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Academic year: 2021

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(1)

Graphes de Cayley quantiques et espace des arêtes à l’infini

Roland Vergnioux

vergniou@math.uni-muenster.de 27 janvier 2004

1. arbres de Cayley quantiques – groupes quantiques discrets – groupes quantiques libres

– graphes de Cayley quantiques – orientation ascendante

2. espaces des arêtes à l’infini

3. applications

(2)

Groupes quantiques discrets [Woronowicz]

Algèbre du groupe

C -algèbre S unifère et δ : S S S

– coassociativité : (id δ) δ = (δ id) δδ(S )(1 S ) et δ(S )(S 1) denses dans S S

I catégorie des coreprésentations C

(cf. groupes compacts : ⊕, , Irr C, ...)

Algèbre des fonctions

C -algèbre S ˆ = L r∈Irr C L(H r ) – coproduit ˆ δ : ˆ S M ( ˆ S S ˆ )

– projecteurs p r = id H

r

S ˆ pour r Irr C

Espace ` 2

– espace de Hilbert H

– représentations S, S ˆ L(H )

– unitaire multiplicatif V L(H H )

– unitaire involutif U L(H )

(3)

Groupes quantiques libres [Wang, Banica]

On fixe Q GL n ( C ) avec n 2.

Cas classique

NB : C (F n ) = C (1, u i | ∀ i u i unitaire)

Version unitaire

A u (Q) = C (1, u i,j | u et uQ −1 unitaires) où u = (u i,j ) M n (A u (Q)) et u ¯ = (u i,j )

I Irr C : monoïde libre en u et u ¯ avec

ru ¯ ur 0 = ru¯ ur 0 r r 0 , ru ur 0 = ruur 0 .

Version orthogonale

A o (Q) = C (1, u i,j | u unitaire, uQ −1 = u)

I Irr C ' N avec r 1 = u et, si Q Q ¯ C I n ,

r k r l = r |k−l| r |k−l|+2 ⊕ · · · ⊕ r k+l .

(4)

Graphes de Cayley quantiques Définition

Données

– groupe quant. discret : S , S ˆ , C, (H, V, U ) – p 1 proj. central de S ˆ : p 1 = P r∈D p r

U p 1 U = p 1 , p 0 p 1 = 0 ⇐⇒ D ¯ = D , 1 C ∈ D /

Graphe classique associé à (S, p 1 )

– s = Irr C, a = {(r, r 0 ) ∈ C | ∃ s ∈ D r 0 r s}

θ bien défini : r 0 r s ⇐⇒ r r 0 ¯ s

– structure supplémentaire : arêtes multiples et colorées par D

Graphe quantique associé à (S, p 1 ) – espaces de Hilbert : H , K = H p 1 H

– Θ = Σ(1 U )V (U U )Σ, K g = Ker(Θ id) – V : K H H « extrêmités »

O = (id ²)V , B = (² id)V

NB : Θ 2 6= id

(5)

Orientation ascendante (cas des arbres)

Hypothèse

Le graphe classique est un arbre « strict »

I origine 1 C , orientation montante :

a + = {(r, r 0 ) a | d(r 0 , 1 C ) > d(r, 1 C )}

Proposition Le groupe quantique discret as- socié à S est un produit libre fini de groupes A o (Q i ) et A u (Q 0 j ) avec Q i Q ¯ i C id.

Définition

p n = P {p r | d(r, 1 C ) = n}

p

F+

= P (r,r

0

)∈ a

+

V (p r p r

0

)V p

F

= 1 p

F+

Θ p

F

Θ 6= p

F+

! ! I p

+F

= Θ p

F

Θ p

++

= p

F+

p

+F

, p

+−

= p

F

p

+F

, . . .

K

++

= p

++

K espace des arêtes montantes

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