Formules de Taylor Comparaison des fonctions au voisinage

Texte intégral

(1)www.elmerouani.jimdo.com. Analyse Mathématique. Développements limités. Chapitre 7 :. ®E. limités. et. Formules de Taylor Comparaison des fonctions au voisinage. lM. I.. Développements. d’un point :. Les études de fonctions nous ramènent constamment aux limites. ero usuelles :. lim. x. lim. e. x → +∞. x. =0. ua. x → +∞. Log x = 0 et x. Qualitativement, on exprime parfois ces égalités en disant : « A l’infini, Log x est petit devant x, lui-même petit devant ex ». Ce type d’expression,. ni. qui constitue simplement une comparaison des ordres de grandeur de ces différentes fonctions vers + ∞, est à la base d’une terminologie standard. FP. de comparaison des fonctions que voici.. 1.- Fonction négligeable devant une autre :. Te. a.- Définition et notation :. On dit que f est négligeable devant g au voisinage d’un point x0 (x0 ∈ IR. lim. x→ x0. On note cela par f = o(g). vers x0. f (x) = 0. g (x). Ce qui se lit « f égale petit o de g au voisinage de x0 ». b.- Exemple :. an. tou. ou x0 = ±∞ ) si, et seulement si. 1-) Au voisinage de 0, f (x)= x² est négligeable devant g(x)=x puisque :. Prof. Mohamed El Merouani. 1.

(2) www.elmerouani.jimdo.com. Développements limités. Analyse Mathématique. x² = x. f ( x) = lim lim x → 0 g ( x) x → 0. ®E. Ainsi x² = o(x). lim x= 0 x→0. vers 0. 2-) Au voisinage de +∞, f (x)=Log x est négligeable devant g(x)=x, lui-. lM. même négligeable devant h(x) = ex (Conséquence du fait que. lim. x → +∞. Log x x = lim x = 0 ) x → +∞ e x. ero Ainsi. Log x = o (x) vers + ∞. .. et. x=o(e. x. ) vers +∞.. c.- Remarque :. ua. Il est essentiel de bien comprendre que la notion de fonction négligeable devant une autre n’a de sens qu’au voisinage d’un certain point.. ni. Ainsi f (x)= x² qui est négligeable devant g(x) = x vers 0, ne l’est pas vers +∞ puisqu’au contraire c’est alors g(x)=x qui devient négligeable devant x → +∞. g ( x) x 1 = lim 2 = lim = 0 x → +∞ x f ( x ) x →+∞ x. FP. f(x) = x² vers + ∞ : lim. an. tou. Te Prof. Mohamed El Merouani. 2.

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