EXERCICE 1 Calculer les développements limités suivants : 1. ln sin(x)

CNAM Durée 2h

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Les exercices sont indépendants et peuvent être traité dans un ordre quelconque.

EXERCICE 1 Calculer les développements limités suivants : 1. ln _sin(x)

x

en 0 à l'ordre 4 . Solution : ln _sin(x)

x

= ^−x ₆

− ₁₈₀ ^x

+ o(x ⁴ ) . 2. e

p

x ² + x + 1 en +∞ à l'ordre −2 . Solution : e

p

x ² + x + 1 = x + 3 2 + 11

8x + 7

16x ² + o(1/x ² ) . 3. _2+cos(x) ^sin(x)−1 en 0 à l'ordre 2.

Solution : ^sin(x)−1 _2+cos(x) = − ¹ ₂ + ^x ₂ − ^x ₈

.

EXERCICE 2 Etudier la nature de la série de terme général u n : 1. u _n = _n ⁿ⁺¹

−7 .

2. u _n = _n ⁿ⁺¹

−7 . 3. u n = ⁿ

_n! . 4. u _n = sin _n ¹ n

.

EXERCICE 2 Soit f la fonction paire 2π -périodique dénie par :

f (x) =







1 si 0 ≤ x < ^π ₂ 0 si x = ^π ₂

−1 si ^π ₂ < x ≤ π.

1. Représenter le graphe de la fonction f .

2. Etudier la convergence de la série de Fourier de f .

3. Calculer les coecients de Fourier de f ainsi que la série de Fourier de f . 4. En déduire que

+∞

X

n=0

(−1) ⁿ 2n + 1 = π

4 et

+∞

X

n=0

1

(2n + 1) ² = π ² 8 . EXERCICE 4

On considère la 1 -forme diérentielle ω = (y ³ − 6xy ² )dx + (3xy ² − 6x ² y)dy dénie sur R ² . 1. ω est-elle fermée sur R ² ?

2. ω est-elle exacte sur R ² ?

3. Déterminer une primitive A de ω sur R ² .

4. Notons A ₁ = (1, 0) , A ₂ = (1, 1) , A ₃ = (−1, 1) et A ₄ = (−1, 0) . On considère γ le chemin orienté reliant A 1 à A 2 , A 2 à A 3 , A 3 à A 4 .

Dessiner γ , et en donner une paramétrisation.

5. Calculer de deux manières diérentes l'intégrale curviligne de ω le long du chemin γ (en utilisant la formule du cours, puis en utilisant la primitive A de ω )

1

FORMULAIRE

Développements limités

Développements limités en 0 :

e ^x = 1 + x + x ²

2! + . . . + x ⁿ

n! + x ⁿ ε(x), cos(x) = 1 − x ²

2! + . . . + (−1) ⁿ x ²ⁿ

(2n)! + x ²ⁿ⁺¹ ε(x), sin(x) = x − x ³

3! + . . . + (−1) ⁿ x ²ⁿ⁺¹

(2n + 1)! + x ²ⁿ⁺² ε(x), ln(1 + x) = x − x ²

2 + . . . + (−1) ⁿ⁺¹ x ⁿ

n + x ⁿ ε(x), 1

1 − x = 1 + x + . . . + x ⁿ + x ⁿ ε(x).

√

1 + x = 1 + x 2 − x ²

8 + x ² ε(x).

Séries de Fourier

Soit f une fonction 2π -périodique.

a 0 (f ) = 1 π

Z π

−π

f (t)dt, a n (f ) = 1 π

Z π

−π

f (t) cos(nt)dt, b n (f ) = 1 π

Z π

−π

f (t) sin(nt)dt.

Si de plus f est paire : a ₀ (f ) = 2

π Z _π

0

f (t)dt, a _n (f ) = 2 π

Z _π

0

f (t) cos(nt)dt, b _n (f) = 0.

Si de plus f est impaire :

a ₀ (f ) = 0, a _n (f ) = 0, b _n (f) = 2 π

Z _π

0

f (t) sin(nt)dt.

La série de Fourier de f est :

Sf (x) = a ₀ (f )

2 +

∞

X

n=1

(a _n (f ) cos(nx) + b _n (f) sin(nx)).

Formule de Parseval :

|a ₀ (f)| ²

4 + X

n≥1

|a _n (f)| ² + |b _n (f )| ²

2 = 1

2π Z 2π

0

|f (t)| ² dt.

Géométrie diérentielle

Soit ω = f dx + gdy une forme diérentielle de degré un dénie sur Ω ⊆ R ² . Soit un arc paramétré γ : [a, b] −→ Ω, γ(t) = (γ ₁ (t), γ ₂ (t)). L'intégrale curviligne de ω le long de γ est :

Z

γ

ω = Z _b

a

f (γ ₁ (t), γ ₂ (t))γ ₁ ⁰ (t) + g(γ ₁ (t), γ ₂ (t))γ ₂ ⁰ (t) dt.

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