I — Petit rappel de trigonométrie hyperbolique : 1) Définitions première formule trigonométrique (à connaitre)
ch(x) = ex+e−x
2 et sh(x) =ex−e−x
2 .
Alorsvérifier que ch2(x)−sh2(x) = 1 et que sh0(x) = ch(x)etch0(x) = sh(x). On poseth(x) =sh(x)
ch(x) =ex−e−x
ex+e−x = e2x−1
e2x+ 1 = 1− 2 e2x+ 1 Vérifier queth0(x) = 1
ch2(x) = 1−th2(x) On posecoth(x) = ch(x)
sh(x) =ex+e−x
ex−e−x =e2x+ 1 e2x−1 Vérifier quecoth0(x) = −1
sh2(x) = 1−coth2(x). 2) Formules de duplications (à savoir retrouver) :
Vérifier que :
sh(x+y) = sh(x) ch(y) + ch(x) sh(y)et ch(x+y) = ch(x) ch(y) + sh(x) sh(y).
En déduirepar parité, les formulessh(x−y) = sh(x) ch(y)−ch(x) sh(y)et ch(x−y) = ch(x) ch(y)−sh(x) sh(y). 3) Dérivées de fonction hyperboliques réciproques :
Pourx, y réels,argsh(y) =x⇔y= sh(x).
Par formule de dérivation de la fonction réciproque, argsh0(y) = 1
ch(argsh(y)) = 1
»
sh2(argsh(y)) + 1
= 1
py2+ 1.
De même, vérifier que pourx∈[1,+∞[ety∈[0,+∞[, argch(y) =x⇔y= ch(x)puis que argch0(y) = 1
sh(argch(y)) = 1
»
ch2(argch(y))−1
= 1
py2−1.
4) Formes logarithmiques (à savoir retrouver) : sh(x) =y⇔ ex−e−x
2 =y⇔ X−1/X
2 =y⇔ X2−1
2X =y en posantX=ex.
L’équationX2−1 = 2Xy⇔X2−2yX−1 = 0est polynômiale du second degré enX. Ses solutions sontX1=y+p
y2+ 1et X2=y−p y2+ 1 OrX =ex>0 donc la seconde solution ne convient pas.
Finalement,ex=X1=y+p
y2+ 1et
x=argsh(y) = ln(y+p y2+ 1)
Vérifier que
argch(x) = ln(x+p
x2−1).
En combinant les deux derniers résultats, on peut retenir que Z x
√ 1
x2+ 1 = ln(x+p
x2+ 1)et Z x
√ 1
x2−1 = ln(y+p x2−1)
1
