Développements limités

Feuille n^o5 MM2

Développements limités

Exercice 1. Déterminer les développements limités suivants : 1. f₁(x) =e^x−cosx, à l'ordre2 en 0.

2. f₂(x) =√

1−x², à l'ordre4 en 0. 3. f₃(x) = ^sinx_1+x, à l'ordre3 en 0. 4. f₄(x) = tanx à l'odre3 en 0. 5. f₅(x) = ln(cosx) à l'ordre4en 0. 6. f₆(x) =√

xà l'ordre2 en 2.

7. f₇(x) = sinxà l'ordre2 en ^π₆. 8. f₈(x) = lnx à l'ordre2 en ¹₂. 9. f9(x) = ln(sinx) à l'ordre2en ^π₆.

10. f10(x) = (x−ln(1 +x))(e^x−cosx) à l'ordre 4en 0.

11. f₁₁(x) = _ex^x−1 à l'ordre4 en 0. Exercice 2. Déterminer les limites suivantes

1. l1= lim

x→0 sinx

x . 2. l2= lim

x→0 1−cosx

x² . 3. l₃= lim

x→0 1

x −_ex¹₋₁. 4. l4= lim

x→0

√ x

x²+1−1. 5. l₅= lim

x→+∞

√x²+x+ 1−√

x²−x+ 1. 6. l₆= lim

x→0 x^xxlnx

x^x−1 . 7. l7= lim

x→0

ln(1+sin(x))√ cosx−1 .

8. Soitn∈N^?, b1, . . . , bn∈R^?+. l8 lim

x→+∞

a^1/x₁ +···+a^1/x_n n

x

. 9. Soitp, q∈R^?.

l9= lim

x→0

tan(px)−sin(qx) tan(qx)−sin(px). 10. l₁₀= lim

x→0(2e^sinx−cosx)^cotanx.

11. l11= lim

x→+∞

xsinx 1+x². 12. l₁₂= lim

x→+∞

lnx x

_x¹ . 13. l13= lim

x→0

5 sin(3x)−3 sin(5x)

x³ .

14. l₁₄= lim

x→0 1 x²

1

1+x² −cosx . 15. l₁₅= lim

x→0

e^x−cosx−sinx x² . 16. l₁₆= lim

x→1 sin(πx)

lnx . 17. l₁₇= lim

x→1

x^x−x^1/x (x−1)² . 18. l18= lim

x→+∞(^x₂² +x⁴ln cos¹_x).

19. l₁₉= lim

x→+∞x²

e^x1 −e^x+11 . 20. l20= lim

x→^π₂ 2

cos²x +_ln(sin¹ _x). Exercice 3. Déterminer un équivalent simple des fonctions suivantes au voisinage de 0 :

1. f1(x) =x(2 + cosx)−3 sinx; 2. f₂(x) =x^x−(sinx)^x;

3. f₃(x) = arctan(2x)−2 arctan(x).

Exercice 4. Trouver un équivalent quandx→ ^π₂ de la fonctionf dénie par f(x) = sinx+ cos 2x

Exercice 5. Déterminer un équivalent simple de la suite dont le terme général est : 1. un= 2√

n−√

n+ 1−√ n−1 2. vn= ^{ln(n+1)−ln√}_n+1−^√_nⁿ

3. w_n= ⁿ⁺¹√

n+ 1− √ⁿ n.

1

Exercice 6. Soit(u_n)la suite dénie par u₀ = 1 et

∀n∈N, u_n+1= sinu_n 1. Étudier la suite (un).

2. Montrer qu'il existe α∈Rtel que la suite (u^α_n+1−u^α_n) converge vers une limite nie non nulle.

3. En déduire un équivalent de un lorsque ntend vers l'inni.

Exercice 7. Étudier les fonctions suivantes au voisinage de l'inni : 1. f1(x) = ¹

e^x1−1; 2. f2(x) = ^x_x³2⁺²−1; 3. f₃(x) = ^x2_x+1^−x+2e^−x1.

Exercice 8. Soitf la fonction dénie surRpar

∀x∈R, f(x) =xe^x2 1. Montrer quef admet une fonction réciproque surR.

2. Déterminer le développement limité de f⁻¹ en 0à l'ordre5.

Exercice 9. Soitf :R→Rla fonction dénie par f(0) = 0 et

∀x∈R^?, f(x) =e^−x12

Montrer que f est de classeC^∞ surRet que pour toutn∈N,f⁽ⁿ⁾(0) = 0.

Exercice 10. Soit f :R→R la fonction dénie par

∀x∈R, f(x) = x²−8x+ 2

√ 1 +x² 1. Dresser le tableau de variations de la fonction f.

2. Calculer le développement limité de f en 0 à l'ordre 3. En déduire l'équation de sa tangente en 0 et la position de la courbe représentative def par rapport à cette tangente au voisinage de0. 3. Montrer quef admet une asymptote en+∞dont on déterminera l'équation. Quelle est la position

relative de la courbe représentative de f par rapport à cette asymptote au voisinage de+∞? 4. Étudier le comportement asymptotique de f en −∞.

Exercice 11. Soit f la fonction dénie sur R^?+ par

f(x) = (x+ 1)e^1x

1. Écrire un développement asymptotique de f à la précision _x¹ lorsquex tend vers +∞. 2. En déduire l'existence d'une droite asymptote en +∞à la courbe représentative de f. 3. Étudier la position relative de la courbe et de son asymptote en+∞.

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