Exercices sur les intégrales doubles

Exercices sur les intégrales doubles

1 Calculer d d_{2 2}

D

x y x y



^avecD

^{ }

^{x y;}

^

^{2/a2x2y2b2}

^

^{oùa et}b sont deux réels strictement positifs tels queab.

2 On pose^D

 

^{x y;}



^{2/ 1  x 0 ; 1  y x}



^.

Le but de l’exercice est de calculerI e d d^y2

D





x ypar deux méthodes indépendantes.

Commencer par représenter le domaineD.

1^ère méthode :Calculer I directement.

2^e méthode : Déterminer une forme différentielle de degré 1 définie sur ² telle qued e d d^y2 x y ; en déduire le calcul de I.

3 Déterminer

 0 ;1²

lim d d

1 ^{n n}

n

x y x y

  



  ^.

4 Calculer

 

2 2

0 ; 12

d d x y x y



^.

5 Calculer

D



f ^oùf est la fonction définie par ^{f x y}



^,



^cos

 

^{xy et}



^;



^{2/ 1 2 ; 0}

D x y x y 2

x

 

  

      .

6 Calculer

2 d d

D 1

y x y

x 



^oùD

^{ }

^{x y;}

^

^{2/x2y21 ; y0}

^

^.

7 Calculer

D



f ^oùf est la fonction définie par ^{f x y}



^,



^xcos

 

^{xy et} 0 ;

 

0 ;1 D 2 .

8 Calculer ₂ d d

D 1

y x y

x 



dans chacun des deux cas suivants : 1^er cas :^D

 

^{x y;}



^{2/ 0 x 1 ; 0 y x2}



^;

2^e cas :^D

 

^{x y;}



^{2/x0 ; y0 ; 0x2y21}



^.

9 Calculer ² d d

D

x x y



^oùD

^{ }

^{x y;}

^

^{2/ 0 x 1 ; 0 y x2}

^

^.

10 Soita un réel strictement positif.

On note^D

 

^{x y;}



^{2/ x  y a}



^.

Calculer ^{2 2} e d d^xy

D

x y x y



^.

Indication : Utiliser le changement de variables u x y v x y

  

  

 .

11 On pose ^K



^{a b;}

 

^{  ;}



^oùa,b,, sont des réels tels que 0 a b et0   . En considérant

K

e d d^xy x y



, démontrer que e e e e

d d

bx ax b x x

a

x x

x x

  



  

 

^.

démontrer que e e e e

d d

bx ax b x x

a

x x

x x

  



  

 

^.

Soita,b,, des réels tels que 0ab et 0   . Soitf une fonction continue de



^{a ;b}



^dans.

On note F une primitive def sur



^{a ;b}



^.

Démontrer que ^F

   

^F _d ^{b F}

   

^F _d

a

bx ax x x

x x

x x





   







^.

Indication (à donner ?) : Considérer

 

K

d d f xy x y



^{avec K}

^

^{a b;}

^{ }

^{  ;}

^

^.

12 On admet que les propriétés des intégrales doubles pour les fonctions à valeurs complexes sont les mêmes que pour les fonctions à valeurs réelles.

1°) SoitP le pavé

   

^{a b,}  ^{c d,} (a,b,c,d réels tels queab et cd).

Démontrer queP a un côté entier si et seulement si e^{i2x y} d d 0

P

  x y



^.

2°) SoitR un rectangle du plan subdivisé en un nombre fini de petits rectangles qui ont chacun un côté rationnel.

Démontrer queR a un côté rationnel.

Indication : Se ramener à des côtés entiers par homothétie puis utiliser l’additivité.

13 On pose ^D

 

^{x y;}



^{2/x0 ;y0 ;x2y21}



^.

Calculer d d_{2 2}

I _D1

x y x y





  ^.

14 Soitf une fonction définie et continue sur l’intervalle 0 ;R² oùR est un réel strictement positif à valeurs dans.

On noteD le disque fermé de² de centre



0 ; 0 et de rayon



R.

Donner une autre expression de l’intégrale



^{2 2}



^{d d}

D

f x y x y



^.

15 Soitf une fonction définie et continue sur



^{1 ; 1}



à valeurs dans.

On noteD le disque fermé de² de centre



0 ; 0 et de rayon1.



Donner une autre expression de l’intégrale

 

^{d d}

D

f x x y



^.

16 Soitf une fonction continue sur



0 ; 2 à valeurs dans



.

On pose ^D

 

^{0 ;12}. Soit F une primitive def sur



^{0 ; 2 .}



Démontrer que

 

²

 

¹

 

1 0

d d d d

D

f xy x y F t t F t t

  

^.

Applications : Calculer d d

D 1 x y

x y



  ^, D^{ln 1}

^{ }

^{d d}

x y x y



  ^, D^{ex y d d}

 x y



(retrouver le résultat par une autre méthode),

 

^{d d}

D

xy^ x y



^où désigne un réel positif.

17 Soitf une fonction définie et continue sur l’intervalle ^I

 

^{0 ; 1} à valeurs dans.

On pose DI².

Donner une autre expression des intégrales



^max



^,

 

^{d d}

D

f x y x y



^et D

^

^min

^

^,

^{ }

^{d d}

f x y x y



^.

On peut remplacerI par ^I



^{a b;}



^.

18 On pose

2

0 ;2 D  

   . Calculer ^cos

 

^{d d}

D

xy x y



^.

19 Soitf une fonction définie, continue et croissante sur

 

0 ; 1 à valeurs dans.

On pose ^D

 

^{0 ; 12.}

On noteF une primitive def sur

 

^{0 ; 1 .}

Démontrer que

       

¹

 

0

d d 2 0 2 1 4 d

D

f x f y x y F  F  F t t

 

^.

Application : Calculer e^x e^y d d

D

 x y



^.

20 Calculer ^{2 2} d d

D

x y x y



^{avec D}

^{ }

^{x y;}

^

^{2/a2x2y2b2}

^

^{oùa et}b sont deux réels strictement positifs tels que ab.

21 On pose ^D

 

^{0 ; 12.}

Calculer



^{2 3}



^{2 d d}

D

x y x y



^.

22 On pose ^D

 

^{x y;}



^{2/x2y22x0}



^.

1°) Représenter le domaineD.

2°) Calculer ^{2 2} d d

D

x y x y



^.

Indication : Passer en coordonnées polaires.

23 Calculer

2 2 d d

D

xy x y x y



^{avec D}

^{ }

^{x y;}

^

^{2/x0 ;y0 ;a2x2y2b2}

^

^{oùa et}b sont deux réels strictement positifs tels queab.

24 Inégalité de Tchébytcheff 1°) SoitI un intervalle non vide de.

On dit que deux fonctionsf etg définies surI vérifient la condition (S) lorsque



^{x y,}



^I2

 



^{f x}

 

^{f y}

   

^{g x}

   

^{g y}



^0.

Dans ce cas, on peut dire que les fonctionsf etg sont synchrones.

Justifier que la condition (S) est vérifiée lorsque :

· l’une des deux fonctionsf oug est constante ;

· les deux fonctionsf etg ont la même monotonie surI ;

· g f avec réel positif ou nul quelconque ;

· g  f avec réel quelconque.

2°) Dans toute la suite, on suppose que :

·I est un intervalle fermé borné de dont la longueur est égale à 1 ;

·f etg sont deux fonctions définies surI continues par morceaux vérifiant la condition (S).

Démontrer que l’on a :

I I I

f g fg

  

^{ .}

Indication : Considérer

       

2

d d

I

f x f y g x g y x y

     

   



^.

Énoncer une condition suffisante pour qu’il y ait égalité.

3°) Que donne l’inégalité précédente lorsque l’une des deux fonctionsf oug est constante ? 4°) Quelle inégalité obtient-on lorsque fg ? Retrouver ce résultat par une autre manière.

25 Soita,b,c,d quatre réels strictement positifs tels queab et cd. On pose ^D



^{a b;}

 

 ^{c d;}



.

Calculer d d

D

x y



xy ^et



^{Dd dx yxy .}

26 Calculer

 

^{2 d d}

D

xy x y



^{avec D}

^{ }

^{x y;}

^

^{2/x0 ;y0 ;x2y21}

^

^.

27 Calculer



1



² d d

D

x y x y



^avecD

^{ }

^{0 ; 12.}

28 Calculer ² d d

D

x x y



^{avec D}

^{ }

^{x y;}

^

^{2/x0 ;y0 ;xy1}

^

^.

29 Calculer _{2 2} d d

D1

xy x y

x y

 



dans chacun des cas suivants :

1^er cas :^D

 

^{x y;}



^{2/x0 ;y0 ;x2y21}



^;

2^e cas :^D

 

^{0 ;12}.

30 Calculer

2 2

1 d d

1

D

x y x y

 



^{avec D}

^{ }

^{x y;}

^

^{2/x0 ;y0 ;x2y2a2}

^

^oùa est un réel strictement positif.

31 Calculer

2 2

d d

D

x y x y



^avecD

^{ }

^{x y;}

^

^{2/x0 ;y0 ;a2x2y2b2}

^

^{oùa et}b sont deux réels strictement positifs tels que ab.

32 Calculer ln d d

D

x x y



y ^{avec D}

^{ }

^{1 ; e2 puis}



^{Dlnxy d dx y où et} sont deux réels.

33 Calculer ^y d d

D

x x y



^oùD

^{ }

^{0 ; 12.}

34 Soitu une fonction définie et continue sur un intervalle^I



^{a b;}



^{(a et}b étant deux réels,ab) telle que t I

  ^{u t}

 

^{0. On pose D}

 

^{0 ; 1I.}

Exprimer ^{u y } d d

D

x x y



sous la forme d’une seule intégrale surI (en utilisant la fonctionu).

35 Soita un réel tel que 0 a 1. On pose ^D

 

^{x y;}



^{2/a y 1 ; 0 x y}



^.

1°) Calculer e d d

x y D



x y^.

2°) Soitu une fonction définie et continue sur

 

^{0 ; 1 .}

Exprimer d d

D

u x x y y

  



  en fonction de ¹

 

0

d u t t



^{et dea.}

36 Calculer d d

D

xy x y



^avecD

^{ }

^{x y;}

^

^{2/x0 ; y0 ; 0x2y21}

^

en utilisant la formule de Green-Riemann.

37 Soit un réel strictement positif. On pose ^D

 

^{x y;}



^{2/x0 ;y0 ;x2y21}



^.

Calculer d d

D

xy^ x y



de deux manières différentes.

1^ère manière :en utilisant la formule de Fubini 2^e méthode : en utilisant les coordonnées polaires

38 Soitf une fonction définie et continue par morceaux sur un segmentI de. On poseDI².

On considère les intégrales

 

   

^{d d}

D

A f x x y

f x f y





 ^et D

^{     }

^{d d}

B f y x y

f x f y





 ^.

ComparerA etB puis donner leurs valeurs.

Application :

On pose ^K



^{a b;}



^{2, a et}b étant deux réels tels queab. Calculer d d e^{x y} 1

K

x y

 



^.

39 Voir exercice 14 :

Soita etb sont deux réels positifs ou nuls tels queab. On pose ^D

 

^{x y;}



^{2/x0 ;y0 ;a2x2y2b2}



^.

Soitf une fonction continue sur l’intervalle



^{a b;}



^.

On noteF une primitive def sur



^{a b;}



^.

Démontrer que



^{2 2}



^{d d}

   

^{2 2}

D 4

f x y x yF b F a 



^.

40 On pose ^D

 

^{x y;}



^{2/x0 ;y0 ;xy}



^.

Calculer e

d d

e e

x y

x y

D

x y





 ^.

41 Soita etb deux réels positifs ou nuls. On pose^D



^{0 ;a}

 

^{ 0 ;b}



^.

Calculer d d

e^{x y} e^{x y}

D

x y

  



^.

42 Soita un réel positif. On pose^D



^{0 ;a}



^2.

Calculer

 

 

min ; max ;

e d d

e 1

x y x y D

 x y



^.

43 On pose ^D

 

^{0 ;12}.

Soitf une fonction continue sur l’intervalle



^{1 ; 1}



^.

On note F une primitive def sur

 

^{0 ; 1 .}

Démontrer que

 

¹

 

⁰

 

0 1

d d d d

D

f x y x y F x x F x x



  

  

^.

44 On pose ^I

 

^{0 ;1 et DI2.}

Soitf une fonction continue surI.

On noteF une primitive def surI.

Démontrer que

 

¹

   

0

d d 2 d 2 0

D

f xy x y F x x F

 

^.

45 Soitf la fonction définie par ^{f x y}



^,



^{ 1 x2y2.}

Déterminer l’ensemble de définitionD def.

Calculer l’intégrale def surD.

46 Calculer



^{2 2}



^{32 d d}

D

x y x y



^{où D}

^{ }

^{x y;}

^

^{2/x2y22x0}

^

^.

47 Soitf une fonction continue de

 

0 ; 1 dans.

On pose ^D

 

^{x y;}



^{2/x0 ;y0 ;xy1}



^.

Démontrer que

 

¹

 

0

d d d

D

f xy x y tf t t

 

^.

Applications : Calculer d d

D 1 x y x y



^et



^Dcos

^

^xy

^

^{d dx y.}

48 calculer l’intégrale de la fonctionf :



^{x y;}







^x^y



² sur chacun des domaines suivants : a)D1

 

0 ;1²

b)D2

 

x y;



²/x²y²1



.

c)D3

 

x y;



²/x0 ;y0 ;xy1



. 49 Calculer



^{2d d2 1}



²

D

x y x y 



^{avec D}

^{ }

^{x y;}

^

^{2/x2y22 ;x x2y22y}

^

^.

50 Pour tout réelR0, on pose ^{D R}

  

^



^{x y;}



^{2/x2y2R2}



^.

Calculer

 

  ^{2 2}

lim d d

R 1

D R

x y x y ^

  



  ^{( 0 fixé).}

Réponses

1 I 2 lnb

  a (On contrôle que le résultat est bien strictement positif.)

2 e 1

I 2

 

Rappel : dérivée d’une forme différentielle de degré 1

A dx B dy

  

A B

d dx dy

y x

   

      

1^ère idée (qui ici ne s’applique pas)

Soitf une fonction continue de dans etF une primitive def sur.

➀ La dérivée de la forme différentielle ^{ F x}

 

^dy est définie par^{d  f x}

 

^dxdy.

Conséquence :

   

D

d d d

D

f x x y F x y









➁ La dérivée de la forme différentielle ^{  F y}

 

^dx est définie par^{d f y}

 

^dxdy.

Conséquence :

   

D

d d d

D

f y x y F y x





 



^.

Application avecF x

 

1. 2^e idée

Soitf une fonction continue de dans.

➀ La dérivée de la forme différentielle ^{  yf x}

 

^dx est définie par^{d f x}

 

^dxdy.

Conséquence :

   

D

d d d

D

f x x y yf x x



 

 

➁ La dérivée de la forme différentielle ^{ xf y}

 

^dy est définie par^{d f y}

 

^dxdy.

Conséquence :

   

D

d d d

D

f y x y xf y y









Ici xe d^y2 y, on a alorsd e d d^y2 x y.

Par conséquent, ^{2 2}

D

I e d d^y e d^y

D

x y x y











^.

On parcourt l’arc dans le sens direct.

Cet arc est constitué de trois segments de droites₁, ₂ ₃.

1: segment joignant le point



– 1 ; – 1 au point

 

^{0 ; – 1}



 2 segment joignant le point



0 ; – 1 au point

 

^{0 ; 0}



3 : segment joignant le point



0 ; 0 au point

 

^{– 1 ; – 1}



2 1

e d^y 0

x y





 ^{(ycte 1) ;} 2 ²

e d^y 0

x y





 ^{(xcte 1) ;} 3 ^{2 01 2}

e d te d e 1 2

y t

x y t



  

 

4

 

2 2

0 ;12

d d 2 x y x y

 

4 3 0

2 d

3 cos

 







ASTUCE

2 2

4 3 0

2 cos sin

d

3 cos

   

 





4 4

3

0 0

2 sin d

sin d

3 cos cos

 

   

 

 



    





U V '

U 'cos 1₂

V2 cos



4 4 2

0 0

2 sin 1 d

3 2 cos 3 cos



    

 

   





 

ln 2 1

2

3 3

  

tan3 2 1

8

 

5 ln 2

D

f



6 A ₂

1 y y x

 

 

 

2

A 2

2 1

y

  x



 

2

2 2

0 ;12

d d 1 d

1 2 1

y y

x y x

x x

   

 

[0 ;]



^{– 1 ; 1}



avec ₁: t 



^{cos ; sint t}



2: t 

 

^{t; 0}

1

2 1



 



₂ ⁰





Détail du calcul de l’intégrale curviligne sur₁ :

 

2 2 0

1 sin

I sin d

2 1 cos

t t t

t



   





 

2 2 0

1 1 cos

sin d

2 1 cos

I t

t t t

 

   





2 0

1 2

1 sin d

2 1 cos

I t t

t

 





   

 

2 0

0

1 2 sin 1

d cos

2 1 c

I os 2

t t t

t

 

 





– 2 cos

u tÞdu– sin dt t

1 2 1

1 2

d 1 I 1

2 u

u



  





1 2 1

I d

1 1 u

 u

 







Arctan



¹₁

I u _ 1

4 1

I 4

   

I 1

2

 

7 1

D

f 



8

1^er cas :

1 2 2

0 0

I d d

1

x y

y x x

 

 



 

  

1 4

2 0

1 d

I 1

2 x x

 x 





1 4

2 0

1 d

2 1

I x

x x









⁴



1 2 0

1 1

1 d

I 2

1 x

x x

  







²



²



1

2 0

1 1 1

1 d

2 1

I x x

x x

  







1 2

2 0

1 1

1 d

2 1

I x x

x

 





    

I 1

8 3

 

2^e cas : I 1

4 2

 

On utilise toujours la méthode de Fubini.

Variante possible : ₂ d d

D 1 2

y x y

 x



9 1

D 5 f



12

On considère des rectangles R₁, R₂, …,R_n. Ils ont tous un côté entier ¹

1

p q , ²

2

p q , …, ⁿ

n

p q .

Par une homothétie de rapportPPCM



q q1, 2, ...,q_n



, on se ramène à des rectangles qui ont tous un côté entier.

       

i2 i2 i2 i2

' ' '

1 2

e ^{x y} d d e ^{x y} d d e ^{x y} d d ... e ^{x y} d d 0

R R R Rn

x y x y x y x y

            

   

15

 

^{1 2}

 

1

d d 2 1 d

D

f x x y x f x x



 

 

16

 

^{1 1}

 

¹

     

²

 

¹

 

0 0 0 1 0

d d d d 1 d d d

D

f x y x y f x y y x F x F x x F t t F t t

 

 

         

     

L’intégrale d d

D 1 x y

x y



  est proposée dans le cours de l’ESILV et vaut 3ln3 4ln2 . 17 On sépareD en deux triangles D₁ et D₂ : D₁ triangle xy etD₂ triangle xy. On applique la relation de Chasles pour les intégrales doubles.

 

       

1 2

1

0

max , d d d d d d 2 d

D D D

f x y x y f y x y f x x y f t t

   

18 ^cos

 

^{d d}

D

xy x y



Le résultat reste valable pour ^cos

 

^{d d}

D

xy x y



^,



^Dsin

^

^xy

^

^{d dx y …}

Et également, si on prend un pavé…

19 On sépare le « carré »D en deux triangles D₁ et D₂ :D₁ triangle xy et D₂ triangle xy.

           

1 2

d d d d d d

D D D

f x f y x y f x f y  x y f y f x  x y

  

       

1

1 1

0 0 0 0

d d d d d d

D

x x

f x f y x y  f x y x  f y y x

   

     



 

 

  



 

           

1

1 1

0 0

d d d 0 d

D

xf x x F x

x F

f f y x y x

   

  



 

         

1

1 1

0 0

d d 0

d d

D

xf x x

f x f y x y F x x F

 

  



 

  

       

2

1 1 1 1

0 0

d d d d d d

D x x

f y f x x y  f y y x  f x y x

   

  

 

     

    

          ^{   }

2

1 1

0 0

1 d 1 d

d d

D

F F x x x f x x

f y f x x y  

 

  

  

           

2

1 1

0 0

d d 1 d 1 d

D

F F x x x f x

x x y x

f y f  

 

   

  

     

2

1 d d

D

f y f x x y F

 

  



^



^{01F x}

^{ }

^dxF

^{ }

^{1 F}

^{ }

^{0 }



^{01xf x}

^{ }

^dx

         

2

1 1

0 0

0 d d

d d

D

F xf

f y f x x y  x x F x x

 

 

  

   

¹

 

¹

     

¹

 

¹

 

0 0 0 0

d d d d 0 0 d d

D

f x f y x y xf x x F x xF F  xf x x F x x

    

   

¹

 

¹

   

0 0

2 d

d d 2 d 2 0

D

f x f y x y



xf x x



F x x F



     

1 1

0 0

d 1 d

xf x xF  F x x

 

On en déduit que

       

¹

 

0

d d 2 0 2 1 4 d

D

f x f y x y F  F  F t t

 

^.

Application : On trouve^{2e 2 4 e }_{ }^{x 1}₀^{2e 2 4 e 1}



^{  }



^{6 2e} (résultat vérifié avec le logiciel dcode).

24 Cette inégalité est à relier avec l’inégalité de Grüss.

25

d d ln ln

D

x y b d

xy  a c



Le résultat est bien strictement positif.

26

 

^{2 d d}

D

xy x y



Variantes possibles :



²



^{2 d d}

D

xy x y



^;



^D

^

^xy

^

^{2 d dx y ;}



^D

^

^2xy

^

^{2 d dx y}

27



^{1 d d}



²

D

x y x y



^{avec D}

^{ }

^{0 ; 12}

Variantes possibles :



^{1 d d}



²

D

x y x y



^;



^D

^

^{2x y 1 d d}

^

^{2 x y}

28 1

12 (noté le 31-010-2020 sous toute réserve) 29 ln 2 1

2

 (noté le 31-010-2020 sous toute réserve)

33

1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0

d d d d d d ln 2

1 1

y

y y

D

x y

x x y x x y y

y y

    

         

    

Variante possible :^D

  

^{0 ; 1 a b;}



^{oùa et}b sont des réels tels que  1 a b

34

     

   

1 1 1

0 0

d d d d d d

1 1

b b u y b

u y u y

D a a a

x y

x x y x x y y

u y u y

    

        

    

35

1°) ^{1 1 1}

   

¹

0 0 0 0 0 0

e d d e d d e d e 1 d e 1 d e 1

2

y y

x x x

y y y

D

x y  x y y  y y  y  y y 

     

2°)

   

  ^{ }

1 1 1 1 2

0 0 0

d d d d d 1 0 d d 1

2

y y

D a a a

x x x a

u x y u x y yU y y U U y u t t

y y y

     

               

         

          

     

Autre idée : e d d

x y D

x y





36 On chercheP etQ telles que Q P x y xy

  

  .

On peut prendre pourP la fonction nulle et pourQ la fonction définie par

 

^{, 1 2}

Q x y 2x y. 37

1^ère manière :

2 1 2

1 1 1 1

0 0 0 0

d d d d d ...

1

x x

D

x x y y x y x y y

  

         

   

Variante possible : prendre ^D

 

^{x y;}



^{2/x0 ; y0 ; 0x2y2R2}



38

On a AB et A B aire deD.

On en déduit que aire de

 

²

2 2

D b a

A B 

   .

40 ^{1 1}

   

0 0 0

e e e

d d e d d e d d e ln 2e ln e 1 d

e e e e e e

x y y x y

x x x x x

x y x y x y

D D

x y x y y x x

  

 

       

    

    

Variantes possibles :

e d d

e e

x y

x y

D

a x y



 



^oùa est un réel strictement positif

e d d

e e

x y

x y

I J

x y a



  



^{oùI et}J sont deux segments

40

   

2

0 0

d d e

e d d 1 e Arctan e

e e e 1 4

a b y

x a b

x y x y y

D

x y ^ x y ^

 



 

      

   

  

41

On partageD grâce à la droite d’équation xy en deux trianglesT (triangle inférieur) etT' (triangle supérieur).

 

 

min ; max ;

'

e e e

d d d d d d

e 1 e 1

e 1

x y x y

y x

x y

D T T

x y x y x y

 





 

Variante :

 

 

'

min ;

d d d d d d

max ; 1 1 1

D T T

x y x y

x y x y x y

x y  y  x

  

  

43

 

^{1 1}

 

0 0

d d d dy

D

f x y x y  f x y x

    

  

 

¹

 

¹₀

0

dy d d

D

F x f xy x y  y

 

 

¹

   

0

d

d 1

d

D

F x

f xy x y  F x  x

 

 

¹

 

¹

 

0 0

d d

d d 1

D

F x x F

x y y x

f  x   x

 

 

 

¹

 

²

 

0 1

d

d d d

D

F x x F x

f xy x y  x

   

         

1 1 1

1 0

0 0 0

d d 1 d

F x xxF x  xf x xF  xf x x

  

(intégration par parties :^{u x'}

 

¹,

   

v x F x ,^{u x}

 

^x, ^{v x'}

 

 ^{f x}

 

) 44

En utilisant un changement de variable



^{x y;}



^



^{y x;}



, on démontre que

 

^{d d 2}

 

^{d d}

D T

f xy x y f xy x y

 

^oùT est le domaine triangulaire défini par 0 x 1 et 0 y x.

 

¹

 

¹

 

₀ ¹

   

0 0 0 0

d d d d d 0 d

x

x T

f x y x y  f x y y x F x y x F x F x

   

            

 

    

45 8 15

 46 32 15

Exercices supplémentaires

1 1°) Calculer l’aire d’une arche de la cycloïde

C

définie par le système d’équations paramétriques

   

   

sin 1 cos x t a t t

y t a t

  

  

 (a0) dans le plan muni d’un repère orthonormé.

2°) Calculer la longueur d’une arche de cycloïde.

3°) Calculer le volume du solide engendré par la rotation de

C

de l’axe des abscisses.

Résultats :

1°)

A

 3 a² ; 2°) L8a ; 3°) V ' 5 ²a³

2 Démontrer que la fonctionf :xe^x2 est intégrable sur I_ et calculer son intégrale.

Indication : Calculer l’intégrale double def sur^D

 

^{x y;}



^{2/x0,y0,x2y2a2}



^et

 



^{2 2 2 2}



' ; / 0, 0, 2

D  x y  x y x y  a puis considérer l’intégrale double def sur ^D''



^{0 ;a}

 

^{ 0 ;a}



^.