Exercices Intégration 1/ 4 TS
Exercices sur les intégrales
Exercice 1
À l’aide d’intégration(s) par parties, calculer : Z π2
0
tsin(t)dt 1
Z 1
0
(2−t)etdt 2e−3
Z π
0
(2t+ 3) sin(t)dt 2π+ 6
Z x
1
tln(t)dt 1
2x2ln(x)−1 4x2+1
4 Z −1
0
(3t2−t+ 1)etdt −8 + 18e−1
Z 1
0
t2e3tdt 5
27e3− 2 27 Z π
0
etcos(t)dt −1
2eπ−1 2 Z π
0
e−tsin(t)dt 1
2e−π+1 2
Exercice 2
À l’aide de deux intégrations par parties successives, prouver que Z π8
0
e−2xcos(2x)dx=1 4
Exercice 3
Calculer les intégrales suivantes : Z 1
0
t2e−tdt −5e−1+ 2
Z 1
0
tp
t2+ 1dt 2√
2−1 3 Z e
1
ln(t)dt 1
Z π2
0
√1 + 2t+ sin(t)dt (1 +π)3/2+ 2
3
Exercice 4
SoitI= Z 1
0
x
1 +x2dxetJ = Z 1
0
x3 1 +x2dx 1. CalculerI.
2. CalculerI+J et en déduire la valeur de J.
Exercice 5
Soitf la fonction définie pourx6= 1parf(x) = x−2 (x−1)2.
1. Montrer qu’il existe deux réelsaet btels que pour toutx6= 1, f(x) = a
(x−1)2 + b (x−1). 2. Calculer
Z 0
−1
f(t)dt.
Exercices Intégration 2/ 4 TS
Exercice 6
1. Montrer que la fonction f définie sur R par f(x) = x2+ 4x
(x2+x+ 2)2 admet une primitive de la forme F(x) = ax+b
x2+x+ 2 oùaet bsont deux constantes réelles.
2. Calculer Z A
0
f(t)dt.
Exercice 7
SoitI= Z 1
0
te−tdt. Dériver la fonctionf définie parf(t) = (at+b)e−toùaet bsont deux constantes réelles ; et en déduire le calcul deI.
Exercice 8
SoitI= Z 1
0
√ dx
x2+ 2 etf la fonction définie sur[0; 1]parf(x) = ln(x+p
x2+ 2).
Calculer la dérivée def et en déduire la valeur de I.
Exercice 9
Soit(In)la suite d’intégrales définie pourn∈NparIn= Z 1
0
tncos(t)dt.
1. Montrer que la suite (In)est décroissante.
2. Trouver une relation de récurrence entre In et In−2 pourn≥2.
3. Monter que pour toutn≥1,0≤In≤ 1 n+ 1. 4. Que peut-on en déduire sur la suite (In)?
Exercice 10
1. SoitI= Z π4
0
(2t+ 1) cos2(t)dt etJ = Z π4
0
(2t+ 1) sin2(t)dt.
2. CalculerI+J.
3. Calculer I−J à l’aide d’une intégration par parties (on pourra se servir de l’égalité cos2(t)−sin2(t) = cos(2t)pour toutt).
4. En déduire les valeurs deI etJ.
Exercice 11
1. Montrer que pour toutt≥0, on a :1−t2≤1≤1 +t3. 2. En déduire que pour tout t≥0:1−t≤ 1
1 +t ≤1−t+t2. 3. Calculer pour x≥0 l’intégrale
Z x
0
1 1 +tdt.
4. En déduire que pour tout x≥0: x−x2
2 ≤ln(1 +x)≤x−x2 2 +x3
3 . 5. Retrouver lim
x→0+
ln(1 +x)
x .
Exercice 12
Vérifier que pour toutx∈R, ex
ex−x = 1 + x
ex−x puis montrer que Z n
0
ex
ex−xdx=n+ Z n
0
x ex−xdx
Exercice 13
Soit(In)la suite d’intégrales définie pourn∈NparIn= Z 1
0
tnetdt.
1. Étudier la monotonie de(In).
2. Trouver une relation de récurrence entre In et In−1 pourn≥1.
Exercices Intégration 3/ 4 TS
3. Monter que pour toutn≥1,0≤In≤ e n+ 1. 4. Que peut-on en déduire sur la suite (In)?
Exercice 14
Soit(In)la suite d’intégrales définie pourn∈NparIn= Z 2
1
tnetdt.
1. Étudier la monotonie de(In).
2. Trouver une relation de récurrence entre In et In−1 pourn≥1.
3. Monter que pour toutn≥1,In ≥2n+1−1 n+ 1 e.
4. Que peut-on en déduire sur la suite (In)?
Exercice 15
Soit(In)la suite d’intégrales définie pourn∈NparIn= Z e
1
t(ln(t))ndt.
1. CalculerI0 etI1.
2. Montrer que pour n≥1, on aIn= e2 2 −n
2In−1
Exercice 16
Soit(In)la suite d’intégrales définie pourn∈NparIn= Z 1
0
enx ex+ 1dx.
1. CalculerI1 etI0+I1. En déduireI0. 2. CalculerIn+1+In.
3. Trouver une relation de récurrence entre In+1et In pourn∈N.
Exercice 17
Soit(In)la suite d’intégrales définie pourn∈NparIn= Z π
0
e−nxcos(x)dx.
1. Étudier les variations de In.
2. Montrer que pour toutn≥1, |In| ≤ 1
n(1−enπ).
3. En déduire le comportement de In lorsquentend vers+∞.
Exercice 18
Soit(In)la suite d’intégrales définie pourn∈NparIn= Z 1
0
enx ex+ 1dx.
1. Sans calculerIn, montrer que la suite(In)est croissante.
2. Montrer que pour toutx∈[0; 1], enx
e+ 1 ≤ enx ex+ 1 ≤ 1
2enx. 3. En déduire un encadrement deIn.
4. Étudier la limite deIn lorsquentend vers+∞.
Exercice 19
Soit(In)la suite d’intégrales définie pourn∈NparIn= Z 1
0
xn√
1 +x dxpourn≥1 etI0= Z 1
0
√1 +x dx.
1. CalculerI0, puisI1 à l’aide d’une intégration par parties.
2. a. Comparerxn etxn+1 lorsque0≤x≤1.
b. En déduire que (In)est décroissante.
3. a. Grâce à un encadrement de√
1 +x, établir que 1
n+ 1 ≤In≤ 2 n+ 1. b. En déduire lim
n→+∞In.
4. a. Montrer que pour toutx∈[0; 1],0≤√ 2−√
1 +x≤ 1
2(1−x).
b. En déduire que 2
n+ 1− 1
2n2 ≤In ≤ 2
n+ 1; et en déduire lim
n→+∞n In.
Exercices Intégration 4/ 4 TS
Exercice 20
Soit(In)la suite d’intégrales définie pourn≥1 parIn= Z 1
0
dt (tn+ 1)2. Répondre par vrai ou faux :
La suite(In)est bornée.
La suite(In)est croissante.
La suite(In)est décroissante.
n→+∞lim In = 0.
Exercice 21
Soit(In)la suite d’intégrales définie pourn≥1 parIn= Z e
1
t(ln(t))ndt.
1. Montrer que2In+nIn−1=e2pour toutn≥2.
2. Montrer que la suite (In)est décroissante.
3. Déduire de ce qui précède l’encadrement e2
n+ 3 ≤In≤ e2
n+ 2 pour toutn≥1; puis la limite de(In).
Exercice 22
Soit(In)la suite d’intégrales définie pourn≥1 parIn= 1 n!
Z 1
0
(1−x)nexdxet I0= Z 1
0
exdx.
1. Calculer Z 1
0
(1−x)ndx. En déduire que 1
(n+ 1)! ≤In≤ e (n+ 1)!. 2. Montrer que la suite (In)converge et déterminer sa limite.
Exercice 23
Soit(In)la suite d’intégrales définie pourn∈NparIn= Z 1
0
xnexdx.
1. CalculerI0.
2. Trouver une relation de récurrence liantIn etIn−1. 3. Montrer que0≤In ≤ e
n+ 1.
4. Montrer que la suite (In)converge et déterminer sa limite.
Exercice 24
On poseI0= Z π6
0
sin(3x)dxet, pour tout nombrenentier naturel non nul,In= Z π6
0
xnsin(3x)dx.
1. a) CalculerI0.
b) En utilisant une intégration par parties, calculerI1.
2. a) En effectuant deux intégrations par parties successives, prouver que pourn>1,
In+2=n+ 2 9 ×π
6 n+1
−(n+ 2)(n+ 1)
9 In
b) CalculerI3.
3. Sans calculer l’intégraleIn :
a) Prouver que la suite(In)n∈Nest monotone.
b) Prouver que pour tout nombre nentier naturel non nul,
06In 6 Z π6
0
xn dx c) Déterminer lim
n→+∞In.
