Produits libres amalgamés de groupes quantiques discrets

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Produits libres amalgamés de groupes quantiques discrets

Roland Vergnioux

[email protected]

19 avril 2004

(2)

Groupes quantiques discrets [Woronowicz]

C

^∗

-algèbre d’un groupe quantique discret :

I

C

^∗

-algèbre unifère S

I

coproduit : δ ∈ Mor(S, S ⊗ S ) tq (δ ⊗ id) ◦ δ = (id ⊗ δ) ◦ δ

I

condition analytique : δ(S )(1 ⊗ S ) et δ(S )(S ⊗ 1) denses dans S ⊗ S

Autres objets de la théorie :

I

état de Haar h : S → C

I

repr. GNS λ : S → L(H ), S

_r

= λ(S )

I

co-unité ε : S → C (caractère)

I

coreprésentation sur K : u ∈ L(K ) ⊗ S

I

catégorie des corepr. unitaires : C

Le GQD est dit moyennable si S

_r

admet une

co-unité (alors S = S

_r

).

(3)

Produits libres de C

^∗

-algèbres [Voiculescu]

A

₁

, A

₂

C

^∗

-algèbres unifères, 1 ∈ B ⊂ A

_i

I

A = A

₁

∗

_B

A

₂

C

^∗

-alg. univ. engendrée par A

₁

et A

₂

en identifiant les copies de B P

_i

: A

_i

→ B espérance conditionnelle fidèle (E

_i

, η

_i

) construction GNS

I

repr. de A

₁

∗

_B

A

₂

sur E

₁

∗

_B

E

₂

I

image de cette représentation : A

₁

∗

_B,r

A

₂

I

esp. cond. P

₁

∗

_B

P

₂

: A

₁

∗

_B

A

₂

→ B E

₁

∗

_B

E

₂

= ηB ⊕

^M

(ik)∈∪In

E

_i^◦

1

⊗

_B

· · · ⊗

_B

E

_i^◦_n

I

_n

= {(i

_k

) ∈ {0, 1}

ⁿ

| ∀k i

_k

6= i

_k+1

}, E

_i^◦

= η

_i^⊥