FSR TD-Méthodes Numériques 2019/2020
A. Rtibi Page 1
Série 2 Exercice 1.
Soit une fonction de classe sur l’intervalle de .
Considérons maintenant points équidistants de , d’abscisses , avec le paramètre de discrétisation .
Les valeurs de aux points , notées , sont supposées connues. Nous nous proposons d’approcher les deux premières dérivées par des schémas de différences finies utilisant trois points voisins.
À partir de la formule générale !
1. trouver, à l’aide d’un développement de Taylor au voisinage de , les relations entre les coefficients pour que l’erreur de troncature contient des termes , avec ( donnera l’ordre deprécision du schéma aux différences finies).
2. Ecrire le système linéaire sous-déterminé ainsi obtenu ( équations avec inconnues).
3. Réécrire ce système en choisissant comme paramètres . 4. Schémas pour approcher la dérivée première : .
a. Montrer que l’ordre maximum qu’on peut obtenir avec cette méthode est est que le schéma implicite correspondante s’écrit comme :
b. Montrer que le schéma explicite ( ) d’ordre maximum est :
c. Commenter ces résultats.
5. Schémas pour approcher la dérivée seconde : .
a. Montrer que l’ordre maximum qu’on peut obtenir avec cette méthode est est que le schéma implicite correspondante s’écrit comme :
b. Montrer que le schéma explicite (b+ = b = 0) d’ordre maximum est :
c. Commenter ces résultats.
Exercice 2.
Soit la formule suivante :
∫
1. déterminer et pour que la formule soit exacte pour des polynômes de degré ≤ 1.
2. Soit (ensemble des polynômes de degré ≤ 1) défini par et . Construire . En approchant par sur , donner une approximation de ∫ .
3. Donner une estimation de l’erreur d’intégration.
A. RTIBI Page 2 4. Soit { } une subdivision de l’intervalle de pas . Utiliser la formule des trapèzes sur chaque intervalle pour approcher ∫ . Donner une estimation de l’erreur d’intégration.
5. Soit , trouver pour que cette formule de quadrature approche
∫ avec une précision .
Exercice 3.
1. Ecrire le polynôme d'interpolation de Lagrange d'une fonction construite sur les points : .
2. Par intégration du polynôme obtenu, déduire la formule d’intégration approchée suivante :
∫
( ) ( ) 3. Quel est l'ordre de cette méthode numérique ? justifier votre réponse.
Exercice 4.
4. Sur la base du tableau suivant, déterminer par la méthode des Trapèzes puis par celle de Simpson :
∫
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
5. Ces points sont ceux donnant , comparer alors les résultats obtenus avec la valeur exacte.
6. Trouver le nombre de subdivisions nécessaires de l'intervalle d'intégration , pour évaluer à prés l'intégrale ∫ par la méthode de Simpson.
Exercice 5.
On lance une fusée verticalement du sol et l'on mesure pendant les premières 80 secondes l'accélération .
0
Calculer la vitesse à l'instant par la méthode de Trapèze puis par celle de Simpson.
Exercice 6.
On cherche à approcher l'intégrale ∫ par la méthode de Simpson à 3 points.
Montrer que la formule de Simpson est de degré de précision .
