

ac²

_Arcsin

c

b

₎ si c > a , b = c² a− ². ] Exercice 18 : Soit HHHH l’hyperboloïde de révolution à deux nappes

²

²

² a

y x +

=

²

² c z

_{− 1.}

Volume et aire de la partie de HHHH comprise entre les plans z = z₀ et z = z₁ ( c < z₀ < z₁ ).

[ Réponse : V =

² 3 ² c

π a

_{( z1 – z0 )( z1}² _{+ z1z0 + z0}² _{– 3c}² _{) . ]} Exercice 19 : Soit HHHH l’hyperboloïde de révolution à une nappe

²

²

² a

y x +

=

²

² c z

_{+ 1.}

Volume et aire de la partie de HHHH comprise entre les plans z = z₀ et z = z₁ ( z₀ < z₁ ).

Exercice 20 : Calculer le volume et l’aire comprises entre le paraboloïde de révolution PPPP _: x² + y² = 2pz et le plan d’équation z = b, puis entre PPPP et le plan z = a y + b.

[ Réponses : V = π pb² , S = 3

² 2 pπ

[

(1 +

p

2 )b ^1/3 – 1

]

, V = 4

π

p ( p a² + 2b )². ] Exercice 21 : Soient R et p > 0. Calculer le volume de

K = { (x, y, z) ; x² + y² + z²≤ R² et x² + y²≤ 2pz }.

Limite de ce volume quand p → 0, quand p → +∞. [ Rép : V =

3

2 π

_{( R}³ _{+ p}³ _{+ 3R}²_{p – ( R}² _{+ p}² ₎^3/2₎ ; si p = 0, V = 0, p → +∞, V →

3

2 π

_R³ _{logique ].}

Exercice 22 : Calculer l’aire et le volume délimités par le cône de révolution CCCC _{: x}² _{+ y}² _{= z}²_.tan²_{α, et} comprise entre les plans z = a et z = b ( 0 < a < b ).

[ Réponses : V = π tan²α 3

3

3 a

b −

, A = π

α α

²

cos sin

_{( b}² _{– a}² _{). ]}

Exercice 23 : 1) Etudier l’intersection des cylindres x² + y² = a² , x² + z² = a². 2) Calculer le volume de K = { (x, y, z) ; x² + y² ≤ a² , x² + z² ≤ a² } et l’aire de ∂K.

[

Réponses : 1) Réunion de deux ellipses ; 2) V =

.

³

16 a 3

et S = 16.a².

]

Exercice 24 : Volume du domaine K : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x+

y

+

z

≤ 1. [ Réponse : 1/90 ] Exercice 25 : Fenêtre de Viviani.

Soient S la surface x² + y² + z² = 1, C la surface x² + y²− x = 0, Γ = S ∩ C.

1) Volume de K = { (x, y, z) ; x² + y² + z² ≤ 1 et x² + y² − x ≤ 0 }.

2) Aires de la portion de S délimitée par Γ, et de la portion de C délimitée par Γ.

3) Exprimer la longueur de sous forme d’intégrale.

Exercice 26 : La pomme de Newton.²

On fait tourner une cardioïde r = a ( 1 + cos θ ) autour de son axe de symétrie.

Aire et volume de la surface de révolution obtenue.

[

Réponses : A =

5

² 32 π a

_{, V =}

3 8

π

a³

.

]

Exercice 27 : Surface d’Enneper.

Soit S la surface d’équations x = u − 3 u3

+ u.v² , y = v − 3 v3

+ u².v , z = u²− v².

Représentation, aire du morceau de cette surface défini par 0 ≤ u ≤ 1 et 0 ≤ v ≤ 1. [ Réponse :

45 133

_.]

Exercice 28 : On considère la surface paramétrée :

x = ( a + b.cos v ).cos u , y = ( a + b.cos v ).sin u , z = b.sin v ( 0 < b < a ) 1) Montrer que c’est une surface de révolution ; la reconnaître. Equation cartésienne ? 2) Calculer son aire, ainsi que le volume qu’elle délimite.

[ Réponses : 2) A = 4π² ab , V = 2π² ab² ; on peut utiliser le théorème de Guldin. ]

2 Newton a laissé tomber une gomme sur son plan.

Exercice 29 : Deux sphères S et S’ de rayons r et R resp. sont tangentes extérieurement.

Montrer que l’aire et le volume de l’enveloppe convexe de S ∪ S’ sont donnés par : V =

² . ² 3

4 ^{5 5}

r R

r R

−

π

− et A = 4π

² . ²

4 4

r R

r R

−

− .

Exercice 30 : L’intersection d’un plan PPPP avec un cône de révolution CCCC est une ellipse EEEE_. Montrer que l’aire A de la portion de cône comprise entre le sommet S et l’ellipse EEEE _est A = π

2 p+q

pq

sin α

où α est le demi-angle au sommet du cône, p et q sont les distances de S aux sommets du grand axe de EEEE. En part., si PPPP est perpendiculaire à l’axe, A = π p² sin α =

π α

sin

²

.r

, où r est rayon du cercle EEEE_. Remarque : Un joli problème de TPE 1995 porte sur l’aire et le volume d’un cornet de glace, en hommage sans doute à Boby Lapointe…

5. Applications au calcul de probabilités.

Dans les exercices suivants, lorsqu’on dira qu’on « choisit un point au hasard dans un ensemble », on conviendra que ce choix se fait suivant la probabilité uniforme sur cet ensemble, autrement dit que la probabilité que le point choisi appartienne à une partie donnée est proportionnelle à la mesure (longueur, aire, volume) de cette partie.

Exercice 1 : On choisit au hasard et indépendamment deux points sur le segment [a, b]. Trouver la valeur moyenne M de la distance de ces deux points. Quelle est la probabilité P que cette distance soit plus grande que M ? Pour quelle valeur de m les événements « la distance est supérieure à m » et

« la distance est inférieure à m » sont-ils équiprobables ?

Exercice 2 : On choisit au hasard et indépendamment trois réels dans l’intervalle [0, L]. Quelle est la probabilité pour que ces nombres sont les longueurs des côtés d’un triangle ?

Exercice 3 : On choisit au hasard et indépendamment deux réels s et p dans l’intervalle [−a, a].

a) On considère le polynôme P = x² + sx + p. De ces deux événements quel est le plus probable : P a ses racines réelles (probabilité P₁(a)), P n’a pas de racines réelles (probabilité P₂(a)) ?

Limites de P₁(a) et P₂(a) quand a tend vers +∞ ?

b) Quelle est la probabilité que l’équation bicarrée x⁴ + sx² + p = 0 ait à la fois des racines réelles et des racines complexes non réelles ?

Exercice 4 : On choisit au hasard et indépendamment deux points dans le disque unité. Quelle est la valeur moyenne S de l’aire du disque ayant pour diamètre le segment joignant ces deux points ? Exercice 5 : On choisit au hasard et indépendamment deux points sur un cercle de rayon R. Trouver la valeur moyenne L de la longueur de la corde joignant ces deux points.

Exercice 6 : On choisit au hasard trois réels a, b, c dans l’intervalle [−A, A], et l’on considère le cercle C d’équation x² + y² – 2ax – 2by + c = 0. Quelle est la probabilité pour que ce cercle soit réel ? Limite de cette probabilité quand A → +∞ ?

[ Réponses : 1) M = )² ( 1

b−a

∫∫

_[a,b]²^{x−y.dxdy =}

^b− ₃ ^a

^{, P =} ₉^{4, m =}

2+ b

−a

2

. 2) ½ . 4) π4_. 3) a) Pour a > 4, P₁(a) = 1 −

a 3

2 > ½ , et P₁(a) → 1.

5) L =

²

4^Rπ

∫∫

_[0,2π]²^{eiθ−eiϕ.dθdϕ = 4}_π^R. 6) Si A ≥ 1, on trouve P(A) = 1 −

A .

16 π

_{→ 1.]}