Graphes de Cayley quantiques et espace des arêtes à l’infini

Graphes de Cayley quantiques et espace des arêtes à l’infini

Roland Vergnioux

vergniou@math.uni-muenster.de 27 janvier 2004

1. arbres de Cayley quantiques – groupes quantiques discrets – groupes quantiques libres

– graphes de Cayley quantiques – orientation ascendante

2. espaces des arêtes à l’infini

3. applications

Groupes quantiques discrets [Woronowicz]

Algèbre du groupe

– C ^∗ -algèbre S unifère et δ : S → S ⊗ S

– coassociativité : (id ⊗ δ) ◦ δ = (δ ⊗ id) ◦ δ – δ(S )(1 ⊗ S ) et δ(S )(S ⊗ 1) denses dans S ⊗ S

I catégorie des coreprésentations C

(cf. groupes compacts : ⊕, ⊗ , Irr C, ...)

Algèbre des fonctions

– C ^∗ -algèbre S ˆ = ^L _{r∈Irr C} L(H _r ) – coproduit ˆ δ : ˆ S → M ( ˆ S ⊗ S ˆ )

– projecteurs p _r = id _H

∈ S ˆ pour r ∈ Irr C

Espace ` ²

– espace de Hilbert H

– représentations S, S ˆ → L(H )

– unitaire multiplicatif V ∈ L(H ⊗ H )

– unitaire involutif U ∈ L(H )

Groupes quantiques libres [Wang, Banica]

On fixe Q ∈ GL _n ( C ) avec n ≥ 2.

Cas classique

NB : C ^∗ (F _n ) = C ^∗ (1, u _i | ∀ i u _i unitaire)

Version unitaire

A _u (Q) = C ^∗ (1, u _i,j | u et Q¯ uQ ⁻¹ unitaires) où u = (u _i,j ) ∈ M _n (A _u (Q)) et u ¯ = (u ^∗ _i,j )

I Irr C : monoïde libre en u et u ¯ avec

ru ⊗ ¯ ur ⁰ = ru¯ ur ⁰ ⊕ r ⊗ r ⁰ , ru ⊗ ur ⁰ = ruur ⁰ .

Version orthogonale

A _o (Q) = C ^∗ (1, u _i,j | u unitaire, Q¯ uQ ⁻¹ = u)

I Irr C ' N avec r ₁ = u et, si Q Q ¯ ∈ C I _n ,

r _k ⊗ r _l = r _|k−l| ⊕ r _|k−l|+2 ⊕ · · · ⊕ r _k+l .

Graphes de Cayley quantiques Définition

Données

– groupe quant. discret : S , S ˆ , C, (H, V, U ) – p ₁ proj. central de S ˆ : p ₁ = ^P _r∈D p _r

– U p ₁ U = p ₁ , p ₀ p ₁ = 0 ⇐⇒ D ¯ = D , 1 _C ∈ D /

Graphe classique associé à (S, p ₁ )

– s = Irr C, a = {(r, r ⁰ ) ∈ C | ∃ s ∈ D r ⁰ ⊂ r ⊗ s}

– θ bien défini : r ⁰ ⊂ r ⊗ s ⇐⇒ r ⊂ r ⁰ ⊗ ¯ s

– structure supplémentaire : arêtes multiples et colorées par D

Graphe quantique associé à (S, p ₁ ) – espaces de Hilbert : H , K = H ⊗ p ₁ H

– Θ = Σ(1 ⊗ U )V (U ⊗ U )Σ, K _g = Ker(Θ − id) – V : K → H ⊗ H « extrêmités »

– O = (id ⊗ ²)V , B = (² ⊗ id)V

NB : Θ ² 6= id

Orientation ascendante (cas des arbres)

Hypothèse

Le graphe classique est un arbre « strict »

I origine 1 _C , orientation montante :

a ₊ = {(r, r ⁰ ) ∈ a | d(r ⁰ , 1 _C ) > d(r, 1 _C )}

Proposition Le groupe quantique discret as- socié à S est un produit libre fini de groupes A _o (Q _i ) et A _u (Q ⁰ _j ) avec Q _i Q ¯ _i ∈ C id.

Définition

– p _n = ^P {p _r | d(r, 1 _C ) = n}

– p

= ^P _(r,r

)∈ a

V ^∗ (p _r ⊗ p _r

)V – p

= 1 − p

– Θ ^∗ p

Θ 6= p

! ! ^I p

= Θ ^∗ p

Θ – p

= p

p

, p

= p

p

, . . .

– K

= p

K espace des arêtes montantes