Graphes de Cayley pour les groupes quantiques discrets

Graphes de Cayley pour les groupes quantiques discrets

Roland Vergnioux [email protected]

9 avril 2003

Groupes quantiques compacts Objets C ^∗ -algébriques

S C ^∗ -algèbre unifère, munie d’un morphisme δ : S → S ⊗ S coassociatif et bisimplifiable.

Objets fonctoriels

Coreprésentation de dim. finie : v ∈ L(H _v ) ⊗ S tel que (id ⊗ δ)(v ) = v ₁₂ v ₁₃

I catégorie C , prod. tensoriel et conjugaison

I Irr C, théorie « de Peter-Weyl »

I caractères : dim H _v = 1 ^I groupe Objets hilbertiens

Il existe un état h ∈ S ^∗ invariant pour δ .

I H = L ² ( S, h ), λ : S → L ( H ), S _r = λ ( S )

I décomposition H = ^L _{r∈Irr C} p _r H

I V ∈ L(H ⊗ H ) unitaire multiplicatif,

I U ∈ L(H ) unitaire involutif

Groupes quantiques discrets

Groupe quantique compact associé à Γ (Γ groupe discret)

I ∗-algèbre du groupe : C _{Γ =} ^L _g∈Γ C _g

I S = C ^∗ Γ, complétion « pleine » de C _Γ

I coproduit : δ ( g ) = g ⊗ g

Alors :

I Irr C ' Γ ( v _g = id ⊗ g ∈ L ( C _{) ⊗ S )}

I H = ` ² (Γ), (λ(g)φ)(s) = φ(g ^{− 1} s)

I S _r = C _r ^∗ Γ, complétion « réduite » de C _Γ

I p _r proj. orth. sur 11 _{r} ∈ ` ² (Γ)

I V ( f )( g, h ) = f ( g, g ⁻¹ h ), U ( f )( g ) = f ( g ⁻¹ )

Groupes quantiques discrets

(interprétation duale du cas général)

I S → S _r ⊂ L(H ) : espace ` ² et repr. régulière

I Irr C : « points » du groupe

I P

r∈D p _r , D ⊂ Irr C : projecteur « sur D »

dans l’espace ` ² du groupe quantique

Groupes quantiques libres [Wang, Banica]

Groupe libre

S = C ^∗ ( F _n ) = C ^∗ (1 , u _i | ∀ i u _i unitaire) Groupe quantique libre unitaire

On fixe n ≥ 2 et Q ∈ GL _n ( C _).

A _u (Q) = C ^∗ (1, u _i,j | u et Q¯ uQ ⁻¹ unitaires) où u = (u _i,j ) ∈ L( C ⁿ _{) ⊗ A u (Q) et u ¯ = (u} ^∗

i,j )

I Irr C : monoïde libre en u et u ¯ avec, pour v = u , ¯ u , les règles rv = ¯ v¯ r et rv ⊗ ¯ vr ⁰ = rv¯ vr ⁰ ⊕ r ⊗ r ⁰ , rv ⊗ vr ⁰ = rvvr ⁰ Groupe quantique libre orthogonal On suppose de plus que Q Q ¯ ∈ C _{I n .}

A _o (Q) = C ^∗ (1, u _i,j | u unitaire, Q¯ uQ ⁻¹ = u)

I Irr C ' N _{avec ¯ r k = r k , r 1 = u et}

r _k ⊗ r _l = r _|k−l| ⊕ r _|k−l|+2 ⊕ · · · ⊕ r _k+l

Graphe de Cayley groupes discrets Données

I Γ groupe discret

I ∆ ⊂ Γ finie, ∆ ⁻¹ = ∆, e / ∈ ∆ (ensemble des directions)

Approche simpliciale

I s _{= Γ,} a _{= { ( r, r} ⁰ _{) ∈} s ² _{| ∃ s ∈ ∆ r} ⁰ _{= rs}}

I retournement θ : a _→ a _{, ( r, r} ⁰ _{) 7→ ( r} ⁰ _{, r )}

I arêtes géométriques : a _{g =} a _{/{θ(a) ∼ a}}

I orientation : a ₌ a _{+ t θ(} a _{+ )} Origine + direction

I s _{= Γ,} a _{= Γ × ∆}

I ( o _, b _{) :} a _{, →} s _× s _{, ( r, s ) 7→ ( r, rs )}

I retournement : θ(r, s) = (rs, s ^{− 1} )

Graphe de Cayley

groupes quantiques discrets Données

I groupe quant. discret : S , C , ( H, V, U )

I D ⊂ Irr C finie ⇐⇒ p ₁ = ^P _r∈D p _r

I D ¯ = D, 1 _C ∈ D ⇐⇒ / U p ₁ U = p ₁ , p ₀ p ₁ = 0 Graphe classique associé à (C, D )

I s _{= Irr C,} a _{= {(r, r} ⁰ _{) ∈} s ² _{| ∃ s ∈ D r} ⁰ _{⊂ r ⊗ s}}

I θ bien défini : r ⁰ ⊂ r ⊗ s ⇐⇒ r ⊂ r ⁰ ⊗ ¯ s

I structure supplémentaire : arêtes multiples et colorées par D

Graphe quantique associé à (C, D )

I espace ` ² des sommets : H

I espace ` ² des arêtes : K = H ⊗ p ₁ H

I Θ = Σ(1 ⊗ U )V (U ⊗ U )Σ, K _g = Ker(Θ − id)

I V : K → H ⊗ H « extrêmités »

I O = (id ⊗ )V et B = ( ⊗ id)V

NB : Θ ² 6 = id

Orientation

dans le cas des arbres Hypothèse

Le graphe classique de ( C, D ) est un arbre strict

I origine 1 _C , orientation montante :

a _{+ = {(r, r} ⁰ _{) | d(r} ⁰ _{, 1 C ) = d(r, 1 C ) + 1} ⊂} a

Définition

I p _n = ^P {p _r | d(r, 1 _C ) = n}

I p

= ^P {V ^∗ (p _r ⊗ p _r

)V | (r, r ⁰ ) ∈ a _{+ }}

I p

= 1 − p

Proposition

I p

:= Θ ^∗ p

Θ est différent de p

I Θp

(p _k ⊗ p ₁ ) = p

(p _k+1 ⊗ p ₁ )Θ, Θ ^∗ p

( p _k ⊗ p ₁ ) = p

( p _k+1 ⊗ p ₁ )Θ ^∗ Définition

I p

= p

p

, p

= p

p

, . . .

I espace des arêtes montantes : K

= p

K

Opérateur de Julg-Valette

On suppose que le graphe classique associé à (C, D ) est un arbre strict.

Définition F _g ^∗ : K _g ^p

K

B H

Théorème

1. B _|K

est injectif et son image est ( p ₀ H ) ^⊥ . 2. p

|K

est injectif et son image est

{ζ ∈ K

| p

Θ p

ζ ∈ Im (id −p

Θ p

) } .

Proposition Le groupe quantique discret as- socié à V est un produit libre fini de groupes A _o (Q _i ) et A _u (Q ⁰ _j ) avec Q _i Q ¯ _i ∈ C _{id .}

I Il suffit d’étudier le cas de A _o ( Q ).

Espace H _∞ pour A _o (Q)

On considère l’arbre de A _o ( Q ) avec Q Q ¯ ∈ C _id et Tr Q ^∗ Q > 2. On pose

H _∞ = lim

−→ (( p _k ⊗ p ₁ ) K

, p

Θ p

).

Proposition Il existe un opérateur borné R : K

→ H _∞ surjectif et tel que Ker R = p

K _g .

K _g

p

K

B (p ₀ H ) ^⊥ ⊂ H

H _∞

R

Théorème L’opérateur F _g ^∗ + BR ^∗ de K _g ⊕ H _∞

dans H définit un élément γ ∈ KK _{S ˆ} ( C _, C _).