Graphes de Cayley des groupes quantiques libres et KK-thØorie

Graphes de Cayley des groupes quantiques libres et KK -théorie

Roland Vergnioux [email protected]

31 mars 2003

Groupes quantiques compacts exemple des groupes discrets

[Woronowicz]

S C^∗-algèbre de Woronowicz δ : S → S⊗S coproduit

Ex. : S = C₀(G), G compact, δ(f)(r, s) = f(rs)

Ex. : S = C^∗(Γ), δ(g) = g⊗g coreprésentation de dim. finie :

v ∈ L(H_v)⊗S tq (id⊗δ)(v) = v₁₂v₁₃

v ⊕ v⁰, v⊗v⁰, ¯v, ... ^I catégorie tensorielle C Théorie « de Peter-Weyl » ^I Irr C

Ex. : Irr C ' Γ, v_g = id_C⊗g v_g⊗v_g0 = v_gg0, ¯v_g = v_g−1

C^∗-algèbre duale : Sˆ = ^L_s∈IrrC L(H_s)

projecteurs centraux minimaux (p_s)_s∈IrrC Ex. : Sˆ = ^LCg = C₀(Γ), p_g = 11_g

Groupes quantiques compacts exemple des groupes discrets

[Woronowicz]

h ∈ S⁰ état de Haar : (h⊗id)δ = (id⊗h)δ = 1_Sh

I S_r ⊂ L(H) image de la représentation GNS

I Sˆ ⊂ L(H), p_r ∈ L(H) proj. orth.

Ex. : h(g) = δ_g,e, H = `²(Γ)

C₀(Γ) ⊂ L(H) multiplication C_r^∗(Γ) ⊂ L(H) repr. régulière p_g proj. orth. sur 11_g ∈ `²(Γ) V ∈ L(H⊗H) unitaire multiplicatif

(V₁₂V₁₃V₂₃ = V₂₃V₁₂)

U ∈ L(H) unitaire involutif Ex. : H⊗H ' `²(Γ)

V (f)(g, g⁰) = f(g, g⁻¹g⁰) U(f)(g) = f(g⁻¹)

Groupes quantiques libres [Wang, Banica]

On fixe Q ∈ GL_n(C) avec n ≥ 2.

A_u(Q) = C^∗(1, u_i,j | u et QuQ¯ ⁻¹ unitaires) où u = (u_i,j) ∈ L(Cⁿ)⊗A_u(Q) et u¯ = (u^∗_i,j)

I Irr C : monoïde libre en u et u¯ avec, pour v = u ou u¯, rv = ¯v¯r et

rv⊗¯vr⁰ = rv¯vr⁰ ⊕ r⊗r⁰, rv⊗vr⁰ = rvvr⁰, A_o(Q) = C^∗(1, u_i,j | u unitaire, Q¯uQ⁻¹ = u)

I Irr C ' N avec ¯r_k = r_k, r₁ = u et r_k⊗r_l = r_|k−l| ⊕ r_|k−l|+2 ⊕ · · · ⊕ r_k+l (si QQ¯ ∈ CI_n)

NB : C^∗(F_n) = C^∗(1, u_i | ∀i u_i unitaire)

Graphe de Cayley groupes discrets Données

I Γ goupe discret

I ∆ ⊂ Γ finie, ∆⁻¹ = ∆, e /∈ ∆ (ensemble des directions)

Approche simpliciale

I s _{= Γ,} a _{= {(r, r}⁰_{) ∈} s² _{| ∃s ∈ ∆ r}⁰ _{= rs}}

I retournement θ : a _→ a_{,(r, r}⁰_{) 7→ (r}⁰_{, r)}

I orientation : a ₌ a_{+ t θ(}a₊₎

I arêtes géométriques : a_{g =} a_{/{θ(a) ∼ a}}

Origine + direction

I s _{= Γ,} a _{= Γ × ∆}

I (o_,b_{) :} a _,→ s _× s_{, (r, s) 7→ (r, rs)}

I retournement : θ(r, s) = (rs, s⁻¹)

Graphe de Cayley

groupes quantiques discrets Données

I groupe quant. discret : S_r, (H, V, U), Sˆ, C

I p₁ proj. central de Sˆ : p₁ = ^P_r∈D p_r

I U p₁U = p₁, p₀p₁ = 0 ⇐⇒ D¯ = D, 1_C ∈ D/ Graphe classique associé à (V, p₁)

I s _{= Irr C,} a _{= {(r, r}⁰_{) ∈ C | ∃s ∈ D r}⁰ _{⊂ r⊗s}}

I θ bien défini : r⁰ ⊂ r⊗s ⇐⇒ r ⊂ r⁰⊗¯s

I structure supplémentaire : arêtes multiples et colorées par D

Graphe quantique associé à (V, p₁)

I espaces de Hilbert : H, K = H⊗p₁H

I Θ = Σ(1⊗U)V (U ⊗U)Σ, K_g = Ker(Θ−id)

I O = (id⊗) et B = O ◦ Θ : K → H

I V : K → H⊗H « extrêmités » NB : Θ² 6= id

Orientation

Hypothèse

Le graphe classique de (V, p₁) est un arbre strict ^I origine 1_C, orientation montante :

a_{+ = {(r, r}⁰_{) | d(r}⁰_{,1C) = d(r,1C) + 1} ⊂} a

Définition

I p_n = ^P {p_r | d(r, 1_C) = n}

I pF₊ = ^P_(r,r0)∈a₊ V ^∗(p_r⊗p_r0)V ,

I pF₋ = 1 − pF₊, p+F = Θ^∗pF₋Θ

I p++ = pF₊p+F, p₊₋ = pF₋p+F, . . .

I K++ = p++K espace des arêtes montantes

On pose F_g^∗ = Bp++ : K_g → H.

Image et noyau de F_g^∗

On suppose que le graphe classique associé à (V, p₁) est un arbre strict.

Proposition B_|K++ est injectif et son image est (1−p₀)H. De plus il commute à S_r modulo des opérateurs compacts.

Théorème Pour tout n ∈ N

(p++ + p₋₋)Θⁿ(p++ + p₋₋) =

= (p++ + p₋₋)Θ⁻ⁿ(p++ + p₋₋).

Théorème La restriction de p++ à K_g est in- jective et son image est

{ζ ∈ K++ | p₊₋Θp++ ζ ∈ Im (id − p₊₋Θp₊₋)}.

Proposition Le groupe quantique discret as- socié à V est un produit libre fini de groupes A_o(Q_i) et A_u(Q⁰_j) avec Q_iQ¯_i ∈ Cid.

Espace H_∞ pour A_o(Q)

Définition

I T = (p₊₋Θp₊₋)_u, S ' p₊₋Θp++

I H_∞ = lim

−→ ((p_k⊗p₁)K₊₋, T)

I i_k : (p_k⊗p₁)K+− −→

can H_∞, P = ^Pi_k(p_k⊗p₁)

Proposition On suppose que Tr Q^∗Q > 2.

Alors R = P S : K++ → H_∞ est borné, surjectif, et Ker R = {ξ ∈ K++ | Sξ ∈ Im (T − id)}.

K_g

p₊₊

K++

B (1 − p₀)H

H_∞

R^∗

Représentation π_∞ pour A_o(Q)

p_lK+−

a

T · · · ^T p_kK+−

a

T p_k+1K₊₋

a

T · · · ^T H_∞

π_∞(a)

K₊₋

P

K₊₋

P

^K+−

P

H_∞ ⁼ · · · ⁼ H_∞ ⁼ H_∞ ⁼ · · · ⁼ ?

Théorème On note ϕ₊₋(a) = p₊₋(a⊗1)p₊₋

pour tout élément a ∈ S ⊂ S_r.

I Soit ζ ∈ (p_k⊗p₁)K+−, alors (P ϕ+−(a)Tⁿζ)_n converge vers un vecteur π_∞(a)(i_kζ) ∈ H_∞.

I (a 7→ π_∞(a)) définit un homomorphisme de S_r dans L(H_∞).

Proposition R^∗ et p_++|Kg commutent aux re- présentations de S_r modulo les compacts.

I F_g^∗+BR^∗ définit un élément γ ∈ KK_Sˆ(C,C).