L01 (V2-VàC) – Résolution de problèmes à l’aide de graphes

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Résolution de problèmes à l’aide de

graphes

1

Leçon

n

o

Niveau Terminale ES Spécialité Maths Prérequis définitions de base d’un graphe Références [1], [2], [3], [4], [5], [6]

1.1

Problème des ponts de Köningsberg

1.1.1 Enoncé du problème

La ville de Königsberg (aujourd’hui Kaliningrad) est construite autour de deux îles situées sur le Pregel et reliées entre elles par un pont. Six autres ponts relient les rives de la rivière à l’une ou l’autre des deux îles. Le problème consiste à déterminer s’il existe ou non une promenade dans les rues de Königsberg permettant, à partir d’un point de départ au choix, de passer une et une seule fois par chaque pont, et de revenir à son point de départ, étant entendu qu’on ne peut traverser le Pregel qu’en passant sur les ponts.

FIGURE1.1 – Ponts de Köningsberg

On peut représenter le problème grâce à un graphe :

A B C

1.1.2 Outils pour la résolution

Définition 1.1 — Graphe connexe. On appelle graphe connexe, un graphe pour lequel chaque paire de sommets est reliée par au moins une arête.

Définition 1.2 — Chaîne eulérienne. On appelle chaîne eulérienne, une chaîne composée de toutes les arêtes prises une seule fois.

Définition 1.3 — Cycle eulérien. On appelle cycle eulérien, une chaîne eulérienne dont les extérmités coïncident.

Théorème 1.4— Théorème d’Euler. 1. Un graphe connexe admet un cycle eulérien si et seule-ment si tous ses sommes sont de degré pair.

2. Un graphe connexe admet une chaîne eulérienne si et seulement si le nombre de sommets de degré impair est0 ou 2.

Dv Démonstration

• Preuve Condition nécessaire : Dans les deux cas, comme on passe par toutes les arêtes du graphe, on passe également par tous les sommets.

— Si G admet une chaîne eulérienne, à chaque fois que l’on arrive à un sommet, on doit aussi en repartir (et par des arêtes différentes de celles déjà utilisées) ; chaque passage par un sommet uti-lise dont deux arêtes issues de ce sommet sauf au sommet de départ et au sommet d’arrivée (les extrémités de la chaîne).

Si le sommet n’est ni le début, ni la fin de la chaîne, il est donc nécessairement de degré pair. Pour le sommet de départ, on en part une fois de plus qu’on y arrive, donc il est de degré impair. Pour le sommet d’arrivée, on y arrive une fois de plus qu’on en part, donc il est de degré impair. — Si G admet un cycle eulérien, le raisonnement précédent reste valable, hormis le fait que les

som-mets de départ et d’arrivée sont confondus. Ce sommet, à la fois départ et arrivée de la chaîne eulérienne fermée, est donc de degré pair.

Condition suffisante :

— Soit G un graphe connexe dont tous les sommets sont de degré pair. Les longueurs des chaînes sans répétition d’arêtes de G étant majorées par le nombre d’arêtes de G, on peut choisir une chaîne C de G sans répétition d’arêtes de longueur maximum.

1. Cette chaîne C est nécessairement fermée : c’est un cycle. En effet, si la chaîne choisie C n’étant pas fermée, ses extrémités, si l’on ne considère que la chaîne C extraite du graphe, seraient de degré impair mais, si l’on considère la chaîne C dans le graphe G, ses extrémités seraient de degré pair par hypothèse sur G. Cela signifie que l’on pourrait ajouter des arêtes de la chaîne C en ses extrémités, en contradiction avec le fait que C est de longueur maximum. 2. (a) Si la chaîne C parcourt toutes les arêtes du graphe : le cycle est eulérien.

(b) Si la chaîne C ne parcourt pas toutes les arêtes du graphe : il existe une arête de G, notons celle-ci A − B, dont l’une des extrémités n’est pas un sommet de C, disons A par exemple.

Considèrons un sommet S de la chaînte C.

Comme le graphe G est connexe, il existe une chaîne S1reliant le sommet S et le sommet A. En pacourant cette chaîne S1, il existe nécessairement une arête qui a pour extrémité un

sommet de C (notons la W ) et une extérmité qui n’est pas un sommet de C (notons la X). En faisant alors le parcours : arête X − W puis toute la chaîne fermée C pour revenir à

W, on a construit une chaîne de G sans répétition d’arêtes de longueur supérieure à celle de C, ce qui contredit le faot que C était de longueur maximum.

1.2 Coloration de graphes 11 — Soit G un graphe connexe dont le nombre de sommets de degré impair est2. On peut ajouter un

sommet Z à G que l’on relie aux deux sommets de degré impair A et B. Le graphe reste connexe mais a tous ses sommets de degré pair, il admet donc un cycle eulérien.

En parcourant ce cyle de la façon suivante : B − Z − A − . . . − B et en supprimant finalement le sommet Z, on obtient une chaîne eulérienne d’extrémités A et B.

1.1.3 Résolution du problème

Dv Résolution du problème des ponts de Köningsberg

Ici, deg(A) = 5 et deg(B) = deg(C) = deg(D) = 3 impair. Donc, ce problème n’a pas de solution.

Dv Autre problème possible

Dans un jeu de dominos, peut-on mettre bout à bout en ligne toutes les pièces du jeu ?

1.2

Coloration de graphes

1.2.1 Enoncé du problème

Un aquariophile vient de recevoir huit poissons. Les poissons ne peuvent cohabiter tous ensemble dans un même aquarium.

Dans le tableau suivant, une croix signifie que deux poissons ne peuvent cohabiter.

A B C D E F G H A × × × × × B × × × × C × × × × × D × × × × E × × × × F × × × G × × × × H × × ×

Combien d’aquariums au minimum seront nécessaires ?

Ce problème est équivalent à colorier avec un minimum de couleurs les sommets du graphe sui-vant :

A B C D

1.2.2 Outils pour la résolution

Définition 1.5 — Coloration d’un graphe. On dit qu’on colorie un graphe si on affecte une couleur à chacun de ses sommets de façon à ce que deux sommets adjacents ne portent pas la même couleur.

Définition 1.6 — Nombre chromatique. On appelle nombre chromatique d’un graphe G, le plus petit nombre de couleurs permettant de le colorer. On note γ(G) le nombre chromatique de G.

Propriété 1.7 Soit G un graphe. S’il existe un sous-graphe de G complet d’ordre p alors le nombre chromatique γ(G) de G vérifie la relation γ(G) ≥ p.

Algorithme 1.8 — Algorithme de Welsh-Powell. Soit G un graphe. L’algorithme de Welsh-Powell a pour but de donner une approximation du nombre chromatique du graphe G. Il se fait en deux étapes :

Étape 1 On ordonne les sommets en fonction de leur degré. Étape 2 On attribue une couleur C1au premier sommet de la liste.

Étape 3 En suivant la liste, on attribue cette couleur C1à tous les sommets qui ne lui sont pas

adjacents et qui ne sont pas adjacents entre eux.

Ensuite. . . On attribue une couleur C2 au premier sommet non colorié et on recommence

comme à l’étape2 et ainsi de suite. . . jusqu’à ce que tous les sommets du graphe G soient coloriés.

C’est un algorithme glouton, c’est-à-dire qu’étape par étape, on essaie de faire un choix optimal local pour espérer obtenir un résultat optimum global.

Théorème 1.9— Vizing, admis. Soit G un graphe et soit∆ le plus grand des degrés. Alors le nombre chromatique γ(G) est inférieur ou égal à ∆ + 1 ; soit γ(G) ≤ ∆ + 1.

Dv Démonstration du théorème de Vizing

Définition 1.10 — Chaîne de Kempe. Une chaîne de Kempe de couleurs a et b (deux couleurs) est l’ensemble des régions connectées qui possèdent l’une de ces couleurs.

Il est possible de se rendre d’une région quelconque de la chaîne à une autre en restant sur ces deux couleurs.

En termes de graphes, une chaîne de Kempe de couleur a et b est le sous-graphe connecté (c’est-à-dire que l’on peut aller d’un sommet à un autre en passant par des arêtes existantes) maximum dont les sommets sont d’une de ces deux couleurs.

• Preuve On montre cette propriété par récurrence sur le nombre d’arêtes du graphe G, noté m. Il faut donc montrer qu’on peut colorer tout graphe de n sommets déterminés à l’avance avec au plus ∆ + 1 couleurs, où∆ est le degré maximal du graphe considéré.

Initialisation : Un graphe à 0 arête peut se colorer avec une couleur.

Hérédité : Supposons la propriété vraie pour un entier m quelconque et montrons qu’elle reste vraie pour l’entier m+ 1. Soit G un graphe à m + 1 arêtes. Enlevons une arête µ de ce graphe : on obtient un graphe G0_{à m arêtes dont on peut colorer les arêtes, d’après l’hypothèse de récurrence.}

Essayons à present de « remettre » µ dans G0_{pour obtenir à nouveau le graphe G.}

On appelera A et B1les sommets initialemnet reliés par l’arête µ.

1.2 Coloration de graphes 13 disponibles qui n’est pas utilisée pour colorer les arêtes incidentes au sommet A. De même, il existe une couleur parmi les∆ + 1 qui n’est pas utilisée pour la coloration des arêtes de B1.

1. Si on peut trouver une couleur non utilisée à la fois pour la coloration des arêtes adjacentes à

Aet pour la coloration des arêtes adjacentes à B1, alors il suffit de choisir cette couleur pour µ

et de replacer cette arête une fois colorée à son emplacement initial dans G.

2. Si les couleurs manquant à A sont présentes au sommet B1et réciproquement, notons a une

des couleurs manquant à A et b1une couleur manquant à B1. Examinons la chaîne de Kempe

associée aux couleurs a et b1et partant de B1: H(a; b1). Si cette chaîne ne relie pas A à B1, on

échange les deux couleurs dans cette chaîne (les arêtes du graphe G0_{restent ainsi correctement}

colorées) puis on choisit la couleur a pour µ et on replace cette arête à son emplacement initial. 3. Si en plus de ne pouvoir trouver une couleur manquant à A et à B1, la chaîne de Kempe

H(a; b1) relie ces deux sommets, on effectue les opérations suivantes :

— on identifie l’arête de couleur b1incidente à A (qu’on note µ0) et on appelle B2le sommet

à l’autre extrémité de l’arête en question ;

— on extrait cette même arête d’entre A et B2pour la placer entre A et B1. µ0 est à présent

l’arête que l’on doit replacer pour obtenir à nouveau le graphe G.

Il faut alors procéder comme précédemment pour trouver la couleur adéquate avec laquelle colorer

µ0_{. Il se peut que l’on revienne à chaque fois au cas 3.}

Au bout d’un certain temps (∆ fois au maximum), il arrive donc que la couleur manquant au sommet Bi ait déjà été la couleur manquant à un sommet Bk (k < i). Notons que l’on a même

k < i_{− 1 étant donné que l’on vient juste de retirer la couleur b}i−1au sommet Bi.

Ainsi on a une chaîne de Kempe H(a; bk) qui part de A, qui rejoint Bk+1 et dont les sommets

ont tous la couleur bk(sauf Bk+1puisqu’on a justement retiré à l’arête de couleur bkadjacente à

ce sommet pour la mettre entre Bk et A. On a vu que Bin’avait pas d’arête adjacente de couleur

bk, partant de quoi on affirme que Bin’est pas sur la chaîne de Kempe H(a; bk) que l’on vient de mentionner.

D’autre part, on sait que le sommet Bi a une arête adjacente de couleur a et que de ce fait il appartient à une autre chaîne de Kempe H0_{(a; bk) disjointe de la chaîne H(a; bk) (H}0_{(a; bk) peut}

être réduite à une simple arête de couleur a). Il suffit alors d’intervertir les couleurs des arêtes de

H0(a; b0ek) et de relier Bi et A avec une arête de couleur a pour ainsi reconstruire le graphe G coloré (lors de cette dernière opération, on aura relié les chaînes H(a; bk) et H0_{(a; bk)).}

Dv Déroulement de l’algorithme de Welsh-Powell pour notre problème

1. On liste les sommets par ordre de degré décroissant.

Sommets A C B D E G F H

Degré 5 5 4 4 4 4 3 3

2. On choisit la couleur rouge pour A (sommet de plus haut degré) et on colore tous les sommets non adjacents à A (ou entre eux) en rouge (sommet E).

A B C D

E F G H

3. On s’occupe maintenant du sommet C qui est d’ordre5. On lui choisit la couleur bleue et on colore tous les sommets non adjacents à A (ou entre eux) en bleu (sommet B).

A B C D

E F G H

4. On s’occupe maintenant du sommet D qui est d’ordre4. On lui choisit une couleur : la couleur verte et on colorie les sommets qui lui sont non adjacents (les sommets G et F ).

A B C D

E F G H

5. Enfin il reste un sommet à colorier, c’est le sommet H !

A B C D

E F G H

Majoration et minoration de γ(G) :

— Le maximum des degrés du graphe est5 donc γ(G) ≤ 5.

1.3 Recherche du plus court chemin 15 Or, on a réussi (grâce à l’algorithme de Welsh-Powell à colorier le graphe en 4 couleurs, d’où

γ(G) = 4.

Il faudra donc au minimum4 aquariums.

1.3

Recherche du plus court chemin

1.3.1 Pondération d’un graphe

Définition 1.11 — Pondérer un graphe. Soit G = (S, A) un graphe tel que S = (s1, . . . , sn).

Pon-dérer un graphe est équivalent à se donner une fonction f: S × S → R tel que f(si, sj) est la

longueur de l’arête qui relie le sommet siet sj. 1.3.2 Algorithme de Dijkstra

Algorithme 1.12— Algorithme de Dijkstra. 1. On trace un tableau avec autant de colonnes qu’il y a de sommets dans le graphe G. La première colonne est réservée au sommet de départ. 2. Dans la ligne suivante, on met0 dans la première colonne et ∞ dans les colonnes suivantes

pour indiquer que l’on commence l’algorithme (on part du sommet de départ et on n’avance pas vers d’autres sommets (sommets inaccessibles)).

3. On met les valeurs des chemins qui partent du sommet qu’on a gardé précédemment vers les autres arêtes (sans se préoccuper des sommets traités).

4. On entoure l’arête qui a la longueur minimale et on garde le sommet qui constitue le but de l’arête.

5. On recommence à l’étape 3 jusqu’à tant qu’il n’y a plus d’arêtes à traiter.

Ainsi, on se constitue une suite de sommets qui sera notre chemin de longueur minimale. R 1.13 L’algorithme de Dijkstra peut se mettre en œuvre quand le graphe est connexe et que la valeur aux arêtes

est positive ou nulle.

1.3.3 Exemple de problèmes et résolution

On a reporté sur le graphe ci-dessous ceraintes villes d’Allemagne et les distances qui les séparent (en kilomètres) : K H D S N B M F 120 490 650 780 600 210 490 630 580 600 ₂₃₀

Les lettres B, D, F , H, K, M, N et S re-présentent les villes Berlin, Dortmund, Francfort, Hambourg, Kaiserslautern, Munich, Nuremberg et Stuttgart.

Déterminer le plus court chemin possible pour aller de Kaiserslautern à Berlin.

Dv Résolution du problème

On commence par le sommet K :

K F H S M N D B

0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

On étudie chacune des arretes partant du sommet choisi. Dans les colonnes, on met la distance à

K et le sommet d’où l’on vient.

K F H S M N D B

0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

• 120K ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

On se place de nouveau au sommet du plus petit poids, ici F .

K F H S M N D B 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ • 120K ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ • • 610F ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ Et ainsi de suite. . . K F H S M N D B 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ • 120K ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ • • 610F ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ • • • 1260H 1390H 1210H ∞ ∞ K F H S M N D B 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ • 120K ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ • • 610F ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ • • • 1260H 1390H 1210H ∞ ∞ • • • 1260H ou1420N 1390H • ∞ ∞ K F H S M N D B 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ • 120K ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ • • 610F ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ • • • 1260H 1390H 1210H ∞ ∞ • • • 1260H 1390H • ∞ ∞ • • • • 1390H ou1490S • ∞ 1890S

1.4 Graphe probabiliste 17 K F H S M N D B 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ • 120K ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ • • 610F ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ • • • 1260H 1390H 1210H ∞ ∞ • • • 1260H 1390H • ∞ ∞ • • • • 1390H • ∞ 1890S • • • • • • 1990M 1890Sou1970M Et enfin. . . K F H S M N D B 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ • 120K ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ • • 610F ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ • • • 1260H 1390H 1210H ∞ ∞ • • • 1260H 1390H • ∞ ∞ • • • • 1390H • ∞ 1890S • • • • • • 1990M 1890S

On a trouvé le chemin de poids minimal qui va du sommet K jusqu’au sommet B : c’est le chemin K − F − H − S − B.

1.4

Graphe probabiliste

Définition 1.14 — Graphe probabiliste. On dit qu’un graphe est probabiliste si le graphe est orienté, pondéré et que les poids figurant sur chaque arête est un nombre réel dans l’intervalle[0 , 1] et que la somme des poids des arêtes sortant de chaque sommet est égale à1.

Mathématiquement, on dit qu’un graphe G = (S, A) est probabiliste s’il existe une fonction

f: S × S → [0 , 1] tel que : _X

1≤i≤j≤n

f(si, sj) = 1.

1.4.2 Exemple de problèmes

On a divisé une population en deux catégories : « fumeurs » et « non-fumeurs ». — 60% des descendants de fumeurs sont des fumeurs.

— 10% des descendants de non-fumeurs sont des fumeurs.

À la génération1, il y a autant de fumeurs que de non-fumeurs. On se propose de suivre l’évolution génération par génération du taux de fumeurs et des non-fumeurs par rapport à la population totale. Ce problème peut se modéliser grâce à un graphe probabiliste.

Définition 1.15 — Matrice de transition. On appelle matrice de transition (notée M) du graphe pro-babiliste, la matrice dont le terme de la ie_{colonne et de la j}e_{colonne est égal au poids de l’arête}

allant du sommet si au sommet sjsi elle existe et à0 sinon.

Exemple 1.16 La matrice de transition à l’étape0 de l’exemple précédent est :

M = 0, 6 0, 4

0, 1 0, 9 !

 Théorème 1.17 Soit P0la matrice représentant l’état probabiliste initial et Pnla matrice représentant

l’état probabiliste à l’étape n. Alors : Pn= P0Mn.

Définition 1.18 On dit que P est un état stable si P = P M.

Théorème 1.19 Pour toute matrice de transition M, il existe un état stable (c’est-à-dire il existe P tel que P = P M).

Dv

• Preuve Soit P = (α, β) et M = a1−a b1−b

. On dit que λ est valeur propre de M si P M = λP . Donc P M = P si et seulement si 1 est valeur propre de M. On regarde le polynôme caractéristique de

M :

χM(X) = X2− tr(MT) + det M

= X2_{− (a + 1 − b)X + a(1 − b) − b(1 − a)}

= X2

− (a + 1 − b)X + a − b 1 est racine de χM(X) car :

1 − (a + 1 − b) − a − b = 0.

1.4.4 Résolution

Dv Recherche d’un état stable

On cherche l’état stable dans le problème posé plus haut. Pour cela, on pose P = (a, b) (avec a, b positifs et a+ b = 1) et on résout l’équation matricielle P M = P .

(a, b) × 0, 6 0, 4_{0, 1 0, 9} ! = (a, b) d’où _       a+ b = 1 0, 6a + 0, 1b = a 0, 4a + 0, 9b = b et ainsi, on trouve a= 0, 2 et b = 0, 8.

Bibliographie

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[2] C. LE BOT, Théorie des graphes, 2006, http://blog.christophelebot.fr/ wp-content/uploads/2007/03/theorie_graphes.pdf.

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[11] M. LENZEN, Leçon no3 : Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule

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[12] G. CONNAN, Une année de mathématiques en Terminale S, Ch. 14, 2009-2010, URL :http: //tehessin.tuxfamily.org

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[18] Probabilités 3 : Loi uniforme sur [a; b], Lycée de Font Romeu. http://www. lewebpedagogique.com/cerdagne/files/2013/02/02-Loi-uniforme. pdf

[19] Loi uniforme sur[a; b], IREM de Toulouse. URL :http://www.irem.ups-tlse.fr/ spip/IMG/pdf_LOI_UNIFORME.pdf

[21] C. SUQUET, Initiation à la Statistique, 2010. http://math.univ-lille1.fr/ ~suquet/Polys/IS.pdf.

[22] J.-F. DELMAS, Modélisation stochastique, Cours de M2, 2009. URL :http://cermics. enpc.fr/~delmas/Enseig/mod-stoch.pdf

[23] L.-M. BONNEVAL, Chaînes de Markov au lycée, APMEP no503, 2013. URL : http:// publimath.irem.univ-mrs.fr/biblio/AAA13018.htm

[24] Marche aléatoire, IREM de Franche-Comte. URL : http://www-irem. univ-fcomte.fr/download/irem/document/ressources/lycee/marche/ marche-aleatoire.pdf.

[25] Marches sur Z, culturemath.ens.fr, URL : http://culturemath.ens.fr/maths/ pdf/proba/marchesZ.pdf

[26] Contributeurs à Wikipedia, Marche aléatoire, Wikipédia, l’encyclopédie libre, 2014.

[27] Marche au hasard dans les rues de Toulouse, URL : http://mappemonde.mgm.fr/ actualites/M_toulouse2.html