6.9 1) lim
k→+∞
√kuk= lim
k→+∞
k
r 1
2k = lim
k→+∞
√k
1
√k
2k = lim
k→+∞
1 2 = 1
2 <1 La série converge, au vu du critère de Cauchy.
2) lim
k→+∞
√kuk= lim
k→+∞
k
r 3k
180·2k = lim
k→+∞
√k
3k
√k
180·
√k
2k = lim
k→+∞
3
√k
180·2
= 3
( lim
k→+∞
√k
180)·2 = 3 1·2 = 3
2 >1
Le critère de Cauchy implique la divergence de la série.
3) lim
k→+∞
√kuk= lim
k→+∞
k
s
2k 3k+ 1
k
= lim
k→+∞
2k
3k+ 1 = lim
k→+∞
2k 3k = 2
3 <1 On conclut, grâce au critère de Cauchy, à la convergence de la série.
4) lim
k→+∞
√kuk= lim
k→+∞
k
s k+ 1 2k−1
k
= lim
k→+∞
k+ 1
2k−1 = lim
k→+∞
k 2k = 1
2 <1 Le critère de Cauchy garantit que la série converge.
Analyse : critères de convergence d’une série Corrigé 6.9
