Sur les périodes des intégrales doubles et leurs rapports avec la théorie des intégrales doubles de seconde espèce

A NNALES SCIENTIFIQUES DE L ’É.N.S.

É ^MILE P ^ICARD

Sur les périodes des intégrales doubles et leurs rapports avec la théorie des intégrales doubles de seconde espèce

Annales scientifiques de l’É.N.S. 3^e série, tome 20 (1903), p. 531-584

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SUR LES

PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES

in' LI-:I;'KS itAproiiTs AVI';(; LA THEOKIIL DKS

INTEGRALES DOUBLES DE SECOMJE ESPECE,

PAr. M. IÏMILE PICA1U).

•le me propose d'indiquer 1 r s résultais içenéraux auxquels je suis parv^nn daiis la l.'lî^oric des iEile^rîilcs doiil)!^^^ seconde espèce. J'ai inh'odiîil', dans la Ih^oric d^s ionrJions algébriques de deux variables, deux; nombres ûo e,(; p, (^kl, inon t)nl essenlid est d'indiquer iine relalion cuire ces deux, nombres. La signification de ces nombres a été rap- pelée dans l'article précèdent, où se trouvent énoncés certains faits de calcul qui voni nous être très utiles. Dans cette étude, les périodes de certaines intéu'rales j o u e n t un rôle iniportant. V Ànûhsis situs n'ar 7 <' .«. *•''

cepend.îint été p o u r moi q u ' u n e auxiliaire presque verbale et, en tait,

j ' a u r a i s pu me d i s p e n s e r de parler de cycles, considérant seulement

c e r t a i n e s expressions a n a l y t i q u e s remarquables sous le nom de pé-

riodes, Les personnes q u ' e f f r a i e n t les considérations ^ Anal) sis situs

d a n s l'espace a q u a t r e dimensions n'auront à ce sujet aucun effort à

laire, en laissant s e u l e m e n t de côté quelques paragraphes dont h

l e c t u r e n'est pas indispensable. On trouvera un résumé de ce Mémoire-

d a n s les Comptes rendus (19 octobre 1903},

Sur les périodes des intégrales doubles de première espèce.

I. Je me suis déjà occupé (1) des périodes des i n t é g r a l e s d o u b l e s de première espèce et je reprendrai d'abord, r a p i d e m e n t , en les com- p l é t a n t , les résultats a u x q u e l s j'étais parvenu. P r e n o n s l ' i n t é g r a l e d o u b l e de première espèce

C fç^'jL-i! ^h^^

j J " ~ n

et e n v i s a g e o n s la courbe entre x et z de g e n r e / ? , p o u r y a r b i t r a i r e (0 /(,:rJ^)=o.

Les 2.p périodes de l'intégrale ( i c i de p r e m i è r e espèce)

( Q ) f0^^-,.,!)^

^ J J".

sont des f o n c t i o n s de y, s a t i s f a i s a n t à r é q n a t i o n d i f l e r e n t i e l l e l i n é a i r e q u e n o u s appelons E, et d o n t les p o i n t s c r i t i q u e s h c o r r e s p o n d e n t a u x p o i n t s simples de la s u r f a c e où le p l a n t a n c e n t est p a r a l l è l e a u p l a n des zx. C o n s i d é r o n s u n cycle 1' de la. c o u r b e ( ï ) , se d é f o r m a n t avec y et r e v e n a n t à sa p o s i t i o n i n i t i a l e q u a n d y , a y a n t d é c r i t u n c e r t a i n c h e m i n f e r m é C, r e v i e n t l u i - m ê m e a son p o i n t de d é p a r t . Ou o b t i e n t é v i d e m m e n t de cette m a n i è r e u n cycle à d e u x d i m e n s i o n s , q u i d o n - nera n a i s s a n c e à u n e p é r i o d e de l ' i n t é g r a l e d o u b l e . Le cycle F sera ça ra c t é r i s é p a r ce fa. i. t q u e 1 a, p é r i o d e c o rr e s p o n cl a s 11 e

o)(j)

de l ' i n t é g r a l e (2) revient à sa v a l e u r i n i t i a l e , q u a n d y d é c r i t la c o u ri) e C. C e s c o n s i d, é ra, f i o n s gé n é ralise n t c e 1,1 e s q u. (i n o 11 s a v o n s

(I) 15. Pi C'A ni), Sur les périodes des inlé^'rcdes doubles dans la l/iaoric dc^ fou ct'iotis algébriques de deiu: variables ( Co/np/es rendus, 1 8 novembre et 23 décembre i y o i , o L

Annales de l'Ecole Normale ffupéf'iciu'o, i9o'2).

employées pour obtenir les résidus dos intégrales doubles; dans ce cas, le cycle F se réduisait à un contour intiniment polit autour d'un pôle.

2. Nous a l l o n s é t u d i e r la forme a n a l y t i q u e de l ' i n t é g r a l e J^>(,y)</y

prise le long (lu contour C. Cette étude nous f e r a c o n n a î t r e c e r t a i n e s e x p r e s s i o n s a n a l y t i q u e s remarquables, qui nous c o n d u i r o n t d'elles- mêmes a généraliser le mode de génération des périodes de n o t r e i n t é g r a l e double.

Désignons par

/^i, ^, . . . , ^

les points c r i t i q u e s de l'équation difFérentielle E (N désigne ici la classe de la surface ).

Nous j o i g n o n s ces p o i n t s a un point a du plan de la variable y, et nous c o n s i d é r o n s les d i f l e r e n î s l a c e ( s ah^ah^, . . ., a//^ formés, con'nne d ' h a b i t u d e , d'un c e r c l e i n f i n i m e n t petit a u t o u r d'un point b et d'un chemin allaul de a a ce cercle (//^. î } .

P o u r c h a q u e p o i n t c r i t i q u e y == &, l ' é q u a t i o n fondamentale déter-

• m i n a n t e de E a u n e r a c i n e d o u b l e . Cette racine d o u b l e correspond ( v o i r loe. cU.) a u n e i n t é g r a l e l i o l o m o r p l i c ( î ( y ) , et une intégralo non b o l o m o r p b e Q''( y ) c o n t e n a n t u n terme l o g a r i t l i m i q u e logû(y— b), de t e l l e sorte q u e l'on a i l

^(j) =/(j) -h ^£2(y) \^{y- ^

534 EMILE pîCAm:).

/Cy) é t a n t , comme û(j), h o l o m o r p h e a u t o u r de y == ^. Los 2/9 — 2 a u t r e s intégrales, f o r m a n t avec 0 e t û ' u n système f o n d a m e n t a l , s o n t holom.orphes a u t o u r de y == b.

Ceci rappelé, t o u t cliemin G p a r l a n t de a et y r e v e n a n t se r a m e n é a u n e somme de lacets parcourus dans u n ordre q u e l c o n q u e . D é s i g n o n s d ' u n e m a n i è r e générale par

^0-)

la période de l'intégrale ( 2 ) , liolomorplie a u t o u r d u p o i n t y = b^ et q u i correspond à la r a c i n e double : elle est p a r f a i t e m e n t d é f i n i e de 1^

en a sur le lacet.

Une période q u e l c o n q u e ^)(y) de l ' i n t é g r a l e (.2), q u a n d y t o u r n e a u t o u r du p o i n t &/, se r e p r o d u i t à un terme a d d i t i f près de la, ( o r m e

in i iî. i ( } ' ) ( m.. i c l ; \ \\ l u 11 e 1 1 1 i <k i • ),

comme il. r é s u l t e imîn.édiît.terrK^Tt de la fbrm(* de. la p é r i o d e a p p e l é e î o u l il l'heure d ' u n e m a n i è r e fi'énérale Û'(y), toistes les a,utres |>ériodes é t a n t hokHYH)'rphes a u t o u r de h [ .

Donc, q u a n d y d é c r i v a n t u n cliemin f e r m é C r e v i e n t a u p o i n t d » * départ, l ' i n t é g r a l e considérée œ(,y) de l ' é q u a t i o n I j n é a i r e K s'aug- m e n t e d ' u n e expression de I.a foniK,;

^

^y^

la s o m m a t i o n s ' é t e n d a n t à u n certain n o m l ) r e (Je i:)oijj(,s h^ Si l ' i n t é - grale QJ r e v i e n t à sa v a l e u r i n i t i a l e , on devra avoir

^m,^(j)=::r0.

Q u a n t a la valeur de l'intégrale

( 3 ) f^Wdy J i\

le l o n g du c o n t o u r G, elle est facile à calculer; sur le lacet ah^ il reste, après suppression de termes se détruisant à l'aller et au r e t o u r ,

,r^,(y)^ ^r

m., 1

^(>

^/,.-

SUR LES PÉ1UODES DES INTÉGRALES D O U B L E S , ETC. 53.ï

et, par s u i t e , /a valeur de l'intégrale (3) ^

Ci) S

"-/^

-^^)^.

^,

Dans cette expression Q/(.y) est d é f i n i e sans a u c u n e a m b i g u ï t é . le long (lu c h e m i n / ^ a . D ' a i l l e u r s l'expression (^i) ne dépend pas du p o i n t c h o i s i a, coin. me il r é s u l t e I m r n é d i a t e m e n t de l ' i d e n t i t é

(5) ^jtcsstm!^i^=o'

3. Les c o n s i d é r a t i o n s précédentes a p p e l l e n t d o n c n o t r e a t t e n t i o n s u r les e x p r e s s i o n s de la forme (/i), c o r r e s p o n d a n t a u n e i d e n t i t é de la tonne (5). U n e q u e s t i o n se pose d ' e l l e - m ê m e :

Une expression (4), V identité (5) étant supposée salis/aile, peut-elle être envi sa ^'ce comme une période de l\n.légrcde double

r f Q f . r , y, 3) (icdy ^ J j ---——-^^-——^^^^^ •

N o u s ej't t ornions par/^mWô' de rinlé^rcde double, de la m a n i è r e la p l u s g é n é r a l e , l ' i n t é g r a l e p r i s e le long (Vun cycle à deux dimensions, (^(^(^{^(lir^ ( l ' i s n eonlinun.m f e r m é à deux d i m e n s i o n s à chaque p o i n t d u q u e l ne c o r r e s p o n d q u ' u n e seule v a l e u r de ( x , y , -s).

La réponse à la (juesiion posée est cifjïrmatwe, comme nous allons l ' é t a b l i r . Soit d o n c l ' i d e n t i t é

( G ) in^l^(y) 4 - . . . ~t- m/2s(y) •== o (les m étani entiers),

e n t r e u n c e r t a i n n o m b r e de Fonctions û, on va m o n t r e r qu'il existe un certain cycle à deux dimensions, tel (fue la valeur de ï intégrale double

r r(H.^ y . ^ d x d y J J ^ ~ f l " '

prise le lon^ de ec cycle esl égale à

( 7 ) m, ( Q,(y)dy~\-. ..-4- m, f ^(y)dy.

Jh, ^J^

Cette v a l e u r est d'ailleurs manifestement indépendante de la con- stante a.

53() KMÎLE P I C À U I ) .

G o il s i d é ro n s 1' i n t é g l'a 1 e

m,9.\ (y)

de l ' é q u a t i o n E, en d é s i g n a n t par û\ l ' i n t é g r a l e r e l a t i v e au p o i n t ^, d é j à envisagée au n° 1. Q u a n d y p a r t a n t de a d é c r i t le lacet /^, r i n l é - grale m, 0', s ' a u g m e n t e de

^i^i(j).

I l f a u t i n t e r p r é t e r ce tait a n a l y t i q u e au point de vue de la géométrie de situation. Soien t, d ' u n e m a n i è r e g é n é r a l e , sur la surface de R i e m a n n e n t r e x et z donnée par Péq nation

f{x,j^.z)-=:o

pour la v a l e u r r, r\ le c o n t o u r c o r r e s p o n d a n t à D, (r) el I", le c o n t o u r c o r r e s p o n d a n t à H. Partons du c o n t o u r

m^

p o u r j = = = a\ le c h e m i n e m e n t d o j se p r o d u i s a n t , ce c o n t o u r se d é p l a c e en se d é f o r m a n t , et, q u a n d y r e v i e n t en a, on a le c o n t o u r

/niF^-h- ^iFf.

Il est, c l a i r q u e , p e n d a n t la d é f o r m a t i o n , on entendre, ainsi (ifie sur- face ouverte, m a i s avec le seul bord

m^

et la v a l e u r de l'intégrale d o u b l e correspondant à cette s u r f a c e o u v e r t e

est

m, ( ^(j)^y.

^

De la même façon, les di/érents autres termes de la somme ( ^ ) con'es- pondroni à des surfaces ouvertes avec les bords

m^ ..., m.,T^

17 ayant la s i g n i f i c a t i o n analogue à 1^ quand h, remplace ^.

Nous avons donc s surfaces ouvertes avec les a bords i n d i q u é s . D'autre part, p o u r j arbitraire, les .y contours

m/Fi, m^T^ .. ., ////r,

SUR LES P É R I O D E S DES I N T É G R A L E S DOUBLES, ETC. 537

l i m i t e n t , sur la surface de R i e m a n n ,

f{x,^,z)=o,

une certaine portion P de la surface, comme il résulte de Fidentité (6) qui exprime que les s intégrales

P.i(j), .... ^(y)

ne sont pas d i s t i n c t e s .

Considérons, en p a r t i c u l i e r , la portion P", sur les surfaces corres- p o n d a n t à y == a. Celle, portion P'², avec les s surfaces owertes envisagées ci-dessus, forme une surface fermée, qui est un cycle à deux dimensions;

la v a l e u r de l ' i n t é g r a l e d o u b l e sur cette surface est précisément l'expression (7) d o n n é e par les s surfaces ouvertes, puisque sur la p o r t i o n P", c o r r e s p o n d a n t à y ~== a, l'intégrale est n u l l e . Le théorème énoncé e^t donc établi.

11 est i m p o r t a n t de r e m a r q u e r q u e n o u s n'avons pas à nous préoc- c u p e r do. savoir si la p o r t i o n P" c o n t i e n t ou non des p o i n t s à l'infini, p u i s q u e l ' i n t é g r a l e d o u b l e d o n t n o u s sommes p a r t i est de première espèce. 11 en serait a u t r e m e n t p o u r u n e i n t é g r a l e double q u i devien- d r a i t i n f i n i e à l ' i n f i n i p u i s q u e l ' i n t é g r a l e s u i v a n t e P^ p o u r r a i t n'avoir a u c u n sens. Nous r e n c o n t r e r o n s ce cas dans la section suivante.

4. On d o i t n é c e s s a i r e m e n t se d e m a n d e r si toutes les périodes de l ' i n t é g r a l e d o u b l e p e u v e n t être engendrées au moyen des cycles à deux d i m e n s i o n s q u e n o u s v e n o n s de considérer. Nous allons établir q u e t o u t cycle à d e u x d i m e n s i o n s , situé t o u t entier à distance finie, est s u s c e p t i b l e de la g é n é r a t i o n précédente. Nous emploierons, à cet etîet, q u o i q u e dans des circonstances plus compliquées, le même genre de r a i s o n n e m e n t s qu'à la page 58 du Tome 1 de notre Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes, quand nous avons é t u d i é les périodes d ' u n e i n t é g r a l e d o u b l e de fonction ration- n e l l e p o u r u n c o n t i n u u m f e r m é à distance f i n i e .

C o n c e v o n s d o n c r e l a t i v e m e n t à la fonction algébrique z de x et y d é f i n i e par

/(.r,y,^)=:o

u n cycle à deux dimensions situé à distance finie.

Ann. /:c'. Aorm., ( 3 ) , X X . — DÉLEMUIIE njo3. 68

538 EMILE PICAÏU).

Posons

x -=- x^ -l- ix^ y =r j'i -+- </2 ;

t o u t e surface à deux dimensions sera représentée par deux r e l a t i o n s entre x^ a ^ , y ^ y ^ . De même le c o n t i n u u m critique C sera repré- senté dans l'espace à quatre d i m e n s i o n s réelles

(.•ri,.^, ji, y 2 )

par deux relations entre les quatre lettres x^ x^, y ^ e t y ^ . P o u r u n e valeur donnée ày^, nous avons sur ce c o n t i n u u m un e n s e m b l e à u n e dimension de valeurs de x^ oc^ e t y ^ , que l'on p e u t regarder comme représentant un certain nombre de courbes gauches a d a n s l'espace a trois dimensions (^, o^, y^ ) ; il faut d'ailleurs à chaque valeur de a',,

x'!^ y\ -> y 2 associer la valeur correspondante de ^, de sorte q u e n o u s e n t e n d o n s par courbe a le lieu des p o i n t s (^,, .'x^, y \ ) \ p o u r u n e valeur dey^ ^vec association des valeurs corrospondanles de s.

Chaque plan

y^ ^= const.

rencontre les courbes a en un certain nombre de p o i n t s t o u j o u r s eu même nombre, à savoir : le n o m b r e des p o i n t s de r e n c o n t r e de C avec u n plan arbitraire parallèle au p l a n des zx.

Sauf pour certaines valeurs de Va en n o m b r e f i n i , l ' e n s e m b l e des courbes a ne présente pas de p o i n t s m u l t i p l e s ; les v a l e u r s de y^, pour lesquelles cet ensemble a un p o i n t m u l t i p l e , c o r r e s p o n d e n t a u x coefficients de z d a n s les valeurs de y pour lesquelles le plan corres- p o n d a n t parallèle au, plan des zx est tangent à la courbe C ( e t en m ê m e temps à la surface). Ces valeurs d e y sont celles q u e n o u s avons con- stamment désignées par b^ et qui o n t joué d a n s toutes nos recherches un rôle capital. Pour les valeurs de y^ correspondant au coefticient de i dans un des 6, deux courbes a a u r o n t un p o i n t c o m m u n , for- mant un p o i n t double pour l'ensemble des courbes a. Soit pour la valeur b considérée

b == b^ -h ib.i ;

pour Va voisin de 62 ⁽"^ un, peu inférieur, les courbes a dans l'espîi (,z-i, ^,y,) n'ont pas de p o i n t double, mais deux branches passe

dans 1 espace passent

SUR LES P É K Ï O D E S DES IINTÉGUALES D O U B L E S , ETC. 53c)

très près l'une de l'autre. Poury^ == b.^ ces deux branches se ren- contrent, et pourj^ supérieur à b^ elles ne se r e n c o n t r e n t pas, de sorte que, au m o m e n t du passage de y, par &,, les deux branches se sont traversées; ce fait est à r e t e n i r p o u r ce q u i va suivre.

R e v e n o n s à notre cycle S à deux d i m e n s i o n s . Cette surface étant t o u t e n t i è r e à distance f i n i e , il n'y aura de p o i n t s de la surface que pour des v a l e u r s dey^, comprises e n t r e deux l i m i t e s a^ et <^., ( a ^ <; a.»).

Quand y.^ en croissant d e v i e n t égale à a,, u n e courbe fermée corres- p o n d a n t e de S c o m m e n c e à p a r a î t r e , et l'on p e u t la représenter dans l'espace (.r,, .z^, y ^ ).

Deux cas p e u v e n t se p r é s e n t e r : ou bien c e t t e c o u r b e se r é d u i t à u n p o i n t , ou elle est la l i m i t e de deux courbes q u i sont v e n u e s se con- f o n d r e ; d a n s t o u t e a u t r e hypothèse, la surface S ne s e r a i t pas f e r m é e . On p e u t f a i r e abstraction de la p r e m i è r e hypothèse, car, si poury.> == a^

la c o u r b e se r é d u i s a i t à u n p o i n t , i l a r r i v e r a i t q u e , p o u r y^ a r b i t r a i r e , la c o u r b e c o r r e s p o n d a n t e , e x t e n s i o n de ce p o i n t , ne t o u r n e r a i t pas a u t o u r des courbes a, et l ' o n p o u r r a i t , par u n e d é f o r m a t i o n c o n t i n u e , r é d u i r e à zéro, sans r e n c o n t r e r a u c u n e s i n g u l a r i t é , u n e portion f e r m é e de la s u r f a c e q u i p o u r r a i t être s u p p r i m é e . Nous avons donc, p o u r y ^ = = a , , u n e c e r t a i n e c o u r b e e n v e l o p p a n t q u e l q u e s - u n e s des lignes a ; q u a n d y^ croît, cette courbe se dédouble, et l'on a ainsi, p o u r y ^ a r b i t r a i r e , des couples de courbes q u i , pendant la variation c o n t i n u e d e j ^ , ne p e u v e n t d i s p a r a î t r e que deux à deux en venant à c o ï n c i d e r . N o u s désignerons par C une de ces courbes, correspon- d a n t à une valeur d ' a i l l e u r s q u e l c o n q u e de y.^ Faisons croître y^

d e p u i s a^ ; on aura a i n s i u n e suite c o n t i n u e de courbes C, et la sur- face S p o u r r a être ainsi décrite tout entière en faisant varier d'une m a n i è r e c o n t i n u e y^ ( n o n pas nécessairement toujours dans le même sens) et en r e v e n a n t en a^ avec la position initiale de C.

5. Nous allons m a i n t e n a n t déformer S, en déformant chacune des courbes G. F i g u r o n s (fig. 2), pour une valeur de y ^ , la courbe G et les lignes a dans l'espace Çx^, x^, y ^ ).

Tant q u e j ^ ne rencontre pas une valeur singulière désignée plus h a u t d ' u n e manière générale par b^ on peut faire glisser en quelque sorte la courbe G, sans rencontrer les lignes correspondantes a, de

54 0 EMILE PICARD.

manière à lui faire prendre u n e position F dans le plan j j = = K (K étant, une constante fixe),

cette opération se faisant elle-même d'une manière continue quandya varie. Mais poury^ ^ ^•^ on a deux lignes a se rencontrant, et il peut

arriver que Fon ne puisse plus déformer C en l'amenant dans le plany^ === K, sans traverser a. C'est ce qui arrivera dans les figures 3 et 4y en supposant dans la figure 3, que le plan y^ = K soit au-dessous

Fi^. 3. Fig. /,.

du point double A de a. Les deux figures précédentes représentent d'ailleurs tes deux circonstances essentiellement différentes pouvant se présenter; les autres cas étant des cornbinaisous de ces deux cas.

Pour Va voisin de b^ on pourra bien faire glisser C de manière à

SUR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES D O U B L E S , ETC. 54 î

l'amener dans le plan y ^ —- K, mais voici la circonstance qui va se présenter. L'opération qui amené C dans ce plan ne se fera pas d'une m a n i è r e c o n t i n u e à l ' i n s t a n t du passage dey^ par la valeur &^. En d'autres termes, pour y ^ = Z ^ — £ et p o u r y^ == &;_>-+-^ (£ et € très p e t i t s ) , la courbe Co et la courbe i n f i n i m e n t voisine Cy correspondant a ces deux valeurs dey^ n'auront pas été ramenées dans le planji === K a deux courbes i n f i n i m e n t rapprochées.

La raison en est que deux branches de la ligne a se sont traversées quand y^ est passée par b.^. Il est facile de voir dans quelle dépen- dance sont les deux transformées 1^ et F^ de G(, et Cy après les glis- sements les a m e n a n t dans le plan y\ == K.

Prenons d'abord la figure (3). Les dessins suivants Çfeg' 5) sont

Fi^. 5.

fails dans le plan y ^ == K ; on désigne par m^ et m^ les points de ren- contre avec ce plan des lignes a qui correspondent à ja == 62— £ et par m\ et/n^ les points de rencontre avec le même plan des lignes a correspondant àja = ^-t-⁶⁷- L'un des dessins correspond à y^==b^— £ et l'autre à .y^ = b^ + e.'.

On voit de suite que le cycle Fy est équivalent au cycle Fo plus le cycle correspondant à une courbe tournant autour de m^ et ma.

Les circonstances sont différentes avec la figure 4- O^{11 a} alors les

Fi^. 6. Fig. 7.

dessins suivants {/lg. 6 et 7) : les contours Fy et 1^ sont les mêmes, mais le sens de la flèche est changé.

54.2 É M I L K P I C A U D .

6. Ceci posé, suivons la d é f o r m a t i o n de la surface S o b t e n u e en r a m e n a n t chaque courbe C dans le plan y^ = K. Cette déformation se fait d ' u n e m a n i è r e continue, sauf q u a n d y 3 passe par une valeur dési- gnée par 62 ^ que l'un ou l'autre des cas du paragraphe précédent se présente. Supposons que nous soyons dans le cas de la figure 3, et gar- dons les n o t a t i o n s du paragraphe précédent. Dans la surface déformée les l i g n e s F(> et F^ qui correspondent à deux valeurs très voisines de y.> ne sont pas très voisines l'une de l'autre ; on passe d ' u n e manière c o n t i n u e de l ' u n e à l'autre en déformant F(, de F(, en Co dans l'espace (^•i, x^ y^ &2 — ^£)» P"^{18 en} ^àï\t de Co en Cy sur n o t r e surface i n i - tiale S, et enfin amenant Cy en F^ dans l'espace (^, x^ y^ b^ -(- £').

Or, on p e u t réaliser a u t r e m e n t et d ' u n e m a n i è r e é q u i v a l e n t e ce pas- sage de 1^ en F^. Considérons, a cet effet, le cycle Fo q u i est dans le c o n t i n u u m

( 1 > ) y r r K.-4- ^ ^ , — 5 )

et q u i est sur la surface de K i c m a n n entre x et z

/ ( J f , J ' , ^ ) = 0.

Faisons p a r t i r y de la v a l e u r ci-dessus, et faisons décrire à celte variable dans son plan un contour fermé a u t o u r du p o i n t h^ dans un sens convenable, et en supposant que sur ce c o n t o u r la valeur de y^

s'éloigne peu de ^. Le cycle F(, se transformera, d'après ce q u e nous avons vu dans bien des circonstances, p a r c e t t e c i r c u l a t i o n en u n cycle ayant la forme de F^, et q u i sera, si l'on veut, Fy dans l'espace (x^ oc^y^ ^2 •— ^ î ^ surface engendrée p e n d a n t ce déplacement, augmentée de celle qui correspond au transport de la courbe F^ de l'espace (x^, ^Vi » ^2 — ^£) ^a ^ courbe F^ de l'espace (x^, oc^y^, b^ -+- s').

Ce second mode pour passer de Fy à Y[ est é q u i v a l e n t au premier, c'est-à-dire d o n n e la même valeur pour l'intégrale double sur les sur- faces correspondantes. Nous avons donc faà disparaître la disconii- mdté dans ici déformation de la surface obtenue en d é f o r m a n t la

courbe C en cycles dans le plan de la variable x p o u r y == K 4- </2,

et, par suite, nous pouvons substituer à la surface S une surface con-

SUR LES P É R I O D E S DES I N T É G R A L E S D O U B L E S , ETC. 5 \3

uexe formée de lignes F, a la c o n d i t i o n d ' a j o u t e r la p o r t i o n dont il v i e n t d ' ê t r e parlé et qui est elle-même formée de cycles correspondant à y = = c o n s t . De là résulte que nous n'avons à envisager, pour le calcul de la période, qu'une i n t é g r a l e de la forme

^(y)df

prise p o u r u n c h e m i n c o n v e n a b l e de la v a r i a b l e y . Si d o n c , en décri- v a n t notre s u r l a c e c y c l i q u e S avec la courbe C, nous ne rencontrons, p o u r les valeurs singulières de y.^, q u e le cas de la figure 3, la période sera obtenue par l'intégrale précédente, où (^(y) est u n e période de

Ç ( } { x , y , z ) d x

j ' ~ A ' î

prise le l o n g d ' u n c h e m i n fermé convenable, ce qui démontre bien le résultat é n o n c é et nous c o n d u i t aux formes étudiées au n° 3.

Les choses se présentent sous u n e forme un peu différente dans le cas de la f i g u r e /g. 11 n'est pas possible, en effet, de trouver un c h e m i n d a n s le plan de la variable y m e n a n t de Fo à T^. Nous allons calculer d i r e c t e m e n t la valeur de l'intégrale double prise ie long de la s u r f a c e e n g e n d r é e par le déplacement de la courbe Fo de l'espace (.r,, x^ y^h.2 — s) a la courbe I^, d u même espace, après avoir passé par les courbes C., et C'.,. Nous ne changerons pas la valeur de l'inté- grale d o u b l e si nous s u b s t i t u o n s à (^ et C/y deux courbes de même forme mais très v o i s i n e s de A, et les supposant respectivement dans les espaces

(.z'i, ^2,yi, ^â"- s) ^ (^1^2,y^ ôâ-i-^)-

La surface en question pourra alors être engendrée en laissant d'abord y y égal à /^ — £ et faisant v a r i e r y< et déformant en main- t e n a n t r,p de m a n i è r e que, y ^ é t a n t très voisin de ^ (en posant c o m m e p l u s h a u t b == 6/+ ih^ et b, étant Vy, du point double A), la t r a n s f o r m é e ï\ de Fo soit de d i m e n s i o n s très petites et très voisines de A, p u i s e n f i n avec y.^= b^ + £/, on aura une surface résultant de la d é f o r m a t i o n de F, et se t e r m i n a n t à une courbe Fp avec y , très v o i s i n de b^ qui est de d i m e n s i o n s très petites et très voisine de A ;

544 EMILE PICARD.

outre ces deux surfaces, il y aura des surfaces de dimensions très petites reliant F, à Ci, puis C^ à C\ et enfin C\ à T\.

L'intégrale prisele long des trois dernières surfaces est négligeable, c'est-à-dire qu'elle donne zéro quand les dimensions de Ci, C\, F, eti^

t e n d e n t vers zéro, et il reste comme valeur de notre intégrale sur la surface limite

2 / ^cy)<r, r'

^).

û(j) correspondant au cycle r (c^est la notation déjà employée), et en posant

À = K -4- ib^

Les deux perlions de l'intégrale ne se d é t r u i s e n t pas, il y a au con- traire multiplication par deux, parce que le sens sur le contour a changé, comme l'indique la figure 4. En définitive, le passage de y^

par &a amène le changement de signe de Û, en même temps qu'il faut ajouter l'intégrale ci-dessus ; il revient au même de dire que l'on intègre

j ^ (y) dy

le long d'un chemin q u i passe par le p o i n t s i n g u l i e r y = & , œ ( y ) arrivant au voisinage de ce p o i n t avec la d é t e r m i n a t i o n û(y), mais, après le passage dey par b, on doit changer le signe de o->(y).

On pourrait donner u n e forme analogue au résultat trouvé p l u s haut relatif à la figure 2, en d i s a n t que l'on prend l'intégrale

j ( ^ ( y } d y

le long d'un chemin passant par le p o i n t c r i t i q u e b; en ce p o i n t co(y) devient alors i n f i n i e (comme un logarithme), et, après le pas- sage dey par b, on doit augmenter œ(y) de û(y).

En c o m b i n a n t les résultats précédents, nous voyons que l'intégrale double prise le long du cycle S peut s'obtenir de la manière suivante : soit co(y) une période convenable de l'intégrale

r Q ( ^ , y , s ) c i u ; J ——yr——7

SUR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOUBLES, ETC. 545

on formera l'intégrale

J ^(j)<r

dans le plan d e l à variable complexe y le long d ' u n chemin D pouvant passer par les points singuliers désignés d'une manière générale par &. Quand I) traverse le p o i n t singulier b^ on doit augmenter co(.r) de

^°"Kj),

[j^ é t a n t un entier positif ou négatif, et û/(y) ayant la s i g n i f i c a t i o n du n⁰ 2. De plus, en r e v e n a n t au p o i n t de départ 0 sur le chemin D, on doit retrouver la détermination i n i t i a l e deco(j), puisqu'on revieni a la même courbe C sur la surface S. La v a l e u r de l'intégrale est alors facile a calculer. F i g u r o n s le chemin I) avec les trois points, A ) ,

^\s. ^

^2» (^ C/^- <s)» P01-111 <lxer les ^kes et le p o i n t de départ 0. Soit, en o u t r e , a u n p o i n t quelconque dans le plan; traçons

cib^ ab^ cib^

q u e l'on va regarder comme les lignes doubles. Au lieu de prendre l'intégrale

J^)(.y)^y

sur le contour D, on p e u t la prendre sur le contour

0 bi abi b^ ab.î b^ ab^ 0,

Ann. Kc. Norm. ( 3 ) , XX — DÉCEMBRE igoS. "O

5ZgC) EMILE PICARD.

en supposant que, aux points correspondants de ab^ et de b^a, la diffé- rence des valeurs de œ(j) est ;j./û^(j), le saut brusque ayant alors lieu en a. D'ailleurs, comme on doit retrouver la même valeur en o, il faut manifestement que l'on ait l'identité

^ï^(a)=o.

Enfin, la valeur de l'intégrale sera

^^J^>/'a,(J)r/y.

Par s u i t e , toutes les périodes de notre intégrale double peuvent être obtenues au moyen des combinaisons envisagées aa n° 3. Le résultat énoncé au commencement du, n,° 4 est donc établi.

7. Dans la forme a n a l y t i q u e que nous avons d o n n é e aux périodes de l'intégrale double figurent les fonctions ti(r) relatives a cbaqin1

p o i n t s i n g u l i e r .

On pourrait, sans parler de ces périodes p a r t i c u l i è r e s de l'intégrale abélienne

(8) fO^r^)^'

j ~ ~jr—

donner encore la forme suivante aux périodes de l'intégrale d o u b l e . Soit toujours a u n p o i n t a r b i t r a i r e m e n t choisi ; considérons u n e inté- grale û^(j) de l'équation (litférenfcielle linéaire E relative aux périodes de (8), et supposons q u e y p a r t a n t de a y revienne après avoir décrit un chemin C, autour de h, et avec la d é t e r m i n a t i o n o^(j); on f a i t a i n s i pour un certain nombre de points s i n g u l i e r s b. Supposons e n f i n que l'on ait l'identité

(9) S^^.D^^^Ky).

Alors l'expression

(îo) i^^^

est une période de l'intégrale double. Il est clair, d'après l'identité (9), que l'expression (10) ne dépend pas de a.

Sljn LES PÉRIODES DES INTÉGRALES D O U B L E S , ETC. 547

Dans tous les numéros précédents, nous avons supposé, comme il était permis, que la surface algébrique/avait u n e position quelconque par rapport aux axes de coordonnées; dans ces conditions, les points singuliers b de l ' é q u a t i o n d i f f é r e n t i e l l e l i n é a i r e E, qui a j o u é un rôle capital dans toutes nos recherches, possèdent des propriétés d'une remarquable simplicité qui nous ont été très utiles. Enonçons seule- r u e n t p o u r le moment u n e remarque i m p o r t a n t e pour le cas, peu i n t é - ressant au point de v u e théorique général, mais qui peut se ren- contrer dans des a p p l i c a t i o n s particulières, où les axes de coordonnées a u r a i e n t u n e position p a r t i c u l i è r e par rapport a la surface. Les p o i n t s singuliers de l ' é q u a t i o n ( E ) p e u v e n t être alors de n a t u r e plu? com- p l i q u é e , mais les expressions ( r o ) , sous la c o n d i t i o n (f)), sont encore é v i d e m m e n t des périodes de l ' i n t é g r a l e double. Toutefois, et c'est là le p o i n t que n o u s v e n o n s s i g n a l e r , tous les cycles à deux dimensions de la surface algébrique ne pourront pas toujours être engendrés de cette manière, en r a m e n a n t à u n seul p l a n y = = ^ , c o n t r a i r e m e n t au théo- rème q u e nous v e n o n s de d é m o n t r e r p l u s l i a n t , dans la d é m o n s t r a t i o l ^ d u q u e l la n a t u r e s i m p l e des p o i n t s s i n g u l i e r s b a j o u é u n rôle. Nous le m o n t r e r o n s sur u n e x e m p l e d a n s la section s u i v a n t e .

8. R e v e n o n s aux p é r i o d e s p r é c é d e m m e n t trouvées

^ m / r\2Kr)^/

avec la condition

^m,f2/(y) ~=o.

Elles se r a m è n e n t i m m é d i a t e m e n t à u n nombre limité d'entre elles.

T o u t d ' a b o r d , parmi les û,Cy), il y en aura, en général, 2p qui sont l i n é a i r e m e n t i n d é p e n d a n t s . Ceci arrivera en p a r t i c u l i e r si l'équa- tion Eest i r r é d u c t i b l e (ce q u i est le cas général). Supposons, en effet, q u e , parmi les û/(y), il y en a i t moins de ip l i n é a i r e m e n t indépen- d a n t s , s o i e n t

^,, ^, . . . , ^ ( s < 2 p )

et supposons tracées t o u j o u r s dans le plan de la variable y les cou- pures a l l a n t de a aux points singuliers b (comme au n° 2). Considé-

548 EMILE PICARD.

rons l'intégrale Û^ (y), elle n'aura en a que s déterminations linéai- rement indépendantes, p u i s q u e la circulation autour d'un lacet correspondant à &/ augmente simplement, d'une manière générale, co(r) d'un multiple de H-C/)» et que, parmi ceux-ci, il n'y en a que s linéairement indépendantes. L'équation E aurait donc une intégrale qui n'aurait dans tout le plan que.? déterminations linéairement indé- pendantes; elle serait donc réductible, contre l'hypothèse laite. Dans les généralités qui vont suivre, Usera supposé quily a 2p fonctions iî linéairement indépendantes.

Soient alors, pour fixer les idées,

^, ^ .... ^

les Û correspondant respectivement aux points c r i t i q u e s bi, b^ . . . , h.^,

l i n é a i r e m e n t indépendants. Si À est supérieur à ' i p , on a nécessaire- ment une identité

/n^/;^l+.. .H-^p^â/,^- w-A^/f.—o ( w / , ? ^ o ) ,

'Envisageons alors les expressions

^ ^'l ^a

A f, == rn\ \ 0, (y ) dy +.. . + m11, /, 1 ^^, (y ) dy + m u ^ ^/, (f ) dy

^//t J//^ J^

{h = 2 7 ^ + 1 , . . . , N ) ,

qui sont des périodes. Or, si P est imcpériode de l'intégrale double, on a P =^ p., f ^ ( y ) dy | avec^ pMy) ---• o | î

«^^. L J

on pourra manifestement trouver une relation entre les P et les A, par l'élimination des quantités

..a

l ^{y)dy ( / / . = 3 ; > 4 - i , . . . , N ) ,

J^

ce qui conduit à une relation de la forme

/^-.N Y^Ïp

À p + 2 ^ A A + ^ ô v f av(j)rfy^o,

h^p+i V = l J^

SUK LES PÉRIODES DES INTÉGRALES D O U B L E S , ETC. 5 / j t )

A, les ^ et les <^ étant des entiers, e t ^ étant différent de zéro. Puisque F et les A ne d é p e n d e n t pas de a, il en sera de même de

V - 2 / »

Yo.

^O.f ^(J)^

v,-l '' /;v

ce qui e n t r a î n e la relation

v=2p

^ô,i2,0-)=o.

V ^ 1

Mais les U/,y) ( p o u r v == i , 2, . . . , ap) s o n t l i u é a i r e m e n t i n d é p e n - d a n t s par h y p o t h è s e ; par s u i t e , on aura

O . / = 0 (V -=: 1 , 2 , . . . , 9 ^ ) .

II r é s u l t e de là q u e , e n t r e P et les A, il y a u n e relation homogène et l i n é a i r e à c o e f f i c i e n t s e n t i e r s . Donc n o u s sommes déjà assuré que le nombre, des périodes es! cm plus é^al an nombre des quantités A, c e s ! , à-dire N —- 2 p .

()» Nous p o u v o n s aller p l u s l o i n . Il existe des relation homogènes et l i n é a i r e s a coeiïicients entiers entre les A, d'où résulte une dimi- n u t i o n du n o m b r e des périodes. P u i s q u e l ' i n t é g r a l e d o u h i e dont n o u s sommes parti est de première espèce, toutes les solutions de l'équa- tion E, désignées d'une m a n i è r e générale par ûJ(y), ont.leurs résidus n u l s p o u r le p o i n t à l / i n f i n i . Soit alors co(j) u n e solution arbitraire de l'équation E; en p r e n a n t

f^(y)df

le long de l'ensemble des lacets b^ b^, ..., b^ on obtiendra le même résultat q u e pour un c o n t o u r autour du p o i n t à l'infini, c'est-à-dire zéro. La v a l e u r de l'intégrale précédente est manifestement de la forme

^ f ^ ( y ) ^ y - h . . . + ^ f ^(r)cfy.

J/^ ^J ^

En l'égalant à zéro, on o b t i e n t u n e relation homogène et linéaire

55o EMILE P I C A R D .

à coefficients entiers entre les A. En prenant pour ûû(y) successi- vement 2.p solutions indépendantes co,, co^ • • . » ^^p de E, on o b t i e n t -ip relations de cette nature.

La valeur de l'intégrale

f^(rKy

autour du p o i n t ce, exprimée en fonction des A, prend la forme

,,//, A [ , „ / / A

y^.+lA.s^.-n -h . . . -T" ^ \ A N ,

les v étant des nombres rationnels. On o b t i e n d r a donc les ^p rela- t i o n s

( I ) ^/M-lA^-M •-!•-• .4-^^^=: 0 ( A := Ï , 9., . . ., 9-/7).

Une question i m p o r t a n t e se pose i m m é d i a t e m e n t : ces ^p /y/a- /ions S wnl-elles distinctes, c'est-à-dire peut-on en tirer ^p des A en fonction des N — [\p autres ? Nous allons d é m o n t r e r que la réponse esl affirmative, en n o u s servant d u résultat obtenu a la fin du M é m o i r e précédent.

Considérons, à cet eiQet, u n e intégrale arbitraire de seconde espèce j ^J^lL^l^ll^. (P polynôme en ,y,y et z, s ' a n n u l a n t sur la courbe d o u b l e ) ,

•^/ j s

de la courbe entre x et z représentée par l ' é q u a t i o n

/(. r, y, z )=:o.

Les périodes de cette intégrale sont des f o n c t i o n s d e y , satisfaisant à une équation linéaire du type E.

Comme nous l'avons vu (p. $27 de ce Volume), on pourra, sous des conditions très générales, déterminer un polynôme de degré k

9 ( y ) •:= r/i y^1 -+• ^ y^ + • . . . 4- a/,

tel que les ^p résidus de l'intégrale d o u b l e r r ^ ( r ) p ( . v , y , z ) c i x r / . r

(n) j j ————^__^^^^

aient des valeurs arbitrairement choisies.

SUR LES PÉRIODES DES I N T É G R A L E S DOUBLES, ETC. 551.

Ses 'ip résidus par rapport à Ici courbe à F infini de la surface algé- brique seront donc linéairement indépendants au point de vue arithmé- tique.

D é s i g n o n s alors par

Ç r { y ^ , y , ^ d x d Y

( 2 ) J j 71 ——

(Q¹ polynôme en oc, y , z , s ' a n n u l a n t sur la courbe double), une inté- grale double j o u i s s a n t de la propriété ci-dessus. Elle va n o u s servir à d é m o n t r e r q u e les ' i p relations S sont d i s t i n c t e s .

10. Les équations d i f f é r e n t i e l l e s l i n é a i r e s E et E¹ relatives aux périodes de l ' i n t é g r a l e a b é l i e n n c (8)

et de l'intégrale

'0(rr,y, z) dx

~~J\

••Q'^y,:;)^

f0 1^

J ' "7

ont même groupe.

Désignons par

A^i.,1, • . ., AN

les expressions Formées avec l'intégrale (12) de la même manière q u e les A. des n⁰' 7 et 8 avec l'intégrale (2). Les 2p résidus de (12) relatifs a la même courbe a l ' i n f i n i seront égaux à

( i 3 ) ^ ,.i A.^,i -1- . .. +^i M (A == ï , 2, . . ., 2p)

les n o m b r e s r a t i o n n e l s v étant les mêmes qu'au n° 9, puisque les groupes des équations d i f f é r e n t i e l l e s l i n é a i r e s E etW sont les mêmes;

désignons pam/' l'expression (i3).

Nous allons v o i r de suite que les ip relations S du n° 9 sont dis- tinctes. Si, en effet, celles-ci ne pouvaient être résolues par rapport a ip des A, on pourrait t r o u v e r des entiers k^ ( n o n tous nuls) tels que l'on a i t

h..^

^ /^(<.MA^.-H+. ..+ -A AN) == <

h^\

i d e n t i q u e m e n t , c'est-à-dire quelles que soient les lettres A. Il en

552 EMILE PICARD.

résulte que l'on aurait

^W^o,

ce qui est contre l'hypothèse que les rJ1 ne s o n t liés par a u c u n e rela- t i o n homogène et linéaire à coefficients entiers.

La réponse à la question posée au numéro précédent est donc bien affirmative. Par suite, le nombre des périodes de notre intégrale double

de première espèce est au plus

N - 4^,

puisque, entre les N — ip périodes A, il existe 'ip relations distinctes homogènes et linéaires à coefficients entiers.

La question q u i se poserait m a i n t e n a n t serait la recherche du nombre des périodes distinctes de l'intégrale double la plus générale de première espèce d'une surface donnée. Mais c'est u n e q u e s t i o n que nous n'aborderons pas ici et c'est dans u n e autre direction que

nous allons nous engager.

Nous allons voir dans les sections suivantes q u e c'est la, combi-

îUlison

N--4/^-(w,—i)

q u i est véritablement intéressante; nous trouverons u n e relation remarquable entre les deux nombres po et p et la combinaison précé- dente.

II.

Généralisation des résultats précédents; sur certains cycles à deux dimensions de la surface situés à distance finie.

H. Nous sommes, dans la section précédente, parti d'une inté- grale double de première espèce. Que d e v i e n n e n t les considérations, dont nous avons fait usage, quand, au lieu d ' u n e intégrale de première espèce, on considère une intégrale double quelconque de la forme

F r V { x , y , z } d x d y

V ( x , y , z ) étant un polynôme quelconque s'annulant sur la courbe

SUR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOUBLES, ETC. 553

d o u b l e ? Les périodes de l'intégrale a b é l i c n n e rP(,r,r^.)^r

/'

r e l a t i v e a la c o u r b e /(,'r,j,^) -==. o entre x et ^, sont alors des fonc- tions dey. Ces périodes sont au n o m b r e de

9.p -+- m — i

et satisfont à u n e é q u a t i o n l i n é a i r e E\ Parmi ces périodes, m — i c o r r e s p o n d e n t aux p o i n t s à l ' i n f i n i et sont des polynômes en y (voir Annales de l'Ecole Normale, 1902). A i n s i , l'équation E' d'ordre 2p -l- m — i a d m e t comme s o l u t i o n s m — i p o l y n ô m e s -n:^ T:;,, . . ., •"n^, q u i n ' e x i s t a i e n t pas t o u t a l'iicure pour l ' é q u a t i o n lî.

VA} c h a c u n des p o i n t s s i n g u l i e r s existe t o u j o u r s u n e intégrale 0 avec les mêmes p r o p r i é t é s , et si e n t r e û,, Q^ • • • » ^ il existe u n e

relation

m ; î21 4- . . . + m A. ^^ •= o ( 1 o s m c n ti ers),

l'expression

m, j i 2 i < / / 4 - ^ 2 ^ ^.i dy -\-. . . -4- m, f 12,, d y

^ i , , ' •//., .4,

ne d é p e n d r a pas <le a. I l p o u r r a i l arriver q u e la p o r t i o n P" (IG la sur- face de B i e m a n n c o r r e s p o n d a n t à/^.r, a, z ) == o (z?oir n0 3), limitée par les bords

w.i'rï, ..., m,r^

c o n t î n t un ou plusieurs points a. l'intini, ; dans ce cas, l'intégrale double n'aurait pas de sens à cause des points à l'infini, mais l'ex- pression. précédente n'en aurait pas moins un sens.

Faisons maintenant l'hypotbèse, correspondant au cas général (<) , c/ue pour une ifilcgrale arbitraire de la forme indiquée il y ait 2p -}-m — ï fondions 0(y) linéairement indépendantes, soient

^ i ? ^â» • • • ? lrii-2/H-/«--l

c o r r e s p o n d a n t r e s p e c t i v e m e n t aux p o i n t s s i n g u l i e r s b de même i n d i c e ; elles f o r m e r o n t un. système f o n d a m e n t a l de l'équation différentielle

(î ) Dans tout ce qui va suivre cetto condiLion sera supposée satisfaite. Nous la discu- terons dans la section IV de ce Mémoire.

Ann, Êc. A'orw., ( 3 ) , XX.. — DECE.'VÎBHE 1903. 'JO

554 EMILE PÏCA1U).

l i n é a i r e E". Envisageons une antre lettre £2, soit Hy, où s est s u p é r i e u r à 2p -+- m — i , On aura la relation identique

( 1 4 ) /^i^-4-. . .-l- inï^^\^p+m-\~^- ^A==o, et l'expression correspondante, i n d é p e n d a n t e de a,

( 1 5 ) m, ( ^(yK</+...4-^, ( ^(y)clf.

J h^ ^l),

II est facile de voir que les contours

r r T T

1. 1 , .1. 2, . . . , 1. 2/.»-|-/M-1> 1 S

l i m i t e n t , sur la surface de lliernann y(.z*,y, ^) === o, u n e portion d < * surlace ne comprenani pas de p o i n t s à l ' i n f i n i , et, par s u i t e , l'expres- sion ( l ô ) est u n e période c o r r e s p o n d a n t à u n cycle à d i s t a n c e f i n i e . Pour le démontrer, rappelons q u e , s u r u n e surface de Ilieniann a m feuillets, on p e u t tracer 9.P 4- rn— i c o n t o u r s à regarder cornsne.

distincts, si clans la défonnation ces contours d o i v e n t n é c e s s a i r e m e n t rester à distance f i n i e , et que tout autre contour p e u t se r a n i e n e r à u n e somme de ceux-là, les d é f o r m a t i o n s se faisant toujours sans passer p a r l ' i n f i n i . Les contours

1 1 > s- ïf • • • ? s- ïp -(- /n — l

répondent bien à ces c o n d i t i o n s p u i s q u e les 2p 4- rn — i f o n c t i o n s

0 0 f)

UW[ y UU.^y . . ., ^îp\-/n——1

sont l i n é a i r e m e n t i n d é p e n d a n t e s . E n s u i t e , l o u t autre contour Fy (''ou un de ses m u l t i p l e s ) peut se r a m e n e r à u n e c o m b i n a i s o n des 1' pré- cédents, sans passer par l ' i n f i n i . D o n c n o u s a u r o n s sur la s u r f a c e de R i e m a n n u n e portion P n'ayant pas de p o i n t s a. l ' i n f i n i et l i m i t é e par

Wpl. j , //^.Ig, ..., /tïïp-\-l)t-\ A 2 ^ 4 - / / j r . — l , /?2,s-i c'y

cette portion P a d j o i n t e aux 2.? + 'rn surfaces owerles, q u e n o u s avons fait correspondre aux c o n t o u r s p r é c é d e n t s , nous d o n n e r a le cycle fermé a deux d i m e n s i o n s , iou.i entier à distance finie, q u i d o n n e la période ( i 3 ) , coinrne nous voulions l'établir. Nous obtenons donc de cette manière

N — ïp — ( m — i )

périodes pour notre intégrale double.

Sim LES P É R I O D E S DES I N T É G R A L E S DOUBLES, ETC. 555

La théorie développée p l u s h a u t (n° 8) a ici son analogue. Toute période P de l ' i n t é g r a l e d o u b l e c o r r e s p o n d a n t a un cycle, situé a dis- tance f i n i e , es!:, encore de la forme

avec l'identité

^^,^Û,(y).ty

^/..,^,(j)=ô.

A c h a q u e v a l e u r s p l u s grande q u e 2p -\- m — ï correspond, d'après ce qui, précède, u n e p é r i o d e F,,, et i l y a entre P et les I\ u n e relation.

homogène et l i n é a i r e à coefFicients e n t i e r s . 1.2. iNous avons considéré l'intégrale double

(,G) rrp(^_^

*-/ »-/ ./ z

ou P est un polynôme quelconque s'annulant sur la courbe double.

Nous nous rapprocherons des résultats obtenus dans la section précé- dente, si nous supposons que l'intégrale abélienne

( ^ } rP(.z,r,.)

( l 7 )

J

relative à la courhe^/*(.r,y, ^) == o entre x et s, est de seconde espèce, 1/équation W est alors seulern.ent d'ordre 'ip^ et nous avons de nou- veau

N - 2 ^ ,

expression correspondant à 2p + i fonctions û. A la vérité, elles ne p e u v e n t être t o u î e s considérées comme des périodes, à cause des p o i n t s à l ' i n f i n i du cycle correspondant, à moins que l'on ne veuille élargir le sens du m o t période.

I l résull'.e de ce que nous avons dit au numéro précédent que, pour

^ __ y <|(^ N — ^p expressions trouvées, le cycle correspondant s'étend à l ' i n f i n i , de telle sorte que l'on ne peut pas dire en général que l ' i n t é g r a l e d o u b l e prise sur ce cycle ait un sens.

Un cas p a r t i c u l i e r n'est pas sans i n t é r ê t .

Supposons que l'intégrale abélienne (1.7) soit ^première espèce.

556 EMILE P I C A R D .

Alors il n'y a plus aucune difficulté relative aux points à l ' i n f i n i , cl, les N — 2 p cycles à deux d i m e n s i o n s conduisent à u n e intégrale double ayant un sens d é t e r m i n é . Parmi les N — sp valeurs de ces intégrales, il y en a 2p qui. sont les résidus de l'intégrale double par . rapport à la courbe à l'infini de la surface. Nous avons rappelé à ce

sujet (n° 9) que ces résidus sont les valeurs de l'intégrale u{y)clf

autour du pointée,

13. Revenons au. cas général du n° 11. Les N — 2p — (m — i) périodes, que nous wons trouvées^ sont-elles distinctes?

Nous allons d é m o n t r e r que ces périodes sont d i s l i n c l e s , c'est-à-dire ne sont liées par a u c u n e relation homogène et l i n é a i r e à, coellicients e n t i e r s , si Vintégrale double

( 1 8 )

ff ¹ ^"^

est arbitraire (P étant t o u j o u r s un p o l y n ô m e s ' a n n u l a n t sur la c o u r b e d o u 1) le). To u t d. ' a b o rd, d a n s u n o t e 11 e i n t é g ra 1 e d o u 1) 1 e, o n p e u I., comme n o u s l'avons rappelé dans la Note p r é l i m i n a . i r e , supposer le degré du polynôme P limité, puisque par la soustraction d ' u n e inté- grale de la forme

U et Y étant des polynômes en x, z à coefficients rationnels en y (s'annulant sur la courbe d o u b l e ) ^ on p e u t l i m i t e r le degré de P, et q u e dans la nouvelle intégrale les périodes seront les mêmes ( p o u r ce p o i n t , voir la section suivante de ce Mérnoire). Soit alors l'intégrale d o u b l e (18), ainsi réduite, r e n f e r m a n t s paramètres essentiellement d i s t i n c t s a ^ , a^, ..., o^., c'est-à-dire telle que, quand les a ne sont pas tous n u l s , elle ne se réduit pas à la f o r m e (19).

Admettons m a i n t e n a n t que les périodes trouvées de (18) soient liées par une relation homogène et linéaire à coefficients entiers. Il est presque évident que ces coefficients entiers ne varieront pas avec

S U U LES PÉRIODES DES ÏNTÉGKALES DOUBLES, ETC. 357

les paramètres a q u i sont susceptibles de variation continue. Pour le v o i r b i e n n e t t e m e n t désignons par

P i , P Ï , . . . , Pï [ ^ = N - 2 ^ - ( m - i ) ]

les périodes de (18) q u a n d on fait a , = = i et a^ = = . . . = = = a^= o, et d ' u n e m a n i è r e générale par

p i p 2 p;J-

l l y t i, 5 . . . ; A y

les périodes q u a n d a^== i , les autres a étant n u l s .

Les P/', P², . . . , Pj\ pour une valeur fixe de i, ne seront pas nulles à la fois, car alors l ' i n t é g r a l e correspondante a a , = = = T , les autres a é t a n t n u l s , n ' a u r a i t pas de périodes et serait par s u i t e réductible a la tonne ( i ( ) ) , comme il sera d é m o n t r é dans la section suivante.

Si les p é r i o d e s de (1:8) ne sont pas d i s t i n c t e s , on aura, par hypo- thèse, q u e l l e s que s o i e n t les constantes a r l ï i t r a i r e s a,

M i (ai P; 4- a,J\; -h . . . -I- a.s-P.; ) -i- . . . -1- M^.(ai PI;- -4- a,Pï -h . . . 4- a,P?) = o,

les M é l a n t d e s e n t i e r s c o n v e n a b l e s q u i ne sont pas tous nuls. Les P sont des n o m b r e s fixes; les e n t i e r s M p o u r r a i e n t - i l s dépendre des v a r i a b l e s c o n t i n u e s a ? D o n n o n s à a des valeurs déterminées, mais a r b i t r a j r e m e n t choisies. On a. l'égalité ci-dessus. Il faudra nécessai- r e m e n t que t o u s les coefficients dos a soient nuls, c'est-à-dire que

M.,P! 4-^:2?? -4-...4-M;J^==o ( ^ = = 1 , 2 , ...,.<?).

'En e f f e t , d a n s le cas c o n t r a i r e , on pourrait exprimer un des a à l'aide des a u t r e s et des q u a n t i t é s P ; or, ceci. est impossible, car on p e u t c e r t a i n c m i e n t t r o u v e r s n o m b r e s i r r a t i o n n e l s a, tels qu'aucun d'eux: ne soit s u s c e p t i b l e de s'exprimer .rationnellement à l'aide des a u t r e s et de n o m b r e s déterminés P (en nombre f i n i ) . De là résulte que la r e l a t i o n supposée entre les périodes de (18) est toujours la lïlême, q u e l l e q u e soit cette i n t é g r a l e double.

.Envisageons alors une intégrale d é t e r m i n é e , d'ailleurs prise arbi- trai rejiumt, du, type (18). En conservant aux il la même signification q u e dans t o u s les n u m é r o s précédents, une relation entre ces périodes

558 EMILE PICAKD.

se traduirait par une égalité de la forme

(20) i f ^i (j) ^r +...-+- /^N / ^N (7) dy

J^ J h^

les m étant des entiers qui ne sont pas tous nuls (1) .

Supposons alors qu'au lieu de l'intégrale ( î S ) , nous partions de l'intégrale

(21) rryOO^PC^y^)^^^

</ l,' </ s

ç(r) étant un polynôme en y. D'après ce qui précède, nous aurons, quel que soit ce polynôme, la relation

m / r

, 1 9 (y ) ^ {y ) dy + . . . 4- m^ 1 9(7) Hs (j ) dy =

^h. ^ li^

avec les mêmes entiers m que dans la relation ( 2 0 ) .

Ainsi, en changeant seulement un peu les n o t a t i o n s , on a u r a i t des fonctions déterminées B,(j), ..., Ï ^ ( y ) {fi{Ï- î))» h o l o m o r p h e s res-

Fi^. 9.

peclivemenfc de a en Z^, de a en &^ • • • » d^ a ^ ^N ( d û n t la somme est d'ailleurs i d e n t i q u e m e n t nulle et qui ne sont pas toutes n u l l e s ) , avec

('¹JI1 est essentiel, de remarquer qn^ucun des Q-i(y) n'est identiquement nul, comme on le reconnaît en calculant ^'(/O qui est différent certainement de zéro, si, comme on peut le supposer, le polynôme P(.r,j-, z ) ne s'annule pas aux points de la surface ./' où le plan langent est parallèle au plan des zx.

S U R LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOUBLES, ETC. 55c)

la relation

f 9(j)Bi(j)^"4-...^-f ?(j)IMy)^r=o.

<s ^N

q u i aurait lieu quel que soit le polynôme ^(y). 11 est aisé de voir que cela est impossible. Ceci e n t r a î n e r a i t en elïct les relations en nombre i n f i n i

( U ) ( y-Bi (7) dy -{-...+ f j- B^ ( v ) ^ y = o

J/^ Jb^

(m ==o, i , 2, . . . ) .

Or, e n v i s a g e o n s la somme

, x C

s^r) / r ' i M r ) , J^ y - ^

J ^ y - ^

où x est u n e v a r i a b l e a r b i t r a i r e , c o r r e s p o n d a n t à un p o i n t non s i t u é s u r les c o u r b e s d ' i n t é g r a t i o n ab^ ,.,., ab^. il est c e r t a i n q u e l a s o m m e

|)récede.nte re|)résente u n e ( b n c l i o n de x, (jui n^esl pas ideflUquerneni nulle, lîn en'et, d'après u n e tliôorie é l é m e n t a i r e , la fonction àe x

r MÛ dy

J^J-^

e [ ) r o u v e l'a (.; c r ( ) i s s e m e n t

2 7T/B/,.(.r')

( j i i a n d le p o i n t x va d'un bord à l'autre de la coupure b^a.

Ceci pose, p o u r x très ^ r a n d , on p e u t développer l'expression (^22) s u i v a n t les p u i s s a n c e s croissantes d e - ^ e t les coefficients des diffé- r e n t e s p u i s s a n c e s de-^ sont précisément les premiers membres des r e l a t i o n s ( H ) . 1/expression ( 2 2 ) serait donc i d e n t i q u e m e n t nulle, ce q u i est c o n t r a d i c t o i r e . Le théorème est donc démontré.

14. Parrni les N ~ ip — (w — ï ) périodes distinctes que nous v e n o n s de t r o u v e r , il y en a 2^ qui sont les résidus de l'intégrale double relatifs à. la, l i g n e à l ' i n f i n i de la s u r f a c e ; ces résidus corres- p o n d e n t à l'intégrale

j\){y)dy

56o EMILE PICARD.

prise autour du point co en prenant pour ^{y\ ^p intégrales de l'équation E' formant u n système fondamental avec les m — i poly- nômes désignés par TC au n° 11. Si l'intégrale double est arbitraire, ces ip résidus sont certainement distincts, comme nous l'avons déjà fait remarquer.

Nous concluons de la qn^en ne comptant pas les périodes correspon- dant aux résidus relatifs à la courbe à V infini de la surface, nous avons

N — (\p — {m— ï )

périodes distinctes correspondant à des cycles à distance finie.

En particulier, envisageons une intégrale double générale de seconde espèce, du. type des intégrales précédentes,

rfP(^,y,^)^^'.

ffî^^L.^^^'.

comme cette intégrale, étant de seconde espèce, n'a pas de résidus, le nombre de ses périodes correspondant à des cycles à dislance finie est égal à

N — ^ p — (m — ï ) .

i5. Dans t o u t ce q u i précède, il a été e s s e n t i e l l e m e n t supposé que la surface o c c u p a i t u n e p o s i t i o n a r b i t r a i r e par rapport aux, axos;

d ' u n e m a n i è r e p l u s précise, les plans tangents à la s u r f a c e , p a r a l l è l e s au plan des zx, c o r r e s p o n d e n t a des valeurs y=l.} q u i sont des p o i n t s s i n g u l i e r s de l ' é q u a t i o n d i f f é r e n t i e l l e E ' j o u i s s a n t dos propriétés très simples s u r lesquelles nous nous sommes appuyé. Nous avons déjà é n o n c é au n° 7 la remarque, que les choses s e r a i e n t m o i n s s i m p l e s si la s u r f a c e a v a i t u n e p o s i t i o n p a r t i c u l i è r e par rapport aux axes.

Vé ri fi o n s-1 c s u r i a s u rfac e

(I) ^-^ry^h^^l,

qui n o u s donnera d ' a i l l e u r s l'occasion d'exemples d ' u n e autre n a t u r e p a r t i c u l i è r e m e n t instnictifs (¹). Envisageons la courbe e n t r e r et ^ représentée par l ' é q u a t i o n précédente. Nous avons, p o u r cette c o u r b e ,

(1) E. Pic \ ni), Sur les' pcfriodc.v d'une intégrale double de fraction rcdionriGUc {Annales de l'Ecole 'Normale supérieure, 190 3).

SIÎR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOUBLES, ETC. 561

deux cycles r, eti^; en faisant décrire à r dans son plan u n chemin fermé convenable, nous ramenons 1^ et I\ à leurs positions initiales, et a i n s i se trouvent engendrés deux cycles a deux dimensions pour Z situés à distance finie.

Les p o i n t s c r i t i q u e s relatifs à y sont ici les trois racines de

^-=1,

mais ces p o i n t s s i n g u l i e r s ne sont pas de la n a t u r e de ceux que nous avons rencontrés dans le cas g é n é r a l . On ne trouve ici que deux cycles à deux d i m e n s i o n s . D'ailleurs ces cycles existent b i e n effec- t i v e m e n t , je veux d i r e n e se r a m è n e n t pas à zéro. Envisageons en effet l ' i n t é g r a l e d o u b l e

* C x dx cl y

n-,

qu'on vérifie a i s é m e n t être de seconde espèce, ce que nous allons retrouver d ' a i l l e u r s p l u s bas. Calculons sa valeur le long du cycle pré- cédent. Posons à cet effet

x -==. ^T'^r3. /,

d'où se déduit

^=i/r=^.^r=^.

I/intégrale double devient alors

ffV^^cly.U.

Sous celte forme, les périodes sont, calculées de suite. En effet, désignons par M et ces des périodes de l'intégrale simple

Ç-^7=~yï.dy,

et par iî. et (.îs. les périodes de l'intégrale simple r _t_dt__

j v^'

Nous aurons pour périodes de l'intégrale double correspondant aux

^••/nn. Ï'.e. Norm., ( 3 ) , X K. — DiScf.aiiHE igoS. 71

502 EMILE P I G A H D .

deux cycles à deux dimensions i n d i q u é s plus haut

( £ = = racine cubique imaginaire de l ' u n i t é ) ; ces expressions é t a n t différentes de zéro, les deux cycles existent effectivement.

En permutant x et y on, a deux autres cycles à deux d i m e n s i o n s , et l'on peut montrer q u ' i l s ne se r a m è n e n t pas aux deux premiers. En effet, l'intégrale double

F F y dx dy J J "T"

prise le long de l ' u n ou l'autre des deux premiers cycles est n u l l e , p u i s q u e l'intégrale double e x p r i m é e a l'aide d e y et // d e v i e n t ici :

qui est n u l l e le long des cycles à d e u x d i m e n s i o n s de la p r e m i è r e catégorie. Au contraire, en considérant l'intégrale double

r Cy dx dy J J '^^^^^^^^^^^^^ ^}

le long des cycles de la seconde catégorie, on aura des valeurs dilîe- rentes de zéro. Par suite, tous les cycles à deux d i m e n s i o n s ne peuvent être formés en f a i s a n t la rédaction avec un plan y = = ^ , comme n o u s v o u l i o n s le m o n t r e r . Mais ceci n^est pas en o p p o s i t i o n avec le théorème général démontré au n° 6, car les plans y== const.

occupent une position spéciale par rapport à la surface.

16. Il, sera intéressant de faire sur la surface (2) ^4-.r4--;r:=i

une vérification du théorème général du n° 14 sur le nombre des périodes d'une intégrale d o u b l e générale de seconde espèce correspon- dant à des cycles à distance finie.

Pour une surface générale du troisième degré, on a

m =.=3, N==i2, p =: 1 5

l'expression

N - » 4 y , _ ( ^ _ , )