TS 8 Interrogation 7A : Correction 1 d´ecembre 2015 Exercice 1 :
Une r´eponse fausse enl`eve des points.
Pour chacune des questions pos´ees, une seule des quatre r´eponses est exacte. Cocher celles-ci.
1. Pour tout r´eelx, l’expression (ex)2×e3x−1 est ´egale `a : −e2x(3x−1) √ e5x
e ex2+3x+1 ex2 e1−3x 2. Pour tout r´eelanon nul, le nombre r´eel e−1a est ´egal `a :
−e1a 1 ea
√ 1
e1a ea
3. Pour tout r´eela, le nombre r´eel ea2 est ´egal `a : ea
e2
√ √ea ea
2 e
√a
Exercice 2 :
Simplifier au maximum l’expression suivantef(x) = ex+ e2x
1 + ex +e−x−ex 1 + e−x :
Solution: f(x) = ex+ e2x
1 + ex +1−e2x
ex+ 1 = ex+ 1 ex+ 1 = 1
Exercice 3 :
R´esoudre e2x+ 5 = 0
Solution: Pour toutxex>0 donc l’´equation n’a pas de solution
Exercice 4 :
R´esoudre−3e−3x<−3
Solution: −3e−3x<−3⇔e−3x>e0⇔ −3x >0(Car la fonction exp est strictement croissante) DoncS=]− ∞; 0[
Exercice 5 :
D´eterminer les d´eriv´ees de :
1. f(x) = 2e3x−1 2. g(x) =xex
Solution: f0(x) = 6e3x−1 etg0(x) = ex+xex= (x+ 1)ex
Exercice 6 : Calculer lim
x→+∞−e−2x+5 x2
Solution: lim
x→+∞−2x+ 5 =−∞et lim
x→−∞ex= 0. Par composition lim
x→−∞e−2x+5= +∞
Donc par quotient lim
x→+∞−e−2x+5 x2 = 0
Exercice 7 :
Dresser le tableau de variations def(x) = (−3x+ 1)e−xsurR
Solution:
f est d´erivable surRcomme produit de fonctions d´erivables.
On poseu(x) =−3x+ 1 etv(x) = e−x, on au0(x) =−3 etv0(x) =−e−x Doncf0(x) =−3e−x+ (3x−1)e−x= (3x−4)e−x.
Pour tout r´eelxe−x>0 doncf0 est du signe de 3x−4.
x f0(x)
f
−∞ 43 +∞
− 0 +
+∞
+∞
−3e−43
−3e−43 00 Car lim
x→−∞f(x) = +∞