Exercices sur les intégrales dépendant d'un paramètre

(1)

Intégrales dépendant d’un paramètre

Convergence dominée

Exercice 1 [ 00921 ][correction]

Calculer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants : a) un =

Z π/4 0

tanⁿxdx b)vn = Z +∞

0

dx xⁿ+ e^x

Etudier la limite éventuelle, quandntend vers +∞, de la suite I_n =

Z +∞

0

xⁿ 1 +xⁿ⁺²dx

Calculer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants : a)un=

Z +∞

0

sinⁿx

x² dx b)un = Z +∞

0

xⁿdx

xⁿ⁺²+ 1 c)un= Z +∞

0

xⁿdx x²ⁿ+ 1

Vérifier que la suite de terme général u_n =

Z +∞

0

sin(nt) nt+t²dt est bien définie et étudier sa convergence.

Calculer

n→∞lim Z +∞

0

e^−tsinⁿ(t) dt

Etablir que

Z +∞

−∞

1 + t²

n ⁻ⁿ

dt−−−−−→

n→+∞

Z +∞

−∞

e^−t²dt

Montrer que

un= (−1)ⁿ Z +∞

0

dt (1 +t³)ⁿ est définie pourn>1.

Calculer

n→+∞lim Z +∞

0

dt (1 +t³)ⁿ En déduire la nature de la série de terme généralu_n.

Montrer

n→+∞lim n Z +∞

1

e^−xⁿdx= Z +∞

1

e^−x x dx

Montrer que la fonctionf_n donnée par

fn(x) =ln(1 +x/n) x(1 +x²) est intégrable surR^?+.

Montrer que la suite de terme généralun=nR+∞

0 fn(x) dxconverge vers une limite à préciser.

Soitf : [0,+∞[→Ccontinue.

On suppose que la fonctionf converge en +∞vers une limite finie`.

Déterminer la limite quandn→+∞de µ_n= 1

n Z n

0

f(t) dt

(2)

Etudier la limite de

Z 1 0

f(tⁿ) dt oùf : [0,1]→Rest continue.

Soitf ∈ C⁰(R⁺,R⁺) bornée. On pose, pourn∈N, In=

Z +∞

0

nf(t)e^−ntdt Déterminer la limite deI_n quand n→+∞.

Soitf :R⁺→Rcontinue et bornée.

Déterminer la limite quandn→+∞de Z +∞

0

nf(x) 1 +n²x²dx

Soitf :R⁺→Rde classeC¹ intégrable ainsi que sa dérivée.

a) Déterminer pourx >0

n→+∞lim Z +∞

0

ncost(sint)ⁿf(xt) dt b) Préciser le mode de convergence.

Etudier

n→+∞lim Z n

0

1−t²

n ⁿ

dt

Etudier

n→+∞lim Z n

0

1 + x n

ⁿ

e^−2xdx

Déterminer un équivalent de Z n

0

r 1 +

1−x n

n

dx

Déterminer

n→+∞lim Z n

0

cosx

n n²

dx

Soitf :R⁺→R⁺ continue et intégrable.

Déterminer la limite quandn→+∞de n

Z 1 0

f(nt) 1 +t dt

Calculer

n→+∞lim Z +∞

0

n!

n

Q

k=1

(k+x) dx

SoitF une application continue décroissante deRdansR, tendant vers 1 en−∞

et vers 0 en +∞. Soient deux réelshet δvérifiant 0< h < δ.

a) Déterminer la limite éventuelle de In=

Z 1 0

F √

n(δt−h) dt b) On pose

S_n=

n−1

X

k=0

F √

n

δk+ 1 n −h

Déterminer un équivalent deS_n lorsque ntend vers +∞.

(3)

Pourn∈Net x∈]0,1[, on pose

fn(x) = x²ⁿ⁺¹lnx x²−1 a) Montrer quef_n est intégrable sur ]0,1[. On pose

J_n= Z 1

0

f_n(x) dx

b) Montrer que la suite (Jn)_n∈Nest convergente et déterminer sa limite.

c) Montrer que

Jn= 1 4

+∞

X

k=n+1

1 k²

Soitf une application réelle de classeC¹ sur [a, b] avec 0< a <1< bet f(1)6= 0.

Soit (f_n) la suite de fonctions telle que

fn(x) = f(x) 1 +xⁿ a) Déterminer la limite simple de (fn).

b) Etablir l’égalité suivante :

n→+∞lim Z b

a

fn(t) dt= Z 1

a

f(t) dt c) Montrer que

Z 1 a

tⁿ⁻¹f_n(t) dt∼ln 2 n f(1) Exercice 24 [ 02517 ][correction]

Pourn∈N^? et x∈R, on pose

f_n(x) = n

√π

1− x² 2n²

²ⁿ⁴

Soitgune fonction continue surRet nulle en dehors d’un segment [a, b].

Montrer que

n→+∞lim Z

R

f_n(x)g(x)dx=g(0)

Existence et calcul de

Z +∞

0

lnt e^t dt Indice : utiliser une suite de fonctions judicieuse.

Intégration terme à terme

Montrer

Z +∞

0

t e^t−1dt=

+∞

X

n=1

1 n²

Prouver l’égalité

Z 1 0

(lnx)² 1 +x²dx= 2

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ (2n+ 1)³

Etablir que

Z 1 0

lnt 1 +t²dt=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ⁻¹ (2n+ 1)²

Z 1 0

lnt 1−t²dt Le résultat est à exprimer à l’aide deζ(2).

a) Etablir

Z 1 0

ln(1 +t) t dt=−

Z 1 0

lnt 1 +tdt

(4)

a) En déduire

Z 1 0

ln(1 +t) t dt=

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n² b) Calculer cette somme sachant

+∞

X

n=1

1 n² =π²

6

a) Etablir

Z 1 0

arctant

t dt=− Z 1

0

lnt 1 +t²dt b) En déduire

Z 1 0

arctant t dt=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ (2n+ 1)²

Cette valeur est appelée constante de Catalan, elle vaut approximativement 0,916.

Etablir que

Z +∞

0

sint e^t−1dt=

+∞

X

n=1

1 n²+ 1

Pourn, m∈N, on pose

I_n(m) = Z 1

0

xⁿ(lnx)^mdx a) CalculerIn(n).

b) En déduire

Z 1 0

x^−xdx=

+∞

X

n=1

n⁻ⁿ

Etablir

Z 1 0

dx x^x =

+∞

X

n=1

1 nⁿ

Montrer

+∞

X

n=1

n⁻ⁿ = Z 1

0

t^−tdt

Soientpetk2 entiers naturels, non nul. Soitf_p,k:x7→x^p(lnx)^k. a) Montrer quef_p,k est intégrable sur ]0,1]. Soit

Kp,k= Z 1

0

x^p(lnx)^kdx b) ExprimerKp,k en fonction deK_p,k−1.

c) ExprimerJn=R1

0 (xlnx)ⁿdxen fonction den.

d) On poseI=R1

0 x^xdx. Montrer I=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ (n+ 1)ⁿ⁺¹

Etablir que pourp>2, Z 1

0

(lnx)^p

1−x dx= (−1)^pp!

+∞

X

n=1

1 n^p+1

Etablir

Z 1 0

x^xdx=

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ nⁿ

(5)

Pour toutn∈Net toutx∈R⁺, on pose

fn(x) =xⁿ(1−√ x) a) Montrer que

+∞

X

n=1

Z 1 0

fn(x) dx= Z 1

0

x 1 +√

xdx b) En déduire la valeur de

+∞

X

n=1

1 (n+ 1)(2n+ 3)

Montrer

Z 2π 0

e^{2 cos}^xdx=

+∞

X

n=0

2π (n!)²

Calculer, pourn∈Z,

In= Z 2π

0

e^inθ 2 + e^iθdθ

Soienta∈C,|a| 6= 1 etn∈Z. Calculer Z 2π

0

e^int e^it−adt

Montrer que

∀a, b >0, Z +∞

0

te^−at 1−e^−btdt=

+∞

X

n=0

1 (a+bn)²

Déterminer la limite quandn→+∞de 1

n Z +∞

0

e^−x/n 1 + cos²xdx

Soientα >0,n∈N. On pose un(α) =

Z π/2 0

(sint)^α(cost)ⁿdt a) Nature de la série de terme généralun(1).

b) Plus généralement, nature de la série de terme généralun(α).

c) Calculer

∞

P

n=1

u_n(α) pour α= 2,3.

a) Pour (m, n)∈N², calculer Z 1

0

xⁿ(1−x)^mdx Pourp∈Z, montrer l’existence de

Sp=

+∞

X

n=1

n^p 2n

n

!

b) CalculerS0 etS₋₁.

c) Sip∈N, proposer une méthode de calcul deSp.

ndésigne un entier naturel non nul.

a) Justifier que l’intégrale

Z +∞

0

n²−x² (n²+x²)²dx est définie.

(6)

b) Soita>0. Calculer

Z a 0

n²−x² (n²+x²)²dx En déduire la valeur de

Z +∞

0

n²−x² (n²+x²)²dx puis de

+∞

X

n=1

Z +∞

0

n²−x² (n²+x²)²dx c) Soita>0. Montrer que la série

+∞

X

n=1

n²−x² (n²+x²)² converge uniformément sur [0, a], puis que

Z a 0

+∞

X

n=1

n²−x² (n²+x²)²dx=

+∞

X

n=1

a n²+a² d) En exploitant une comparaison série-intégrale, déterminer

a→+∞lim

+∞

X

n=1

a n²+a² e) En déduire que l’intégrale

Z +∞

0 +∞

X

n=1

n²−x² (n²+x²)²dx est convergente et donner sa valeur.

Comparer avec le résultat obtenu en b). Qu’en conclure ?

a) Démontrer la convergence de la série de terme général a_n= n!

nⁿ b) Comparer

an et n Z +∞

0

tⁿe^−ntdt

c) En déduire :

+∞

X

n=1

an = Z +∞

0

te^−t (1−te^−t)²dt

On pose

In= Z 1

0

1 1 +tⁿdt pour tout entiern >0.

a) Trouver la limite`de (In).

b) Donner un équivalent de (`−I_n).

c) Justifier

Z 1 0

ln(1 +y)

y dy=

+∞

X

k=0

(−1)^k (k+ 1)²

d) Donner un développement asymptotique à trois termes de (In).

a) Déterminer la limite`quandn→+∞de I_n=

Z 1 0

1 1 +tⁿdt b) Donner un équivalent de

In−` c) Justifier

Z 1 0

ln(1 +tⁿ) dt=

+∞

X

k=1

(−1)^k−1 k(nk+ 1) d) En déduire un équivalent de

Z 1 0

ln(1 +tⁿ) dt

et donner un développement asymptotique à trois termes deIn.

(7)

a) Si (s, λ)∈R^+?×C, quelle est la nature de la série de terme général λⁿ

s(s+ 1). . .(s+n)

pourn>0 ? Aλfixé, on note ∆λ l’ensemble dess >0 tels que la série converge, et on noteFλ(s) la somme de cette série.

b) Calculer lim

s→sup ∆λ

Fλ(s).

c) Donner un équivalent deFλ(s) quands→inf ∆λ. d) Sin>1, calculer :

Z 1 0

(1−y)^s−1yⁿdy e) En déduire une expression intégrale deF_λ(s).

Soit (an)n>0 une suite bornée. Calculer

n→+∞lim Z +∞

0

e^−2t

+∞

X

p=n

ap

t^p p!

! dt

Six >1, on poseζ(x) =

+∞

P

n=1 1

n^x. Montrer Z +∞

2

(ζ(x)−1) dx=

+∞

X

n=2

1 n²lnn

Soit, pourn∈N,

un= Z π/2

0

h cosπ

2sinxin

dx a) Etudier la convergence de la suite (un)n>0.

b) Quelle est la nature de la série de terme généralun?

Donner la nature de la série de terme général un=

Z +∞

0

e^−tcos²ⁿtdt

Soitn∈N^?.

a) Ensemble de définition de

I_n(x) = Z +∞

0

dt (1 +t^x)ⁿ b) Montrer que six >1,PI_n(x) diverge.

c) CalculerI_n(2) pourn>1.

Donner la limite la suite (u_n) de terme général u_n =

Z 1 0

dt (1 +t³)ⁿ Quelle est la nature de la sériePu_n?

a) Donner les limites éventuelles en +∞des suites de termes généraux Un =

Z 1 0

dt

(1 +t³)ⁿ etVn= Z +∞

1

dt (1 +t³)ⁿ b) Quelle est la nature des séries

X

n>1

U_n et X

n>1

V_n?

Pourn∈N^?, soit f_n l’application définie par fn(x) =

2sh(x)

e^nx−1 six∈]0,+∞[

α six= 0

(8)

a) Pour quelle valeurs deαla fonction fn est-elle continue ? Dans la suite, on prendra cette valeur deα.

b) Montrer quefn est bornée.

c) Montrer queR+∞

0 fn(x) dxexiste pourn>2.

d) ExprimerR+∞

0 f_n(x) dxcomme la somme d’une série.

Pourn>1, on pose

In= Z +∞

0

dt (1 +t³)ⁿ a) Déterminer la limite de la suite (In).

b) Etablir que pour tout entiern>1,

I_n+1=3n−1 3n I_n

c) Déterminerα∈Rtel qu’il y ait convergence de la suite de terme général un= ln(n^αIn)

d) En déduire la convergence de la série X

n>1

1 nI_n et exprimer sa somme à l’aide d’une intégrale.

Intégration terme à terme par les sommes partielles

Montrer que, poura >0

Z 1 0

dt 1 +t^a =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ na+ 1

Pour toutα >0, établir que Z 1

0

x^α−1 1 +xdx=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ n+α

a) Etablir poura, b >0 l’égalité Z 1

0

t^a−1 1 +t^b dt=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ a+nb b) Calculer

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ 3n+ 1

Montrer

Z +∞

0 +∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n²+t² dt= π

2

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n

Soit (a_n) une suite croissante de réels>0 telle quea_n →+∞.

Justifier

Z +∞

0 +∞

X

n=0

(−1)ⁿe^−aⁿ^xdx=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ an

Etude de fonctions concrètes

a) Justifier que l’intégrale suivante est définie pour toutx >0 f(x) =

Z 1 0

t^x−1 1 +tdt

b) Justifier la continuité def sur son domaine de définition.

c) Calculerf(x) +f(x+ 1) pourx >0.

d) Donner un équivalent def(x) quandx→0⁺ et la limite def en +∞.

On pose

F(x) = Z +∞

0

e^−t 1 +txdt

(9)

a) Montrer queF(x) est bien définie pour toutx>0.

b) Montrer queF est de classeC^∞ sur [0,+∞[.

c) CalculerF⁽ⁿ⁾(0) pour toutn∈N. Exercice 68 [ 00538 ][correction]

Soit

F :x7→

Z +∞

0

e^−xt 1 +t²dt

Montrer queF est solution surR^+?de limite nulle en +∞de l’équation différentielle

y⁰⁰+y= 1 x Exercice 69 [ 00537 ][correction]

Soit

f :x7→

Z +∞

0

e^−xt² 1 +t²dt a) Montrer quef est définie et continue surR⁺.

b) Montrer quef est dérivable surR^+? et solution de l’équation différentielle y−y⁰=

√π 2√

x Exercice 70 [ 00532 ][correction]

Soit

g(x) = Z +∞

0

e^−tx²dt 1 +t³

a) Calculerg(0) en réalisant le changement de variablet= 1/u.

b) Etudier les variations degsur son domaine de définition.

c) Etudier la limite degen +∞.

Soit

f :x7→

Z +∞

0

dt 1 +x³+t³ a) Montrer quef est définie surR⁺.

b) A l’aide du changement de variableu= 1/t, calculerf(0).

c) Montrer quef est continue et décroissante.

d) Déterminer lim

+∞f.

Soit

f :x7→ 1 π

Z π 0

cos(xsinθ) dθ a) Montrer quef est définie et de classeC² surR.

b) Déterminer une équation différentielle linéaire d’ordre 2 dontf est solution.

c) Montrer quef est développable en série entière surR.

d) Exploiter l’équation différentielle précédente pour former ce développement.

Soit

f :x7→

Z π/2 0

cost t+xdt

a) Montrer quef est définie, continue surR^+?. Etudier les variations def. b) Déterminer les limites def en 0⁺ et +∞.

c) Déterminer un équivalent def en 0⁺ et +∞.

Soitf la fonction donnée par

f(x) = Z π/2

0

sin^x(t) dt a) Montrer quef est définie et positive sur ]−1,+∞[.

b) Montrer quef est de classeC¹et préciser sa monotonie.

c) Former une relation entref(x+ 2) etf(x) pour toutx >−1.

d) On pose pourx >0,

ϕ(x) =xf(x)f(x−1) Montrer que

∀x >0, ϕ(x+ 1) =ϕ(x) Calculerϕ(n) pour n∈N^?.

e) Déterminer un équivalent àf en−1⁺.

a) Pour quelsxdeRl’intégrale Z π/2

0

(sint)^xdt

(10)

existe-t-elle ? Dans ce cas, soitf(x) sa valeur.

b) Montrer quef est de classeC¹sur son intervalle de définition.

c) Que dire de la fonction

x7→(x+ 1)f(x)f(x+ 1) ?

Montrer que, pour toutxréel positif, Z +∞

0

arctan(x/t) 1 +t² dt=

Z x 0

lnt t²−1dt

Soit Ω ={z∈C/Rez >−1}. Siz∈Ω, on pose f(z) =

Z 1 0

t^z 1 +tdt a) Montrer quef est définie et continue sur Ω.

b) Donner un équivalent def(x) quandxtend vers−1.

c) Donner un équivalent def(z) quand Re(z)→+∞.

Pourx∈R, on pose

f(x) = Z +∞

0

sin(xt) e^t−1 dt a) Définition def.

b) Continuité et dérivabilité def. c) Ecriref(1) comme somme de série.

On pose, pourx >0,

f(x) = 1 x

Z +∞

0

1−e^−tx 1 +t² dt

Montrer quef est de classeC²sur ]0,+∞[ et trouver des équivalents simples def en 0 et en +∞.

Pourx >0, on pose

f(x) = Z x

−x

√ dt 1 +t²√

x²−t² a) Montrer quef est définie et continue.

b) Déterminer les limites def en 0⁺ et +∞.

a) Déterminer le domaine de définition de f(x) =

Z x 1

cos²t t dt b) Donner un équivalent def en 0 et en +∞.

a) Déterminer l’ensemble de définition de f(x) =

Z 1 0

dt

pt(1−t)(1−x²t) b) Donner la limite def enx= 1.

On pose

f(α) = Z +∞

0

dx x^α(1 +x) a) Etudier l’ensemble de définition def.

b) Donner un équivalent def en 0.

c) Montrer que le graphe def admet une symétrie d’axex= 1/2.

d) Montrer quef est continue sur son ensemble de définition.

e) Calculer la borne inférieure def.

Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Pourx >0, on pose

F(x) = Z 1

0

lnt t+xdt

(11)

a) Montrer queF est de classeC¹sur ]0,+∞[.

b) CalculerF⁰(x) et en déduire l’expression de G(x) =F(x) +F(1/x) c) Soitθ∈R. Calculer

Z 1 0

t−1 t+ 1

lnt

t²+ 2tch(θ) + 1dt

a) Montrer la continuité de l’application définie sur ]0,+∞[ par g(x) =

Z x 0

sin(t) x+t dt b) Préciser ses limites en 0 et +∞.

Soit

g:x7→

Z +∞

0

e^−xt 1 +tdt

Montrons queg est solution surR^+? de l’équation différentielle

−y⁰+y= 1 x

Calcul de fonction intégrale

On considère la fonction

g:x∈]−1,+∞[7→

Z 1 0

t−1 lnt t^xdt a) Montrer que la fonctiongest bien définie.

b) Justifier que la fonction est de classeC¹et exprimerg⁰(x).

c) En déduire une expression deg(x) à l’aide des fonctions usuelles

Etudier

f :x7→

Z 1 0

t−1 lnt t^xdt

a) Montrer que l’applicationg:x7→R1 0

t^x−1

lnt dtest définie sur ]−1,+∞[.

b) Justifier queg est de classeC¹et calculer g⁰(x).

c) En déduire une expression simple deg(x) pourx >−1.

a) Justifier l’existence et calculer Z +∞

0

cos(xt)e^−tdt Soit

F :x7→

Z +∞

0

sin(xt) t e^−tdt

b) Justifier queF est définie et de classeC¹ surR. CalculerF⁰(x).

c) En déduire une expression simplifiée deF(x).

Pour toutxréel, on pose f(x) =

Z +∞

0

cos(xt)

√t e^−tdtetg(x) = Z +∞

0

sin(xt)

√t e^−tdt Existence et calcul de ces deux intégrales.

Soit

F(x, y) = Z +∞

0

e^−xt−e^−yt

t dtavecx, y >0

Poury >0, montrer quex7→F(x, y) est de classeC¹ surR^+? et calculer

∂F

∂x(x, y) En déduire la valeur deF(x, y).

(12)

On pose

F(x) = Z +∞

0

e^−t−e^−2t

t cos(xt) dt a) Quel est le domaine de définition réelI de la fonctionF? b) Justifier que la fonctionF est de classeC¹ surI.

c) ExprimerF(x) à l’aide des fonctions usuelles.

Soienta, bdeux réels strictement positifs.

a) Justifier l’existence pour toutx∈Rde F(x) =

Z +∞

0

e^−at−e^−bt

t cos(xt) dt b) Justifier queF est de classeC¹ surRet calculer F⁰(x).

c) ExprimerF(x)

On pose

z:x7→

Z +∞

0

e^(−1+ix)t

√t dt et on donneR+∞

0 e^−t²dt=√ π/2.

a) Justifier et calculerz(0).

b) Montrer quez est définie, de classeC¹ surRet z⁰(x) = −1

2(x+i)z(x) c) En déduire l’expression dez(x).

En dérivant la fonction déterminer l’expression de la fonction g(x) =

Z +∞

−∞

e^−t²e^txdt

a) Existence de

F(x) = Z +∞

0

e^−t²ch(2xt) dt

b) CalculerF(x) en introduisant une équation différentielle vérifiée parF. c) CalculerF(x) directement par une intégration terme à terme.

Ensemble de définition, dérivée et valeur de f :x7→

Z +∞

0

ln(1 +x²t²) 1 +t² dt.

Pourx >0, on pose

F(x) = Z π/2

0

ln cos²(t) +x²sin²(t) dt a) Justifier queF est définie et de classeC¹sur ]0,+∞[.

b) CalculerF⁰(x) et en déduire un expression deF(x).

Z 2π 0

ln(1 +xcost) cost dt

Soit

F(x) = Z π/2

0

ln(1 +xsin²t) dt sur [0,+∞[

a) Justifier queF est bien définie et continue.

b) Etudier la dérivabilité sur [0,+∞[ et donner l’expression de sa dérivée via le changement de variableu= tant.

c) Etablir que

F(x) =π(ln(1 +√

1 +x)−ln 2)

(13)

f(x) = Z +∞

0

ln(x²+t²) 1 +t² dt

Soit

F(x) = Z 1

0

ln(1 + 2tcosx+t²)

t dt

a) Justifier queF est définie et de classeC¹sur [0, π/2]

b) CalculerF⁰(x) sur [0, π/2]

c) Donner la valeur deF(0) puis celle deF(x) sachant

+∞

X

k=1

(−1)^k−1 k² = π²

12

Pourn∈N^? et x >0, on pose I_n(x) =

Z +∞

0

dt (x²+t²)ⁿ a) Justifier l’existence deIn(x).

b) CalculerI1(x).

c) Justifier queIn(x) est de classeC¹ et exprimerI_n⁰(x).

d) ExprimerIn(x).

Pour toutx∈R, on pose F(x) =

Z +∞

0

exp

−

t²+x² t²

dt a) Montrer queF est définie et continue surR.

b) Montrer queF est de classeC¹ sur ]0,+∞[.

c) Former une équation différentielle vérifiée parF sur ]0,+∞[.

d) En déduire une expression simple deF surR.

SoitF la fonction définie par : F(x) =

Z +∞

0

arctan(xt) t(1 +t²) dt a) Montrer queF est définie et de classeC¹ surR⁺. On admet l’identité

x²−1

(1 +x²t²)(1 +t²) = x²

1 +x²t² − 1 1 +t² valable pour toutxet tdansR

b) Déterminer l’expression deF(x).

Etude théorique

Soitf une application continue de R×[a, b] dansR.

Expliquer pourquoif est uniformément continue surS×[a, b] pour tout segment S deR.

En déduire queF :x7→Rb

a f(x, t) dtest continue surR. Pourx∈R, on poseg(x) =R1

0 e^xtdt. A l’aide de la question précédente, étudier la continuité deg. Retrouver le résultat en calculantg(x).

Soientf :I×R→Ret u, v:I→Rcontinues.

Montrer la continuité de la fonction x7→

Z v(x) u(x)

f(x, t) dt

Soitf :R→Rde classeC^∞ vérifiantf(0) = 0.

Montrer que la fonction

g:x7→ f(x) x

se prolonge en une fonction de classeC^∞ surRet exprimer ses dérivées successives en 0 en fonction de celles def.

(14)

Soientf :I→Rune fonction de classeC^∞et a∈Rtels que f(a) =f⁰(a) =· · ·=f^(α−1)(a) = 0 a) Montrer qu’on a pour toutx∈I

f(x) = Z x

a

(x−t)^α−1

(α−1)! f^(α)(t) dt

b) En déduire qu’on peut écriref(x) = (x−a)^αg(x) avecgde classeC^∞ surR.

Transformée de Fourier et intégrales apparentées

On pose

z:x7→

Z +∞

0

e^(−1+ix)t²dt a) Montrer quez est définie, de classeC¹ surRet vérifie

z⁰(x) = −1 2(x+i)z(x) b) En déduire l’expression dez(x) sachantz(0) =√

π/2.

En dérivant la fonction déterminer l’expression de la fonction g(x) =

Z +∞

−∞

e^−t²e^itxdt

On considère

ϕ:x7→

Z +∞

0

e^itx 1 +t²dt a) Montrer la définie et la continuité deϕsurR.

b) Montrer queϕest de classeC¹surR^? et montrer que ϕ⁰(x) =i

Z +∞

0

te^itx 1 +t²dt

c) Montrer que pourx >0,

ϕ⁰(x) =i Z +∞

0

ue^iu x²+u²du et déterminer un équivalent deϕ⁰(x) quandx→0⁺. d) La fonctionϕest-elle dérivable en 0 ?

On étudie

f(x) = Z +∞

0

e^−t²cos(xt) dt a) Donner le domaine de définition def.

b) Calculerf en formant une équation différentielle.

c) Calculerf en exploitant le développement en série entière de la fonction cosinus.

g(x) = Z +∞

0

e^−t²cos(xt)dt sachantg(0) =√

π/2.

Fonction d’Euler

Démontrer que la fonction

Γ :x7→

Z +∞

0

t^x−1e^−tdt est définie et de classeC^∞ sur ]0,+∞[.

a) Démontrer que la fonction Γ donnée par Γ(x) =

Z +∞

0

t^x−1e^−tdt

(15)

est définie et continue sur ]0,+∞[.

b) Démontrer que la fonction Γ est de classeC² sur ]0,+∞[.

c) En exploitant l’inégalité de Cauchy Schwarz, établir que la fonctionx7→ln Γ(x) est convexe.

L’objectif de cet exercice est de calculer Z +∞

0

ln(t)e^−tdt a) Montrer que pour toutt∈[0, n],

06

1− t n

n−1

6e.e^−t b) Etablir que

n→+∞lim Z n

0

ln(t)

1− t n

n−1

dt= Z +∞

0

ln(t)e^−tdt c) Observer que

Z n 0

ln(t)

1− t n

ⁿ⁻¹

dt= lnn+ Z 1

0

(1−u)ⁿ−1

u du

d) Conclure que

Z +∞

0

ln(t)e^−tdt=−γ oùγdésigne la constante d’Euler.

On rappelleR+∞

0 e^−t²dt=

√π 2 . Pourx >0, on pose

Γ(x) = Z +∞

0

e^−tt^x−1dt

a) Montrer que cette fonction est définie et indéfiniment dérivable sur ]0,+∞[.

On étudiera la régularité en se restreignant àx∈[a, b]⊂]0,+∞[.

b) Calculer Γ(n+ 1) pourn∈N.

c) En réalisant le changement de variablet=n+y√

n, transformer l’intégrale Γ(n+ 1) en

nⁿ eⁿ

√n Z +∞

−∞

fn(y) dy oùfn(y) = 0 poury6−√

x, 06fn(y)6e^−y²^/2 pour−√

t < y60 et 06fn(y)6(1 +y)e^−y pour y >0 ett>1.

d) En appliquant le théorème de convergence dominée établir la formule de Stirling :

n!∼√ 2πnnⁿ

eⁿ

a) Donner le domaine de définition de la fonction Γ :x7→

Z +∞

0

t^x−1e^−tdt b) Calculer l’intégrale

I_n(x) = Z n

0

t^x−1

1− t n

ⁿ dt c) Expliquer rapidement pourquoi 1−_n^tn

converge vers e^−tet montrer que Γ(x) = lim

n→+∞

n^xn!

x(x+ 1). . .(x+n)

Etablir que pour toutx >0 Z 1

0

t^x−1e^−tdt=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ n!(x+n)

Applications au calcul d’intégrales

Soitf : [0,+∞[→Rdéfinie par f(x) =

Z 1 0

e^−x(1+t²⁾ 1 +t² dt

(16)

a) Montrer quef est dérivable sur [0,+∞[ et exprimerf⁰(x).

b) Calculerf(0) et lim

+∞f.

c) On notegl’application définie par g(x) =f(x²). Montrer g(x) +

Z x 0

e^−t²dt 2

=π 4 d) Conclure

Z +∞

0

e^−t²dt=

√π 2

L’objectif de ce sujet est de calculer I=

Z +∞

0

e^−t

√t dt Pourx>0, on pose

F(x) = Z +∞

0

e^−xt

√t(1 +t)dt a) Justifier que la fonctionF est bien définie

b) Déterminer une équation linéaire d’ordre 1 dontF est solution sur ]0,+∞[.

c) CalculerF(0) et la limite deF en +∞.

d) En déduire la valeur deI.

On pose, pourx>0,

F(x) = Z +∞

0

e^−xt1−cost t² dt

a) Montrer queF est continue sur [0,+∞[ et tend vers 0 en +∞.

b) Montrer queF est deux fois dérivable sur ]0,+∞[ et calculerF⁰⁰(x).

c) En déduire la valeur deF(0) puis la valeur de l’intégrale convergente Z +∞

0

sint t dt

a) Justifier la convergence de l’intégrale I=

Z +∞

0

sint t dt b) Pour toutx>0, on pose

F(x) = Z +∞

0

e^−xtsint

t dt

Déterminer la limite deF en +∞.

c) Justifier queF est dérivable sur ]0,+∞[ et calculer F⁰

d) En admettant la continuité deF en 0 déterminer la valeur deI.

Pourx∈R⁺ ett>0, on pose f(x, t) = e^−xtsinctoù sinc (lire sinus cardinal) est la fonctiont7→ ^sint_t prolongée par continuité en 0.

Pourn∈N, on pose

u_n(x) =

Z (n+1)π nπ

f(x, t)dt a) Montrer queu_n(x) = (−1)ⁿRπ

0 g_n(x, u) duavecg_n(x, u) qu’on explicitera.

b) Montrer que la série de fonctions de terme généralu_n converge uniformément surR⁺.

c) On poseU(x) =

+∞

P

n=0

un(x). Justifier queU est continue et expliciterU sous la forme d’une intégrale convergente.

d) Montrer queU est de classeC¹ sur ]0,+∞[ et calculerU⁰(x).

e) ExpliciterU(x) pourx >0 puis la valeur de U(0) =

Z +∞

0

sint t dt

Pourx∈R⁺, soit

f(x) = Z +∞

0

sint t e^−txdt a) Justifier la définition def(x).

b) Montrer quef est classeC¹surR^+?. c) Calculerf(x) six∈R^+?.

d) Montrer quef est continue en 0. Qu’en déduit-on ?

(17)

On considère les fonctionsf etg définies surR⁺ par : f(x) =

Z +∞

0

e^−xt

1 +t²dtet g(x) = Z +∞

0

sint x+tdt

a) Montrer quef et gsont de classeC²surR^+? et qu’elles vérifient l’équation différentielle

y⁰⁰+y= 1 x b) Montrer quef etg sont continues en 0 c) En déduire que

Z +∞

0

sint t dt=π

2

SoitF la fonction définie par : F(x) =

Z +∞

0

arctan(xt) t(1 +t²) dt a) Montrer queF est définie et de classeC¹ surR⁺. b) Déterminer l’expression deF(x).

c) Calculer

Z +∞

0

arctan²t t² dt

a) Montrer que pour toutx >−1 Z 1

0

ln(1 +xt)

1 +t² dt= ln 2

2 arctanx+π

8ln(1 +x²)− Z x

0

ln(1 +t) 1 +t² dt b) En déduire la valeur de

Z 1 0

ln(1 +t) 1 +t² dt