Synthèse cours 4 : Comparaison des fonctions au voisinage d’un point- Développements limités

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Synthèse cours 4 : Comparaison des fonctions au voisinage d’un point-

Développements limités

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EQUIVALENCE

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• DL

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Remarques :

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Concrètement, pour déterminer un DL en un point x0, on pose x = t +x0 ,g(t) = f (t +x0) et on cherche le DL de g en 0.

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Lever des formes indéterminées: sur les développement limités on peut faire plus

d’opérations que sur les équivalents donc lorsqu’on sera bloqué avec les équivalents, il sera souvent judicieux de passer par les développements limités pour trouver par exemple une limite.

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Etude locale d’une fonction (tangente à la courbe et convexité au voisinage d’un point).

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Déterminer une asymptote à une courbe.

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Etudier la nature d’une série dans le cas où un équivalent ne donne rien.

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^{Astuces :}

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on peut lire f(x0), f’(x0) et la convexité de la fonction en xo grâce au DL2(x0)

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si DL2(x0), il est plus simple de faire changement de variable et de faire DL2(0)

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Si en faisant le DL2, on tombe sur du x^3, x^4,... les supprimer, cela ne change pas la valeur du DL2.

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pas besoin que la fonction soit définie en x0 pour que DL2 existe, il faut seulement que f soit de classe C2 au voisinage de x0