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ex+ e2x 1 + ex +e−x−ex 1 + e−x : Solution: f(x

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Academic year: 2022

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TS 8 Interrogation 7A : Correction 1 d´ecembre 2015 Exercice 1 :

Une r´eponse fausse enl`eve des points.

Pour chacune des questions pos´ees, une seule des quatre r´eponses est exacte. Cocher celles-ci.

1. Pour tout r´eelx, l’expression (ex)2×e3x−1 est ´egale `a : −e2x(3x−1) √ e5x

e ex2+3x+1 ex2 e1−3x 2. Pour tout r´eelanon nul, le nombre r´eel e1a est ´egal `a :

−e1a 1 ea

√ 1

e1a ea

3. Pour tout r´eela, le nombre r´eel ea2 est ´egal `a : ea

e2

√ √ea ea

2 e

a

Exercice 2 :

Simplifier au maximum l’expression suivantef(x) = ex+ e2x

1 + ex +e−x−ex 1 + e−x :

Solution: f(x) = ex+ e2x

1 + ex +1−e2x

ex+ 1 = ex+ 1 ex+ 1 = 1

Exercice 3 :

R´esoudre e2x+ 5 = 0

Solution: Pour toutxex>0 donc l’´equation n’a pas de solution

Exercice 4 :

R´esoudre−3e−3x<−3

Solution: −3e−3x<−3⇔e−3x>e0⇔ −3x >0(Car la fonction exp est strictement croissante) DoncS=]− ∞; 0[

Exercice 5 :

D´eterminer les d´eriv´ees de :

1. f(x) = 2e3x−1 2. g(x) =xex

Solution: f0(x) = 6e3x−1 etg0(x) = ex+xex= (x+ 1)ex

Exercice 6 : Calculer lim

x→+∞−e−2x+5 x2

Solution: lim

x→+∞−2x+ 5 =−∞et lim

x→−∞ex= 0. Par composition lim

x→−∞e−2x+5= +∞

Donc par quotient lim

x→+∞−e−2x+5 x2 = 0

Exercice 7 :

Dresser le tableau de variations def(x) = (−3x+ 1)e−xsurR

Solution:

f est d´erivable surRcomme produit de fonctions d´erivables.

On poseu(x) =−3x+ 1 etv(x) = e−x, on au0(x) =−3 etv0(x) =−e−x Doncf0(x) =−3e−x+ (3x−1)e−x= (3x−4)e−x.

Pour tout r´eelxe−x>0 doncf0 est du signe de 3x−4.

x f0(x)

f

−∞ 43 +∞

− 0 +

+∞

+∞

−3e43

−3e43 00 Car lim

x→−∞f(x) = +∞

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