Calculer une primitive de ch x 1 + sh x

1.

Calculer une primitive de ch x 1 + sh x

2.

Limite de (

n

X

k=1

n

n

+ k

)

3.

Effectuer le changement de variable u = tan x dans

I = Z

0

sin

x cos

x dx

4.

Calculer Z

1

e

x

dx

5.

Soit z un nombre complexe non r´ eel, don- ner une primitive de la fonction complexe d’une variable r´ eelle t −→

.

6.

Calculer I en utilisant le changement de va- riable u = ln x pour

I = Z

1

(2 ln x − 1)

x dx

7.

Calculer une primitive de x

(x + 2)(x + 3)

8.

Soit n ≥ 2 dans N , en utilisant une int´ egrale de la fonction t →

t

, majorer S

= 1

√ 2 + 1

√

3 + · · · + 1

√ n

9.

Calculer la limite de la suite 1

n

n

X e

10.

Calculer I en utilisant le changement de va- riable u = e

pour

I = Z

ln 2

dx e

− 1

11.

Effectuer le changement de variable u = tan x dans

I = Z

0

dx 1 + 3 cos

x

12.

Pr´ eciser les intervalles de continuit´ e pour la fonction

√ 1

x

+ 2x + 5

Dans chacun de ces intervalles, calculer une primitive.

13.

Calculer une primitive de :

1 − 1

√

x

dx

14.

Donner une primitive de cotan x dans ]0, π[

15.

Calculer une primitive de x → xe

sin x

16.

Calculer une primitive pour les fonctions cos x − sin x

sin x + cos x , cos x sin x + cos x

17.

Primitive sur ]0, 2π[ de 1 1 + cos x

18.

Calculer une primitive de :

√ 1

3 − 4x

19.

Soit n ∈ N

, en utilisant une int´ egrale de la fonction t → √

t, minorer S

= √

1 + √

2 + · · · + √ n

20.

Exprimer en fonction de t + 1 une primitive de

t

t + 1

21.

Calculer a, b, c tels que X

(X + 1)(X

+ 1) = a

X + 1 + bX + c X

+ 1 En d´ eduire une primitive de

sin x sin x + cos x

22.

Effectuer le changement de variable u = cos x dans

I = Z

π 4

1

sin x + sin 2x dx

23.

Calculer Z

1

(ln x)

x dx

24.

Avec une int´ egration par partie, calculer Z

0

t cos(kπt) dt

25.

Calculer une primitive de (x + 1)e

26.

Dans l’int´ egrale, faire le changement de va- riable propos´ e, en d´ eduire une primitive

Z

tan x

1 + sin

x dx u = tan x

27.

Soit ϕ un r´ eel qui n’est pas congru ` a 0 modulo π. Calculer une primitive de

1

x

− 2x cos ϕ + 1

28.

Calculer une primitive de x → x cos

x

29.

Effectuer le changement de variable t = x−

dans

I = Z

0

√ 2 2 √

2 + cos x + sin x dx

30.

Donner une primitive de tan x dans ] −

,

[

31.

Effectuer le changement de variable t = (x

+ 1)

dans

I = Z

0

x dx

(x

+ 1)

+ (x

+ 1)

32.

Primitive de

cos xe

+ i sin xe

33.

Dans l’int´ egrale propos´ ee, effectuer le chan- gement de variable indiqu´ e sans chercher ` a calculer l’int´ egrale obtenue

Z

dx

cos

x sin x , y = cos x

34.

Soit λ < 0, donner une primitive de 1

λx

+ 1

35.

Soit f une fonction continue sur R , pr´ eciser la d´ eriv´ ee de

Z

x

f (−t)dt

36.

Calculer une primitive de 1

1 + 5x

37.

Calculer la limite de la suite 1

n

2n

X

k=n+1

ln k

n

38.

Calculer une primitive de : x

x

+ 3 .

39.

Effectuer le changement de variable t = ln x dans l’int´ egrale sans chercher ` a calculer l’int´ egrale obte- nue

I = Z

1

cos(ln(x)) dx

40.

Calculer une primitive de

x → 1

x(x + 1)

41.

Soit 0 < b < a. Effectuer le changement de variable u = tan

dans

I = Z

0

dx a + b cos x

42.

Calculer une primitive de xe

43.

Primitive sur ]0, 2π[ de

1 cos x − 1

44.

Calculer Z

0

tan t cos

t dt

45.

Calculer une primitive dans ] −

,

[ de 1

cos

x

46.

Soit f une fonction C

[a, b] avec f (b) = f (a) + (b − a)f

(a)

+ · · · + (b − a)

n! f

(a)

+ R

Pr´ eciser la forme de Lagrange de R.

47.

Calculer Z

0

ln(t

+ 1)dt

48.

Calculer l’int´ egrale : Z

1

t + √ t + 1 (t + 1) √

t dt.

49.

Soient f et g deux fonctions d´ efinies dans [a, b]. Sous quelles hypoth` eses peut-on transformer

Z

a

f

(t)g(t) dt par la formule d’int´ egration par parties ?

50.

Calculer une primitive de xe

51.

Calculer une primitive de x → 3 − x

(x + 1)(x + 3)

52.

Calculer une primitive de : (1 − √

x)

√

x dx

53.

Calculer une primitive de tan

x

54.

√ Effectuer le changement de variable u = x + 1 dans

I = Z

0

x

+ 1

√ x + 1 dx

55.

Soit a ∈ R . Donner la primitive nulle en a de t 7→ (t − a)

.

56.

Calculer une primitive en pr´ ecisant l’intervalle de d´ efinition

arcsin x

57.

Pr´ eciser les intervalles de continuit´ e pour la fonction

√ 1

4x

+ 4x

Dans chacun de ces intervalles, calculer une primitive.

58.

Calculer une primitive de sh x 1 + ch x

59.

Effectuer le changement de variable u = tan

dans

I = Z

0

dt 2 + cos t

60.

On d´ efinit I et J par : I =

Z

0

e

cos(t) dt, J = Z

0

e

sin(t) dt En utilisant des int´ egrations par parties, former deux relations entre I et J . En d´ eduire leurs valeurs.

61.

Soit a et b des r´ eels tels que (a, b) 6= (0, 0).

Calculer une primitive de

e

cos(bx)

62.

Calculer une primitive de 1

x

− 4x + 29

63.

Calculer une primitive de 1

e

+ 2e

64.

Calculer une primitive de sin(2x) sin(3x).

65.

Calculer une primitive de cos

x sin

x.

66.

Calculer une primitive de 1 + x 1 + x

67.

Pr´ eciser les intervalles de continuit´ e pour la fonction

√ 1

4x

+ 4x + 2

Dans chacun de ces intervalles, calculer une primitive.

68.

Simplifier la valeur de la d´ eriv´ ee de x →

Z

0

arccos √ tdt pour x ∈]0,

[

69.

Calculer une primitive de : x

(1 − √

x).

70.

Calculer Z

0

dt t

+ (1 − t)

71.

Effectuer le changement de variable x = sin θ dans

I = Z

0

√ 1 − x

1 + x

dx

72.

Calculer une primitive de arccos x.

73.

Effectuer le changement de variable u = sin x dans l’int´ egrale

I = Z

0

sin

x cos x dx

74.

Calculer une primitive de cos

x sin

x

75.

Calculer une primitive de 1 x

+ x + 1

76.

Soit a r´ eel non nul. Calculer une primitive de

√ 1 a

+ x

77.

Soit a > 0, calculer une primitive de x → a

78.

Calculer une primitive de x → sin

ax

79.

Calculer une primitive de 1

1 − x

80.

Calculer une primitive de arcsin x

81.

Calculer une primitive de cos(2x) cos(3x).

82.

Calculer une primitive de 1 + tan

x 83.

Calculer R

1 2

0

arcsin

x dx.

84.

Calculer une primitive dans ]0, +∞[

1 sinh x

85.

Pr´ eciser les hypoth` eses que doit v´ erifier f pour que la fonction

x → Z

cosx

f (t) dt

soit d´ efinie et d´ erivable dans R . Calculer alors la d´ eriv´ ee.

86.

Calculer une primitive de arcsin x.

87.

Soit a r´ eel non nul. Calculer une primitive de

√ 1 a

− x

88.

Pr´ eciser les intervalles de continuit´ e pour la fonction

√ 1

4x − 4x

Dans chacun de ces intervalles, calculer une primitive.

89.

Soit n ∈ N

, en utilisant une int´ egrale de la fonction t → √

t, majorer S

= √

1 + √

2 + · · · + √

n

90.

Tranformer par un changement de variable l’int´ egrale suivante en l’int´ egrale d’une fraction ration- nelle

Z

0

dx 2 ch x + sh x + 1

91.

Calculer une primitive de : (3x

+ 5x − 12) cos 3x

92.

Calculer avec une int´ egration par parties, Z

0

arctan t dt

93.

Donner une primitive de coth dans ]0, +∞[

94.

Calculer R

0

ln(1 + x

) dx.

95.

Calculer R

0

ch t sin t dt.

96.

Calculer une primitive de 1

(1 + x

)

97.

Calculer une primitive de

x → 1

x

− x + 1

98.

Calculer l’int´ egrale : Z

0

tan t cos

t dt.

99.

Effectuer le changement de variable u = sin x dans

I = Z

0

cos x cos 2x dx

100.

Soit n ≥ 2 dans N , en utilisant une int´ egrale de la fonction t → √

t, minorer S

= 1

√ 2 + 1

√ 3 + · · · + 1

√ n

101.

Soit a r´ eel non nul. Calculer une primitive de

√ 1 x

− a

102.

Avec une int´ egration par partie, calculer Z

0

t

cos(kπt) dt

103.

Calculer une primitive dans ]0, π[ de 1

sin x

104.

Calculer une primitive de (x

+ x)e

. 105.

Effectuer le changement de variable

t = a + u(b − a) dans I = Z

a

f (t)dt

106.

Soit λ > 0, donner une primitive de 1

x

+ λ

107.

Effectuer le changement de variable u = sin x dans

I = Z

π 6

cos x

sin

x + tan

x dx

108.

Pr´ eciser les intervalles de continuit´ e pour la fonction

√ 1

3 + 2x − x

Dans chacun de ces intervalles, calculer une primitive.

109.

Calculer l’int´ egrale : Z

−1

t p 1 − t

dt

110.

Calculer Z

0

x dx 1 + x

111.

Soit λ < 0, donner une primitive de 1

λx

+ 1

112.

Calculer une primitive de

√ x 1 + 5x

113.

Calculer une primitive de sin x 3 + sin

x

114.

Calculer une primitive de arctan x.

115.

Calculer une primitive de x → cos x

1 + sin

x

116.

Soit f une fonction C

[a, b] avec f (b) = f (a) + (b − a)f

(a)

+ · · · + (b − a)

n! f

(a)

+ R

Pr´ eciser la forme int´ egrale de R.

117.

Calculer l’int´ egrale : Z

0

cos (nt) cos (mt) dt

118.

Calculer une primitive de x

x

− 4x + 29

119.

Calculer une primitive de cos

x

120.

Calculer la limite de la suite

n

X

k=1

1 k + n

121.

Calculer R

1 2

0

arcsin xdx.

122.

Calculer une primitive de tanh x

123.

Calculer une primitive de : (1 + tan x)

. 124.

Effectuer le changement de variable u = cos x

dans

I = Z

π 4

1 sin

x dx

125.

Limite de (

n

X

k=1

k

n

+ k

)

126.

Exprimer comme l’int´ egrale d’une fraction rationnelle :

Z

0

sin

x cos

x dx

127.

Calculer R

1 (t+1)√

t

dt (poser u = √ t)

128.

Calculer une primitive de ln x 129.

Primitive de

x 7→ e

3

130.

Soit λ > 0, donner une primitive de 1

λx

+ 1

131.

Calculer une primitive de x tan

x.

132.

Calculer une primitive de :

√ 1 x + √

x − 1

133.

Calculer une primitive de cos(2x) sin(3x).

134.

Soit a et b des r´ eels tels que (a, b) 6= (0, 0).

Calculer une primitive de

e

sin(bx)

135.

Calculer la d´ eriv´ ee de R

dt

t⁴+t²+1

. En d´ eduire un d´ eveloppement limit´ e de f ` a l’ordre 3 en 0.

136.

Calculer l’int´ egrale : Z

0

cos t + 2 sin t cos t + sin t dt

137.

Calculer la limite de

(1 + 1 n )(1 + 2

n ) · · · (1 + n n )

138.

Dans l’int´ egrale, faire le changement de va- riable propos´ e, en d´ eduire une primitive

Z

dx

sin

x u = cotan x

139.

Primitive de 1 2 + cos x

140.

Effectuer le changement de variable u = tan x dans

I = Z

0

1 − tan x 1 + tan x dx

141.

Calculer une primitive de 1

sinh

x

142.

Effectuer le changement de variable u = e

dans

I = Z

0

dx ch

x + sh

x − 1

143.

Calculer une primitive de 1

ch x

144.

Calculer une primitive dans ] −

,

[ de 1

cos x

145.

Calculer l’int´ egrale : Z

1

√ dt

t + 1 + √ t − 1 .

146.

Calculer Z

0

cos x 1 + sin x dx

147.

Calculer une primitive de x → x

cos(3x)

148.

Donner une primitive de e

149.

Calculer la d´ eriv´ ee de

x → Z

x

dt

1 + t

150.

Pr´ eciser les intervalles de continuit´ e pour la fonction

√ 1

x

− 4x − 5

Dans chacun de ces intervalles, calculer une primitive.