Chapitre 30 Propriétés métriques des courbes, Théorème de relèvement

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Mathématiques – cours : Chap 30 : Propriétés métriques des courbes

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Chap 30 : Propriétés métriques des courbes

Voir le chapitre « Arcs Paramétrés »

I. Paramétrage admissible / abscisse curviligne

( , 2) est un arc paramétré de classe , de support { ( ), }

k k

I M t t I



C C   

1

0 (0)

0 0) 0

( ) ( 0, ( ) ( )

Un point est dit régulier si est son vecteur unitaire tangent

d OM t dt

dOM dOM

M t t T t t

dt   dt

2

( , ) ( )

( , )

Soit -difféomorphisme int. de (éventuellement croissant pour conserver l'orientation) est un changement de paramétrage admissible de l'arc

k k

k

J I J

g J

 

  



 

C C

C

Le caractère régulier d'un point est invariant par changement de paramétrage admissible

( , 2)

'( ) ( )

Une abscisse curviligne de l'arc ^k est une primitive de l'application I

s I dOM

t t t

dt

 

 

  

 C

( , ) Si est



C^k régulier, alors son abscisse curviligne sC^k I

L'abscisse curviligne de l'arc est un s



C^kdifféo. de sur I J s I( ), elle définit un param. admissible de l'arc

0 , '( )0 1

le paramétrage de par l'abscisse curviligne.

h



 s J h s 

2 2 2 2

'( ) ' ( ) ' ( ) '( ) ' ( ) ( )

Coord. cartésiennes : s t  x t y t Coordonnées polaires : s      

( ) ( ( ))

Si abscisse curv. de , s  g  param. admissible de a pour absc. curv.  s u  s u k

2 2 2

1 1 1

1 2

2

( , ) ( ) ( )

'( ) '( ) ( ) ( )

On définit la longueur de l'arc entre et , indépendante du param. admissible où est une abscisse curviligne de l'a

choisi : rc

k

t t t

I M t M t

t dt s t dt ds s t s t s





   

  

C

Le paramétrage est normal si la courbe est paramétrée par son abscisse curviligne : g g



s^1

II. Points biréguliers / théorème de relèvement / courbure

2 k

2

0 0 0 0

( , ), ( ) est un point birégulier si ( '( ), "( )) est une famille libre

k I t I M t t t

C   

0 0 0

( ) ( ) ( )

( ) )

0 (

1 2

min{ * / ( ) 0}, min{ / ( ( ), ( ) }

( ), ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

! !

Plus généralement : libre

Dans la base , i

k k p

p q

p q p q

p k t q k p t t

h h

v t w t v w M t M t h h v h h w

p q

p

h

  

   

    

   

       

 

  

, ,

mpair, pairq p q impairs p pair, impairq p q pairs

(2)

2

0 0

0 2

0 0

0 /2

( ) ( ) 1

) ( ) '( )

( ) ( ,

( ) arc régulier. , le repère de Frénet (RON)

dOM dOM

T t t

ds dt s t

M t

N t r I

 T



   

  

 

 C

) | ( ) | 1. ( , ) , ( ) ( ) mod 2

Thm de relèvement :



C^k( ,I tq t I, 



t   



C^k I tq  t I



t eⁱ^ ^t(unique k



)

Preuve :

0

( ) ' 2 '

'( ) '( ) ⁱ ^t ' . | ( ) | 1 ' ' 0 ( ) ^t

t i t e^ i



t t i t



        

 

          





2 2 2 2

' ( ) ' ( ) ' ( ) ' ( )

2 2

' ( ) ( )

2 2

' ( ) ( )

'( ) '( ) '( )

cos( ( )) sin( ( )) tan( ( ))

'( ) cos( ( )) '( )

( , ) t

sin( ( )) ( )

Coord. cartésiennes et

Coord. polaires :

x t y t x t y t

x t y t y t

t t t

x t V

V u T V

V

   



   

  

  

    

 



   

 

    

 



an( ( )) ( ) V

  

'( )



 

2 1

( , ), ( ) ( ) ( ) ( )

Courbure de ^k arc régulier, au point : d '( )d

I M t c t t t

ds s t dt

 



C  

2 2

2 2 3

2 2

2 2 2 2

det ,

" ' " '

' ' ' ( ')

' " 2 ' "

'( ) ( ) ( )

' ( ' )

Pour le calcul : soit on a déjà , soit on utilise :

- En coord. cartésiennes :

- En polaires :

d OM d OM dt dt y x x y

x y c s

V c



    

  

    ^

 

 

  

  



  

 

  ^/2

2 1

( , )

L'angle d'une courbe

 

C^k I birégulière définit un paramétrage admissible de classe C^k^

dT d N dT d N

N T cN cT

d ^ d ^ ^ ds ^ ds ^{ }

2

2 2

( , ) 1

1 1 1

,

On définit le rayon de courbure de birégulier :

Formules de Frénet : ,

k I R

c

dT d N dOM d OM

N T T N

ds R ds R ds ds R

  

    

C

2 2

3

( ) "( ) ( ) ' ( ) ( ) ( ) det ( ), 2 ( ) ' ( ) ( )

d OM dOM d OM

t s t T t s t c t N t t t s

d t

t  dt dt  c t

   

 

0 0 0 0

2

( , ) ( ) ( ) ( )0 ( ) ( )

( ( ))

Le centre de courbure de birégulier en est

La courbe parcourue par _t est appelée développée de la courbe

k

I

I M t C t M t R t N t

C t







C  

III. Intégrale d’un champ de vecteurs le long d’une courbe

. ( , )

( )

ouvert de Un champ de vecteur sur est une application (de classe si )

n

k k n

n X X

x X x

 

    

 C C

(3)

3

Exemple fondamental : f C^k( , ).  grad f est un champ de vecteur de classe C^k^¹ sur  1

k

1 2

( , ) champ de vecteur. Si dérive d'un potentiel, alors ( , ) ,

n

k j X X i

n i

n j

X X

X X i j

x x

 

 

 

 

     

 

C

, ,[ , ]

/HP/ Thm de Poincaré : Si est un ouvert étoilé (    a x a x ), alors la réciproque est vraie

( , ⁿ). 1([ , ], ) L'intégrale du champ le long de : ^b ( ( )) | '( )

a

X k a b X X X t t dt



   

^C  ^C 



 





Pour une courbe fermée, on note X circulation du champ de vecteurs





1 1

( , ) dérivant d'un potentiel ( , ). ([ , ], ), ( ( )) ( ( )) Cela dépend uniquement des extrémités, pas du chemin

k n k

X f a b X f b f a



 

^C  ^C    ^C



 

La circulation le long d'un chemin fermé d'un champ de vecteurs dérivant d'un potentiel est nulle

1([ , ],[ , ])

: ( ( ( ))) | '( ( )) '( ) ( ( )) | '( ) Circulation de le l

changement onge de La circulation

de paramétrage croissant de .

d'un champ de vecteurs le

d b

c a

c d a b

X X t t t dt X u u du

  

      

 





   







 

C

long d'une courbe orientée ne dépend pas du paramétrage

IV. Intégrales multiples

2

1,

1 1

0, ( ) ( )

est de mesure nulle si : _j rectanges tq _j et

n n

n

j j j

j

A



R _ A R Aire R





    





[ , ] [ , ] [ , ] [ , ] ( , ) est le volume algébrique entre ( , ) et le rectangle [ , ] [ , ]

a b c d f a b c d f x y dxdy z f x y a b c d

    

 

   

2

[ , ] [ 0

0

, ]

( , ) 0([ , ], )

( , ) [ , ] [ , ]

( , ) ([ , ], )

( , ) ( , )

, ouvert de

et

d c

b a

b d d b

a b c d a c c a

x f x y dy a b

f a b c d

y f x y dx c d

f f x y dy dx f x y dx dy



 

       

 



 



    

C C

C