e i π = -1
BCPST1 Fénelon Nicolas Clatin 2009
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fiche 6
Développements limités
On donne quelques développements limités au premier ordre, au voisinage de x = 0 (positif ou négatif), utiles en physique. Ils donnent une valeur approchée d’une fonction en un point proche de 0.
Un des plus utilisés est celui de(1 +x)n, oùnest un nombre positif ou négatif pas trop grand (de sorte que nxreste petit devant1). On donne ci-dessous sa formule générale, ainsi que ses applications pour les valeurs de nfréquemment rencontrées :
(1 +x)n≈1 +n x (1)
(1 +x)2≈1 + 2x (2)
(1 +x)1/2=√
1 +x≈1 + x
2 (3)
(1 +x)−1= 1
1 +x≈1−x (4)
(1 +x)−1/2= 1
√1 +x≈1− x
2 (5)
Les développements limités des fonctions logarithme népérien et exponentielle sont indispensables :
ln (1 +x)≈x (6)
expx= ex≈1 +x (7)
Enfin, dans de nombreuses applications, surtout en optique, il faut connaitre ceux des fonctions trigonomé- triques :
cosx≈1 (8)
sinx≈x (9)
tanx≈x (10)
Dans quelques rares cas, le développement limité au deuxième ordre de la fonction cosinus peut être utile :
cosx≈1− x2
2 (11)
