MPSI 1 2005-2006
Interrogation 28 : intégrales doubles
Semaine du 22 au 26 mai.
Programme :
3- Calcul intégral Définition de l’intégrale double d’une fonction f continue sur un rectangle R= [a,b]×[c,d] et à va- leurs réelles.
Notation Z Z
R
f = Z Z
R
f(x,y)dxdy.
Linéarité, croissance, invariance par translation. Ad- ditivité par rapport au domaine d’intégration.
Théorème de Fubini : expression de l’intégrale double à l’aide de deux intégrations successives.
Brève extension au cas d’une fonction continue sur une partie A bornée de R2 définie par conditions simples ; extension du théorème de Fubini lorsqueAest consti- tuée des points (x,y) ∈R2 tels que a6
x 6b et ϕ(x)6 y6ψ(x) où ϕ et ψ sont des fonctions continues sur[a,b]. Aucune démonstration sur le théorème de Fubini n’est exigible des étudiants.
Changement de variables affine, intégration sur un parallélogramme. Passage en coordonnées polaires.
Intégration sur un disque, une couronne ou un secteur angulaire.
La démonstration de ces résultats, ainsi que tout énoncé général concernant les changements de variables, sont hors pro- gramme.
Prochaine semaine: Propriétés métriques des courbes paramétrées.
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